2023届辽宁省阜新市第二中学 高三年级1月月考 数学试卷（人教2019A版）

这是一份2023届辽宁省阜新市第二中学 高三年级1月月考 数学试卷（人教2019A版），共23页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 2022-2023学年 辽宁省阜新市第二中学
高三年级一月月考 数学试卷
总分150分 考试时间120分钟
一、单选题（8题每题4分共32分）
1．已知集合，则（    ）
A． B． C． D．或
2．若复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数的模是
A． B． C． D．
3．如图，在中，，，若点满足，则（    ）

A． B． C． D．
4．某圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为，则该圆台的体积为（    ）
A． B． C． D．
5．五名护士上班前将外衣放在护士站，下班后回护士站取外衣，由于灯光暗淡，只有两人拿到了自己的外衣，另外三人拿到别人外衣的情况有（    ）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．函数的周期为， ， 在上单调递减，则的一个可能值为
A． B． C． D．
7．已知函数的定义域为，且函数的图象关于直线对称，当时，（其中是的导函数），若,,，则的大小关系是
A． B． C． D．
8．已知函数的值域与函数的值域相同，则的取值范围为　　
A．， B．， C．， D．，

二、多选题（4题每题5分共20分，正确选项未全部选出得3分，多选不得分）
9．如图，是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：以下四个命题中，正确命题的选项是（    ）

A．BM与ED平行
B．CN与BM成60°角
C．CN与BE是异面直线
D．DM与BN是异面直线
10．已知函数的部分图像如图所示，将该函数图象向右平移个单位后，再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则下列选项中正确的有（    ）．

A．
B．
C．是曲线的对称轴
D．直线是曲线的一条切线
11．已知抛物线，其焦点为F，准线为l，PQ是过焦点F的一条弦，点，则下列说法正确的是（    ）
A．焦点F到准线l的距离为2
B．焦点，准线方程
C．的最小值是3
D．以弦PQ为直径的圆与准线l相切
12．已知函数及其导函数的定义域均为R，对任意的，，恒有，则下列说法正确的有（    ）
A． B．必为奇函数
C． D．若，则

三、填空题（共20分）
13．已知的展开式中的各项系数和为，则该展开式中的常数项为______.
14．已知点Q是圆上任意一点，点，点，点P满足，则的最小值为___________.
15．过点与曲线相切的直线方程为______________.
16．设F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上的一个点，且PF1⊥PF2，若的面积为9，周长为18，则椭圆C的方程为________.

四、解答题（共78分）
17．在数列中，，，数列的前项和为，且．
（1）证明：数列是等差数列．（5分）
（2）若对恒成立，求的取值范围．（5分）
18．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.
（1）求角；（5分）
（2）若，求的值；（5分）
（3）若，，求的值.（5分）
19．在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点为，又，，，点是的中点.

（1）求证：平面；（6分）
（2）求点到平面的距离.（6分）
20．（本小题满分10分，第（1）问 5分，第（2）问 5 分）
近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息，微信是现代生活中进行信息交流的重要工具.而微信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷.某商场随机对商场购物的名顾客进行统计，其中岁以下占，采用微信支付的占，岁以上采用微信支付的占．
（1）请完成下面列联表：（6分）

岁以下
岁以上
合计
使用微信支付



未使用微信支付



合计




（2）并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为“使用微信支付与年龄有关”？（6分）
参考公式: ，.
参考数据：












21．已知双曲线的两条渐近线分别为.

（1）求双曲线的离心率；（7分）
（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由.（7分）
22．已知函数．
(1)当时，求的单调减区间；（7分）
(2)若方程恰好有一个正根和一个负根，求实数的最大值．（8分） 答案及解析：
1．B
【分析】化简集合M，根据集合交集运算即可求解.
【解析】因为，
所以，
故选B
【注意】本题主要考查了集合的交集运算，属于容易题.
2．B
【分析】根据复数的四则运算，化简复数为，再根据复数模的运算公式，即可求解.
【解析】由题意，因为，所以
所以 ，所以. 故选B.
【注意】本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的概念和模的运算，其中解答中熟记复数的四则运算，正确求解复数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
3．A
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合共线向量的性质进行求解即可.
【解析】因为，所以有，
，
故选：A
4．B
【分析】根据圆台的侧面积和体积公式，结合题意，准确运算，即可求解.
【解析】设圆台的母线长为，高为，
因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为，
可得，解得，
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为.
故选：B.
5．C
【分析】5人中只有2人拿到自己的外衣，共有种情形，另外3人拿到别人的外衣的情况，可看作编号为1，2，3的人坐到编号为1，2，3的座位，且人和编号不能相同，列举可得，再由分步计数原理求得结果.
【解析】先从5人中选取2人拿到自己的外衣，共种情况，
另外3人拿到别人的外衣的情况，可看作编号为1，2，3的人
坐到编号为1，2，3的座位，且人和编号不能相同，
共有231，312，两种，
由分步计数原理可得共种情况.
故选：C.
【注意】本题考查排列组合及简单的计数问题，选择合适的选排方案是解决问题的关键，属基础题.
6．D
【分析】根据三角函数周期性确定ω值，再根据求得的可能值，最后根据单调性确定值．
【解析】根据周期的公式得ω=2，则
又因为
所以或  （K Z）
故或
又因为当时，在上，即，有增有减．
当时，，在上，即，单调递减．
所以
【注意】根据ω值，已知在区间上的单调性求参数的值．
7．D
【分析】求出,可得的值，能确定的解析式，分类讨论可确定的符号，可得在上递增，再利用指数函数、对数函数的单调性比较的大小关系，结合函数的奇偶性与单调性可得结果.
【解析】，，
，，
当时，；
当时，，
即在上递增，
的图象关于对称，
向右平移2个单位得到的图象关于轴对称，
即为偶函数，，
，
，
即，
，
即.
故选D.
【注意】本题主要考查函数的奇偶性、对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题. 在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．
.
8．D
【分析】对函数求导，利用导数求得的单调性情况，进而得到其最值，结合题意及图象建立关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围．
【解析】解：因为
所以，
由于，故函数在上为减函数，又，
故当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
，且时，，
故函数的值域为，
作出函数的草图如下，

由图可知，要使函数的值域与函数的值域相同，则需，解得，
故选：D．
【注意】本题主要考查利用导数研究函数的最值，解题的关键是理解题干意思，进而建立关于的不等式，考查转化思想，数形结合思想及运算求解能力，属于中档题．
9．BD
【分析】画出直观图，根据异面直线和共面直线的判定，可知A和C错误，D正确，再根据是等边三角形，得出B正确.
【解析】正方体的直观图如图所示：

很显然，BM与ED不平行，A错误；
连接AN，AC，易知是等边三角形，CN与BM的夹角即为，B正确；
很显然，CNBE，C错误；
DM与BN是异面直线，D正确.
故选：BD.
10．ACD
【分析】根据函数图象可确定的值，利用特殊点代入函数解析式确定，即可得到函数解析式，判断A;根据三角函数图象的平移变换可得到表达式，判断B;将代入验证，可判断C;利用导数的几何意义求得曲线的切线方程，可判断D.
【解析】由图象知 ， 解得 ，
将代入中得，则 ，
因为   ，A正确；
由于将函数图象向右平移个单位后，得函数的图象，
再把所得曲线上点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，故，B错误；
将代入中，，是曲线的对称轴，C正确；
，令 ，即，
可得时满足，此时，
则在点处的切线方程为 ，D正确，
故选：ACD.
11．ACD
【分析】对A：由抛物线方程及焦点F到准线l的距离为即可求解；
对B：由抛物线方程即可求解；
对C：利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，从而即可求解；
对D：利用抛物线的定义，及圆心到直线的距离等于圆的半径则直线与圆相切，从而即可求解.
【解析】解：对B：由抛物线，可得，准线    ，故选项B错误；
对A：由抛物线，可得，即，所以焦点F到准线l的距离为，故选项A正确；
对C：过点P作，垂足为，由抛物线的定义可得，
所以（为点到准线l的距离），当且仅当、、三点共线时等号成立，
所以的最小值是3，故选项C正确；
对D：过点P、Q分别作，，垂足分别为、，

设弦PQ的中点为M，则弦PQ为直径的圆的圆心为M，过点M作，垂足为，则为直角梯形的中位线，，
又根据抛物线的定义有，，
所以，
所以以弦PQ为直径的圆与准线l相切，故选项D正确；
故选：ACD.
12．BCD
【分析】赋值法求的值，判断A；赋值法结合导数以及函数奇偶性的定义，判断B；赋值法结合换元法判断C;利用赋值法求得的值有周期性，即可求得的值，判断D.
【解析】对于A，令，则由可得，
故或，故A错误；
对于B,当时，令，则，则 ，
故，函数既是奇函数又是偶函数；
当时，令，则，所以，
为偶函数，则为奇函数；
综合以上可知必为奇函数，B正确；
对于C，令 ，则，故。
由于,令,即，即有，故C正确；
对于D，若，令 ，则，则 ，
故令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，
令，则，即，

由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且 ，
故，故D正确，
故选：BCD
【注意】本题考查了抽象函数的奇偶性和特殊值以及求函数值的和的问题，涉及到导数问题，综合性强，对思维能力要求高，解答的关键是利用赋值法确定的周期性.
13．－120
【分析】的展开式中各项系数的和为，令，求出，再求出展开式中的常数项即可.
【解析】的展开式中，各项系数的和为，
令，，
，
∴
其中的展开式中的项为，即，
的展开式中的项为，即，
展开式中的常数项为.
故答案为：.
14．
【分析】根据题意易求出点的轨迹为圆，轨迹方程为，再根据两圆的位置关系即可求出的最小值．
【解析】设，由可得，，化简得，，所以点的轨迹为圆，圆心坐标为，点Q在圆上，两圆的圆心距为，所以两圆相离，故的最小值为．
故答案为：．
15．.
【解析】设切点坐标，写出切线方程，根据切线过点，再求出切点坐标，从而得切线方程.
【解析】设切点坐标为，
由得，
切线方程为，
切线过点，
，即，
，
即所求切线方程为.
故答案为：.
【注意】本题考查导数的几何意义．求过某点的切线，应先设切点坐标，由导数的几何意义写出切线方程，代入所过点的坐标求出切点坐标，从而得出切线方程．
16．
【分析】由题意可知为直角三角形，由椭圆的定义结合已知条件即可求解
【解析】∵PF1⊥PF2，
∴为直角三角形，
又知的面积为9，
∴|PF1|·|PF2|＝9，
得|PF1|·|PF2|＝18.
在Rt中，由勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2a，
∴(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|＝|F1F2|2，即4a2－36＝4c2，
∴a2－c2＝9，即b2＝9，
又知b>0，
∴b＝3，
∵的周长为18，
∴2a＋2c＝18，即a＋c＝9，①
又知a2－c2＝9，
∴a－c＝1.②
由①②得a＝5，c＝4，
∴所求的椭圆方程为.
故答案为：
17．（1）见解析（2）
【分析】（1）根据已知可变形为常数；（2）首先求数列的通项公式，然后利用裂项相消法求，若满足对恒成立，需满足， ，求的取值范围.
【解析】（1）证明：因为，
所以，，
则．
又，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）由（1）可知，则．
因为，所以，
所以．
易知单调递增，则．
所以，且，解得．
故的取值范围为．
【注意】本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据的正负判断单调性，然后求最值.
18．（1）.（2）.（3）
【解析】（1）由正弦定理化边为角后，由诱导公式和两角和的正弦公式化简后可求得；
（2）由二倍角公式求得后再由两角和的正弦公式可求值；
（3）由正弦定理求得，再由余弦定理求得．
【解析】（1）∵，
由正弦定理得，
∴，
即.
∵，
∴
又，
∴
（2）由已知得，
∴，

∴.
（3）由正弦定理，得.
由（1）知，，
∴
由余弦定理得，.
∴
【注意】本题考查正弦定理、余弦定理、考查两角和的正弦公式、二倍角公式、诱导公式，同角间的三角函数关系，考查公式较多，解题关键是正确选择应用公式的顺序．在三角形中出现边角关系时，常常用正弦定理进行边角转换．
19．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）先证明为的中点，从而，由条件可得，可证，即，得到平面，从而得证.
(2) 设到平面的距离为,由根据等体积法可得答案.
【解析】（1）证明：在正中，
设为的中点，由，则
在正三角形中，有
在平面上，由，，则三点共线
即与重合，即为的中点
∵点是的中点，∴
∵平面，平面    ∴
∵，∴
∵，∴，即
∵，∴平面，∴平面

（2）解：设到平面的距离为
在中，，∴
在中，，∴
在中，，，
设为的中点, 由,则
则
∴，
又在中，，，，∴
由（1）可知，,则,即

由，且
∴，解得
∴点到平面的距离为

20．（1）详见解析；（2）有的把握认为“使用微信支付与年龄有关”.
【解析】试题分析：（1）由岁以下的有人，使用微信支付的有人，岁以上使用微信支付有人，即可完成列联表；（2）根据列联表求得观测值与参考值对比即可求得答案.
试题解析：（1）由已知可得，岁以下的有 人，使用微信支付的有 人，岁以上使用微信支付的有 人．所以 列联表为：  

岁以下
岁以上
合计
使用微信支付
40
10
50
未使用微信支付
20
30
50
合计
60
40
100

（2）由列联表中的数据计算可得的观测值为 ，由于 ，所以有的把握认为“使用微信支付与年龄有关”．
【方法注意】本题主要考查及独立性检验的应用，属于难题.独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）
21．(1) ;(2)存在
【解析】试题分析：(1) 已知双曲线的两条渐近线分别为,所以根据即可求得结论.
(2)首先分类讨论直线的位置.由直线垂直于x轴可得到一个结论.再讨论直线不垂直于x轴,由的面积恒为8,则转化为.由直线与双曲线方程联立以及韦达定理,即可得到直线有且只有一个公共点.
试题解析：(1)因为双曲线E的渐近线分别为和.所以,从而双曲线E的离心率.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为.设直线与x轴相交于点C.
当轴时,若直线与双曲线E有且只有一个公共点,则,又因为的面积为8,所以.此时双曲线E的方程为.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为.以下证明:当直线不与x轴垂直时，双曲线E：也满足条件.
设直线的方程为,依题意,得k>2或k