2022-2023学年辽宁省阜新市第二高级中学高二下学期期中数学试题含答案

2022-2023学年辽宁省阜新市第二高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，，，则（    ）

A．19 B．18 C．17 D．20

【答案】C

【分析】利用已知条件列方程组求出，从而可求出.

【详解】设等差数列的公差为，则由题意可得

，解得，

所以，

故选：C.

2．在等差数列中，已知，那么等于（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】A

【分析】设首项为，公差为，由已知有，所以可得的值．

【详解】解：为等差数列，设首项为，公差为，

由已知有，，

即．

故选：A．

3．已知为等比数列则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据已知由等比数列的通项公式即可求出.

【详解】设等比数列的公比为，

，，解得，

，，解得.

故选：A.

4．在等差数列{an}中，若a4＝5，则数列{an}的前7项和S7＝（    ）

A．15 B．20 C．35 D．45

【答案】C

【分析】根据等差数列前项和的性质，即可直接计算求得结果.

【详解】因为数列是等差数列，故可得.

故选：.

【点睛】本题考查等差数列前项和的性质，属简单题.

5．在数列中，若，，则（    ）

A．16 B．32 C．64 D．128

【答案】C

【分析】根据题意，为等比数列，用基本量求解即可.

【详解】因为，故是首项为2，公比为2的等比数列，

故.

故选：C

6．等差数列的前项和为，满足：，则（    ）

A．72 B．75 C．60 D．100

【答案】B

【分析】由，可得，再利用等差数列的求和公式可求出结果

【详解】设等差数列的公差为，则由，得

，

化简得，

所以，

故选：B

7．等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A．5 B．10 C．4 D．

【答案】A

【分析】利用等比数列的性质及对数的运算性质求解.

【详解】由题有，则

 =5.

 故选：A

8．已知等比数列的前项和是，则下列说法一定成立的是

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【详解】分析：由，可得，分当时，当时，当时和时，由不等式的性质均可得到.

详解：当时，，

又当时，，

当时，，，即；

当时，，，即；

当时，，，即；

当时，，

综上可得当时，，故选C.

点睛：本题考查等比数列的通项公式与求和公式以及不等式的性质，意在考查分类讨论思想与计算能力，属于中档题.

二、多选题

9．已知等差数列的首项为1，公差为，若81是该数列中的一项，则公差可能的值是（    ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】ACD

【分析】根据等差数列的通项公式，写出d和n满足的等式，再验证满足条件的d，得出结论.

【详解】，

，，

和都为正整数，

时，，故选项A正确；

当时，，不成立，故选项B错误；

时，，故选项C正确；

时，，故d选项D正确．

故选：ACD．

10．已知数列的前项和为，且，，则（    ）

A．是等差数列 B．是等比数列 C．是递增数列 D．是递减数列

【答案】AD

【分析】依题意可得，即可得到是递减的等差数列；

【详解】解：因为，所以，又，

所以是由为首项，为公差的等差数列，

因为公差小于，所以是递减数列；

故选：AD

11．对于公差为1的等差数列{an}，a1＝1，公比为2的等比数列{bn}，b1＝2，则下列说法正确的是（　　）

A．an＝n

B．bn＝2n﹣1

C．数列{lnbn}为等差数列

D．数列{anbn}的前n项和为（n﹣1）2n+1+2

【答案】ACD

【分析】由等比数列和等差数列的通项公式，可判断A、B、C选项；由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可判断D选项．

【详解】由公差为1的等差数列{an}，a1＝1，可得an＝1+n﹣1＝n，故A正确；

由公比为2的等比数列{bn}，b1＝2，可得bn＝2×2n﹣1＝2n，故B错误；

由lnbn＝ln2n＝nln2，可得数列{lnbn}是首项和公差均为ln2的等差数列，故C正确；

设数列{anbn}的前n项和为Sn，Sn＝1×2+2×22+...+n×2n，

2Sn＝1×22+2×23+...+n×2n+1，上面两式相减可得﹣Sn＝2+22+...+2n﹣n×2n+1

n×2n+1，所以Sn＝2+（n﹣1）×2n+1，故D正确．

故选：ACD．

12．设数列前项和为，关于数列有下列命题，其中正确的命题是（    ）

A．若则既是等差数列又是等比数列

B．若，则为等差数列

C．若为等比数列，则成等比数列

D．若，是等比数列

【答案】BD

【分析】举出反例，如，即可判断A；

根据与的关系，求得数列的通项公式，再结合等差数列的定义即可判断B；

举出反例，如为，为偶数时，即可判断C；

根据与的关系，求得数列的通项公式，再结合等比数列的定义即可判断D；

【详解】对于A，若，则既是等差数列，但不一定是等比数列，故A错误；

对于B，由，

当时，，

当时，，

当时，适合上式，

所以，

则为常数，

所以为等差数列，故B正确；

对于C，若为等比数列，如为，为偶数时，

，由等比数列中没有0这一项，

所以不成等比数列，故C错误；

对于D，若，

当时，，

当时，，

当时，适合上式，

所以，

则，

所以数列是以2为首项，-1为公比的等比数列，故D正确.

故选：BD.

三、填空题

13．若等比数列满足，，则      ．

【答案】112

【分析】由等比数列的性质计算即可.

【详解】，故，解得，

故．

故答案为：112

14．已知等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，求        .

【答案】

【分析】根据等差数列的性质和等差数列的求和公式结合已知可求得结果.

【详解】因为等差数列的前n项和为，等差数列的前n项和为，且，

所以

，

故答案为：

15．已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+1，则an=    .

【答案】

【分析】当n=1时，a1=S1=3;当n≥2时，an=Sn-Sn-1，从而求解

【详解】解:当n=1时，a1=S1=3;

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n.

此时，当n=1时，2n=2≠3.

所以an=

故答案为：

【点睛】本题考查数列与的关系，要注意成立的条件.

16．若数列{an}是正项数列，且＝n2＋n，则a1＋＋…＋＝        ．

【答案】2n2＋2n

【解析】先根据递推式求出数列{an}的通项公式，则数列的通项公式也可求得，再利用等差数列的求和公式求和即可.

【详解】当n＝1时，＝2⇒a1＝4，又＋＋…＋＝n2＋n　①，

所以当n≥2时，＋＋…＋＝(n－1)2＋(n－1)＝n2－n　②，

①－②得＝2n，即an＝4n2，

又a1＝4符合an＝4n2，

所以an＝4n2，

所以＝＝4n，

所以a1＋＋…＋＝＝2n2＋2n.

故答案为：2n2＋2n.

【点睛】本题考查递推式求通项公式，考查等差数列的求和公式，是基础题.

四、解答题

17．数列的通项公式是.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

【答案】(1)

(2)是，第16项

【分析】（1）利用数列的通项公式能求出这个数列的第4项；

（2）令，求出方程的解，即可判断．

【详解】（1）解：数列的通项公式是．

这个数列的第4项是：．

（2）解：令，即，

解得或（舍，

是这个数列的项，是第16项．

18．设数列{an}满足：a1=1，an+1=3an，n∈N+．

（1）求{an}的通项公式及前n项和Sn；

（2）已知{bn}是等差数列，Tn为前n项和，且b1=a2，b3=a1+a2+a3，求T20．

【答案】（1）;（2）1010

【详解】（1）由题意可得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，

故可得，

由求和公式可得；

（2）由题意可知b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=1+3+9=13，

设数列{bn}的公差为d，可得b3﹣b1=10=2d，解得d=5，

故.

19．已知数列中，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列前n项和，求n的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，得到公差为，结合，得到首项，进而得到数列的通项公式；

（2）根据等差数列的前项和公式，列出方程，计算求出.

【详解】（1）因为，设数列的公差为，

所以数列是以为公差的等差数列，，

故，，所以，.

（2）由（1）得，，所以，，

又由，可得，

即，

解得或，

又，故.

20．用数学归纳法证明：.

【答案】证明见解析

【分析】利用数学归纳法，要先证明时，等式成立，再假设时，等式成立，进而求证时，等式成立即可．

【详解】证明：①当时，左边，右边，等式成立；

②假设当时，等式成立，

即

则当时，

左边

即时，等式也成立．

所以对任意正整数都成立．

21．已知数列是首项为，公比为的等比数列，设，数列满足.

（1）求证：数列是等差数列；

（2）求数列的前项和.

【答案】（1）详见解析（2）.

【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得到an，利用对数的运算法则即可得到bn；

（2）利用（1）即可得到cn，再利用“错位相减法”即可得到Sn．

【详解】（1）证明：∵数列是首项为，公比为的等比数列，

∴

∵

∴，

∵，

∴

∴数列是首项为1，公差为3的等差数列.

（2）解：∵，，，

∴

∴数列的前项和

，

∴

∴

，

∴ .

【点睛】用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

22．已知数列的前项和.

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用，结合已知条件可求出通项公式，

（2）由（1）得，然后利用裂项相消求和法求解即可.

【详解】（1）当时，，

当时，

，

因为满足上式，

所以，

（2）由（1）得，

所以