2022--2023学年人教2019A版高二数学开学考06

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高二开学考06（人教A版2019）姓名：                       班级：              一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．从年月底开始，新型冠状病毒引发的肺炎疫情不断蔓延，给全国人民带来了重大损失，如图是我国年月日至月日，湖北内外新增确诊人数的折线统计图，由图可知，月日至月日这几天内，下列选项中正确的是（  ）。  A、湖北新增确诊人数逐日增加B、全国新增确诊人数呈增加的趋势C、月号全国患病人数达到最多D、湖北地区新增确诊人数的方差大于非湖北地区新增确诊人数的方差【答案】D【解析】A选项，湖北最新确诊人数有增有减，错，B选项，全国最新确诊人数呈先增加后减少的趋势，错，C选项，月号全国新增确诊人数达到最多，并非患病人数最多，错，D选项，非湖北地区月日至月日这几天内新增确诊人数相较于湖北地区新增确诊人数的波动性较小，变化比较平稳，方差更小，对，故选D。2．复数满足（为虚数单位），则（  ）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵复数满足，∴，则，故选C。3．已知某个数的平均数为，方差为，现加入一个新数据，此时这个数的平均数为，方差为，则（  ）。A、，B、，C、，D、，【答案】A【解析】∵某个数的平均数为，∴这个数的和为，∵加入一个新数据，∴，又∵这个数的方差为，且加入一个新数据，∴这个数的方差，故选A。4．设为的内心，且满足，则的形状一定为（  ）。A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、以上都不对【答案】A【解析】由题意，∴，∴为等腰三角形，故选A。5．已知圆锥的高为，母线长为，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（  ）。A、B、C、D、【答案】B【解析】如图的是圆锥的轴截面，由题意母线，高，则，是锐角，∴，于是得轴截面顶角，∴当两条母线夹角为时，截面面积为为所求面积最大值，故选B。6．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，则的取值范围是（  ）。A、B、C、D、【答案】C【解析】在中，，由题意及正弦定理得：，即，∵为锐角三角形，∴、，∴，∴，即，∴，又，∴，∴，即的取值范围是，故选C。7．如图所示，正四棱锥底面的四个顶点、、、在球的同一个大圆上，点在球面上，如果，则球的表面积为（  ）。A、B、C、D、【答案】D【解析】设球的半径为，则，，，∴，∴，故选D。8．已知两个不相等的非零向量、，两组向量、、、、和、、、、均由个和个排列而成。记，表示所有可能取值中的最小值。则下列命题中真命题的个数为（  ）。①可能有个不同的值；②若，则与无关；③若，则与无关；④若，则；⑤若，，则与的夹角为。A、B、C、D、【答案】B【解析】根据题意得的取值依据所含的个数，分三类：有个、有个、有个，记，分别得的取值为：、、，则至多有个不同的值，①错，若，则，此时、、，又、为非零向量，则，与无关，②对，若，则、、均与有关，则与一定有关，③错，若，则、、，则，④对，若，则、、，∵、，∴，解得，∴，⑤错，故选B。 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．已知向量、、，则下列说法正确的是（  ）。A、B、C、D、【答案】BD【解析】A选项，由题意可知，错，B选项，，，对，C选项，，错，D选项，，对，故选BD。10．下列命题中，正确的命题是（  ）。A、数据、、、、、、、、、的分位数为B、若事件发生的概率为，则C、分层抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等D、若事件、满足，则与独立【答案】BCD【解析】A选项，求数据、、、、、、、、、的分位数，，则为，错，B选项，根据概率的定义可得，若事件发生的概率为，则，对，C选项，根据系统抽样的定义得，分层抽样是不放回抽样，每个个体被抽到的可能性相等，对，D选项，若事件、满足，则与独立，同时与独立，对，故选BCD。11．在中，内角、、所对的边分别为、、，则下列说法正确的是（  ）。A、B、若，则C、D、若，且，则为等边三角形【答案】ACD【解析】A选项，由正弦定理得，对，B选项，若，当，时，则，错，C选项，∵，∴由正弦定理得，对，D选项，由可得的角平分线与垂直，∴为等腰三角形，又由可得，∴为等边三角形，对，故选ACD。12．如图所示，几何体的底面是边长为的正方形，平面，，，，则下列说法正确的是（  ）。A、与为异面直线B、几何体的体积为C、三棱锥的外接球表面积为D、点与点到平面的距离之比为        【答案】ABC【解析】在上取两个点、，使得，连接、、，由且可得为平行四边形，则且，又且，∴且，为平行四边形，∴，同理可得为平行四边形，∴，∴，而，则与不平行，平面、平面，∴平面，∴与为异面直线，A选项对，由为正方形得，又平面，平面，∴，又，∴平面，由，则平面，同理可证平面，∴几何体的体积为，B选项对，取的中点，连接、，由上可知、均是以为斜边的直角三角形，∴，∴、、、四点在以为球心、为半径的球面上，又，∴三棱锥的外接球表面积为，C选项对，设点与点到平面的距离分别为、，连接交于，则，由条件可得平面，∴且，∴平面，，∴，由题意，∴点到平面的距离为点到平面的距离的倍，∴，∴，D选项对，故选ABC。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若复数的模等于，其中为虚数单位，则实数的值为        。【答案】【解析】∵则，。14．已知向量、、，且、、、，则的最小值为        。【答案】【解析】∵，∴，当与、的和向量同向时，有最小值为。15．圆台的上、下底面半径分别是和，它的侧面展开图的扇环的圆心角是，那么圆台的表面积为        （结果中保留）。【答案】【解析】如图所示，设圆台的上底周长为，∵扇环的圆心角是，∴，又，∴，同理，∴，∴（），∴圆台的表面积为。16．山顶上有一座信号发射塔，塔高千米，山脚下有、、三个观测点，它们两两之间的距离分别为千米，千米，千米，从这三个观测点望塔尖的仰角均为，则山高为         。【答案】千米【解析】设塔顶的垂直高度为千米，则，∴、、均在以为圆心，半径为的圆上，在中，、、，由余弦定理得：，∴，由正弦定理得，解得，∴山高为千米。四、解答题：本题共6小题，共70分。应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④。（1）请指出这三个条件，并说明理由；（2）求的面积。【解析】（1）同时满足①、③、④，理由如下：                                      1分若同时满足①、②，∵，且，∴，∴，矛盾，            3分∴只能同时满足③、④，∴，∴，∴不满足②，         4分∴只能同时满足①、③、④；                                          5分（2）在中，，由（1）可知、、，由余弦定理得：，即，即，解得（可取）或（舍去），   8分∴的面积。                                  10分18．（本小题满分12分）某地区为了实现产业的转型发展，利用当地旅游资源丰富多样的特点，决定大力发展旅游产业，一方面对现有旅游资源进行升级改造，另一方面不断提高旅游服务水平。为此该地区旅游部门，对所推出的报团游和自助游项目进行了深人调查，如表是该部门从去年某月到该地区旅游的游客中，随机抽取的位游客的满意度调查表。满意度老年人中年人青年人报团游自助游报团游自助游报团游自助游满意一般不满意（1）由表中的数据分析，老年人､中年人和青年人这三种人群中，哪一类人群更倾向于选择报团游？（2）为了提高服务水平，该旅游部门要从上述样本里满意度为“不满意”的自助游游客中，随机抽取人征集改造建议，求这人中有老年人的概率；（3）若你朋友要到该地区旅游，根据表中的数据，你会建议他选择哪种旅游项目？【解析】（1）由表中数据可得老年人､中年人和青年人选择报团游的频率分别为：、、，                                   3分则，∴老年人更倾向于选择报团游；                               4分（2）由题意得满意度为“不满意”的自助游人群中，老年人有人，记为，中年人有人，记为、，青年人有人，记为、，  5分从中随机先取人，基本事件共个，分别为：、、、、、、、、、，                          6分其中这人中有老年人包含的基本事件有个，分别为：、、、，     7分∴这人中有老年人的概率为；                                    8分（3）根据表中的数据，得到：报团游的满意率为，自助游的满意率为，∵，∴建议他选择报团游。                                          12分19．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，为棱的中点。（1）求证：平面；（2）若、、，，求异面直线与所成角的余弦值。         【解析】（1）连接交于点，连接，∵、分别为、中点，∴，                               2分又平面，平面，∴平面；                 4分（2）在直三棱柱的上方再作出一个完全一样的几何体，如图得到直三棱柱，                                          5分连结、，则有，∴（或其补角）为异面直线与所成角，                        6分在中，由余弦定理得，∴，                                                          8分在中，、、，由余弦定理得，                              11分∴异面直线与所成角的余弦值。                                12分20．（本小题满分12分）在中，是边的中线，，且的面积为。（1）求的大小及的值；（2）若，求的长。【解析】（1）在中，由，可得，又，∴，                                       2分∵，∴，解得，                                   4分∴；                       5分（2）由，，得，在中，由余弦定理得：，解得，                                                          7分由正弦定理得，∵，∴，                                  10分在中，由余弦定理得：，解得。                                                         12分21．（本小题满分12分）如图所示，是圆的直径，点是圆上异于、的点，垂直于圆所在的平面，且。（1）若为线段的中点，求证：平面；（2）求三棱锥体积的最大值；（3）若，点在线段上，求的最小值。  【解析】（1）证明：在中，∵，为的中点，∴，              1分又垂直于圆所在的平面，∴，                           2分∵，、平面，∴平面；          3分（2）解：∵点是圆上，∴当时，到的距离最大，且最大值为半径，又，∴的面积的最大值为，                      5分又∵三棱锥的高，∴三棱锥体积的最大值为；                          7分（3）解：在中，，，∴，同理，∴，在三棱锥中，将侧面绕旋转至平面，使之与平面共面，如图所示，                                      9分    当、、共线时，取得最小值，                           10分又∵，，∴垂直平分，即为中点，∴，即的最小值为。                                     12分22．（本小题满分12分）如图所示，在平面五边形中，已知，，，，。（1）当时，求；（2）当五边形的面积时，求的取值范围。        【解析】（1）连接，在中，，由余弦定理得，∴，         3分同时可得，又，∴，又由五边形内角和可得，∴，∴四边形为等腰梯形，                                   4分过点作于，可求得，∴；                                                6分（2），                                        7分又五边形的面积，∴，           8分设，则， 整理得，解得或，              11分又，即，∴的取值范围是。  12分