2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市常熟中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．设全集，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求补集再求并集即可.【详解】因为，，所以，所以.故选：C.2．设a，b，c为实数，且，则下列不等式一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于ABD，举例判断即可，对于C，利用不等式的性质判断【详解】对于A，若，则，所以A错误，对于B，若，则，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以C正确，对于D，若，则，所以D错误，故选：C3．关于的不等式的解集为，，，则关于的不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意可得1，是方程的两根，从而得到的关系，然后再解不等式从而得到答案.【详解】由题意可得，且1，是方程的两根，为方程的根，，则不等式可化为，即，不等式的解集为．故选: A．4．若函数的定义域是，则函数的定义域是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据已知条件得到满足的不等式组为，所求解集即为定义域.【详解】由条件可知：，所以，所以定义域为，故选：C.5．命题p：“”为假命题的一个充分不必要条件是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先化简命题是假命题对应的范围，再利用充分条件和必要条件的定义判断即得结果.【详解】命题为假命题，即命题为真命题，首先，时，恒成立，符合题意；其次时，且，即，综上可知，.故选项A中，是的充分必要条件；选项B中推不出，且推不出，即是的既不充分也不必要条件；选项C中可推出，且推不出，即是的一个充分不必要条件；选项D中推不出，且可推出，即是的一个必要不充分条件.故选：C.6．已知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（    ）A． B．或C．或 D．或【答案】D【分析】由已知可得函数的对称性，然后结合函数在单调递减，所以可判断在定义域上的单调性，进而利用单调性可解.【详解】解：，则关于对称，因为在单调递减，∴在上单调递减，又∴，∴，∴或，故选：D.【点睛】结论点睛：若满足，则关于中心对称.7．设，，且，则当取最小值时，（    ）A．8 B．12 C．16 D．【答案】B【分析】首先利用基本不等式的性质得到时，取最小值，再计算即可.【详解】，，当取最小值时，取最小值，，，，，，当且仅当即时取等号，.故选：8．已知函数.若关于的方程恰有两个不同的实根，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先讨论，在时，利用分离参数的思想，画出的图像，利用数形结合判断出答案.【详解】当时，，故不是方程的根，当时，由得，，方程恰有两个不同的实根等价于直线y=a与函数的图像有两个不同的交点，作出函数的大致图像如图所示，由图可知，或.故选：C.【点睛】本题解题时利用了数形结合的思想，根据图像判断出结果. 二、多选题9．下列命题中为真命题的是（    ）A．“”的充要条件是“”B．“”是“”的既不充分也不必要条件C．“”是“”的充分不必要条件D．命题“”的否定是“”【答案】BC【分析】对A，由，但推不出即可判断；对B，取，满足，但；同理取，满足，但即可判断；对C，因为，但推不出即可判断；对D，根据存在量词的命题的否定即可判断.【详解】对A：由，但当时，推不出，所以是的充分不必要条件，故选项A错误；对B：取，满足，但，所以推不出；同理取，满足，但，所以推不出，所以是的既不充分也不必要条件，故选项B正确；对C：因为，当时满足但推不出，所以“，”是“”的充分不必要条件，故选项C正确；对D：命题“，”的否定是，”，故选项D错误；故选：BC.10．对于非空数集，定义表示该集合中所有元素的和．给定集合，定义集合，则下列说法正确的是（    ）A． B．C．集合中有个元素 D．集合中有个元素【答案】AC【分析】列举出集合，求出对应的的值，可得出集合，即可得出合适的选项.【详解】且.①当为单元素集合时，集合可取、、、，可取、、、；②当中的元素个数为时，集合可取、、、、、，可取、、、、；③当中的元素个数为时，集合可取、、、，可取、、、；④当时，.综上所述，，AC选项正确，BD选项错误.故选：AC.11．方程的两根为，则（    ）A． B．C． D．【答案】AB【分析】构造二次函数，结合二次函数的性质即可判断【详解】由题意，构造二次函数则即为二次函数与轴的两个交点的横坐标对称轴为，故C，D错误；由于故，故A，B正确故选：AB12．已知函数的定义域为，对任意的，都有，，则下列结论中正确的有（    ）A．为增函数 B．为增函数C．的解集为 D．的解集为【答案】ABD【分析】利用函数的单调性定义判断AB；利用抽象函数的单调性解不等式判断CD.【详解】对于A，对任意的，则，都有，即，可知为增函数，故A正确；对于B，对任意的，都有，即令，可知为增函数，故B正确；对于C，，则等价于，又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故C错误；对于D，等价于，即又为增函数，所以，解得，所以的解集为，故D正确；故选：ABD 三、填空题13．设全集，，则集合________．【答案】【分析】依题意，，即可得到，从而求出参数的值，即可求出集合，即可得解；【详解】解：因为，，所以，，所以，解得，所以，解得或，所以，所以故答案为：14．已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数，则的值为______.【答案】【解析】根据函数是幂函数得，求得或1，再检验是否符合题意即可.【详解】因为是幂函数，，解得或1，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递增，不符合题意，当时，是偶函数，关于轴对称，在单调递减，符合题意，.故答案为：.15．若实数满足，且不等式恒成立，则c的取值范围是________.【答案】【分析】结合题意，根据不等式求，代入求解．【详解】，，当且仅当时“”成立，又不等式恒成立，，的取值范围是．故答案为：． 四、双空题16．已知函数，若a>0，则f（x）的定义域是___________；若f（x）在区间上是减函数，则实数a的取值范围是___________.【答案】          【分析】（1）由当a>0且a≠1，再由负数不能开偶次方根，有3-ax≥0求解.（2）先看分母，当a-1>0，即a>1时，要使“f（x）在上是减函数”，则分子是减函数，且成立：当a-1<0，即a<1时，要“使f（x）在上是减函数”则分子是增函数，且-a>0成立，两种情况的结果最后取并集.【详解】解：（1）当a>0且a≠1时，由3-ax≥0得，即此时函数f（x）的定义域是；（2）当a-1>0，即a>1时，要使f（x）在上是减函数，则需3-a×1≥0，此时，当a-1<0，即a<1时，要使f（x）在上是减函数，则需-a>0，此时a<0，综上所述，所求实数a的取值范围是.故答案为：（1）；（2） 五、解答题17．（1）已知，求的最大值；（2）已知，求的最大值．【答案】（1） ；（2） ．【分析】（1）利用基本不等式求解积的最大值；（2）对变形后利用基本不等式求解.【详解】（1）因为，所以，所以，当且仅当时取“=”．所以函数的最大值为．（2）因为，所以，所以．当且仅当时取“=”．所以函数的最大值为．18．已知集合，．(1)若，求实数m的取值范围；(2)若且，求实数m的值．【答案】(1).(2)m=或1. 【分析】（1）利用集合间的包含关系建立不等式组，分类讨论进行求解.（2）根据已知，利用集合的交集运算，分类讨论进行求解.【详解】（1）由，知．①当时，，解得；②当时，有，解得．所以实数m的取值范围为．（2）因为，，，且，则①当时，有，解得，则，此时，满足题意；②当时，有，解得，则，此时，不满足题意，舍去；③当时，有，解得，此时，，满足题意．综上，实数m的值为或1．19．已知二次函数．(1)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．(2)解关于的不等式（其中）．【答案】(1)；(2)答案见解析. 【分析】(1)当时将原不等式变形为，根据基本不等式计算即可；(2)不等式化为，讨论的取值，从而求出对应不等式的解集．【详解】（1）不等式即为：，当时，不等式可变形为：，因为，当且仅当时取等号，所以，所以实数a的取值范围是.（2）不等式， 等价于，即，①当时，不等式整理为，解得；当时，方程的两根为，，②当时，可得，解不等式得或；③当时，因为，解不等式得；④当时，因为，不等式的解集为；⑤当时，因为，解不等式得；综上所述，不等式的解集为：①当时，不等式解集为；②当时，不等式解集为；③当时，不等式解集为；④当时，不等式解集为；⑤当时，不等式解集为．20．已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求，的值；(2)判断在上的单调性，并用定义证明；(3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)在，上单调递增，证明见解析(3) 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合（1），求解方程组，得到，的值，检验即可；（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；（3）将问题转化为，利用的单调性求出，分，和三种情况，利用的单调性求出，即可得到答案.【详解】（1）因为函数是定义在，上的奇函数，且（1），则，解得，，所以函数，经检验，函数为奇函数，所以，；（2）在，上单调递增.证明如下：设，则，其中，，所以，即，故函数在，上单调递增；（3）因为对任意的，，总存在，，使得成立，所以，因为在，上单调递增，所以，当时，；所以恒成立，符合题意；当时，在，上单调递增，则（1），所以，解得；当时，函数在，上单调递减，则，所以，解得.综上所述，实数的取值范围为.21．为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用万元满足（k为常数）.如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件.已知2021年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分）.（1）将该厂家2021年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；（2）该厂家2021年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？【答案】（1）；（2）该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.【分析】（1）根据题意，当时，x=1，进而代入已知等式解出k，然后求出每件产品的销售价格，最后得到函数的解析式；（2）根据（1）中的式子，结合基本不等式即可得到答案.【详解】（1）由题意，当时，x=1，则，于是，所以.（2）由（1），，当且仅当时“=”成立.所以，该厂家2021年的年促销费用投入2.5万元时，厂家利润最大.22．对于函数，若，则称实数x为的“不动点”，若，则称实数x为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B，即，.(1)对于函数，分别求出集合A和B；(2)对于所有的函数，集合A与B是什么关系？并证明你的结论；(3)设，若，求集合B.【答案】(1)，(2)证明见解析；(3) 【分析】(1)由f(x)＝x，解出的值即集合A的元素，由，解出的值即集合B的元素； (2)分别讨论与的情况,当时,设,则，即，进而得证；(3)由可得,则,进而求解即可.【详解】（1）由f(x)＝x，得，解得；由，得，解得，∴集合A＝{1}，B＝{1}．（2）若，则显然成立；若，设为中任意一个元素，由，可得.（3）解：∵，∴，即，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或或，∴.