2022--2023学年人教2019A版高二数学开学考01

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高二开学考01
一、单选题
1．已知复数z在复平面内的对应的点的坐标为(-2，1)，则下列结论正确的是（       ）
A．复数z的共轭复数是 B． ，
C． D．的虚部是
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数z在复平面内的对应的点求出复数的表达式，然后根据共轭复数的定义、复数模的计算公式、复数虚部的定义、复数的乘法运算法则进行逐一判断即可
【详解】
因为复数z在复平面内的对应的点的坐标为(-2，1)，
所以，因此，所以选项A不正确；
因为，所以选项B不正确；
因为，所以选项C不正确；
因为，所以的虚部是，因此选项D正确，
故选：D
2．已知向量、满足，则（       ）
A．6 B． C． D．－2
【答案】D
【解析】
【分析】
将两边平方，根据向量数量积的运算律即可求出的值.
【详解】
.
故选：D.
3．中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，若，且，则的面积为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件，由余弦定理可得角B得大小，再由正弦公式即可求得三角形得面积.
【详解】
∵，∴∴
则，.
故选：C.
4．已知一组数据：的平均数是5，方差是4，则由，，和 这四个数据组成的新数据组的方差是（       ）
A．16 B．14 C．12 D．11
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平均数、方差公式计算可得；
【详解】
解：由已知得，，
则新数据的平均数为，
所以方差为，
，
故选：C．
5．2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
列举基本事件，利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
记3个“冰墩墩”分别为a、b、c,3个“雪容融”分别为1、2、3；
从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23共15种情况；其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1,a2,a3, b1,b2,b3,c1,c2,c3共9种，
所以概率为：.
故选：C
6．某种药物呈胶囊形状，该胶囊中间部分为圆柱，左右两端均为半径为的半球．已知该胶囊的体积为，则它的表面积为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
设中间圆柱部分的高为，利用体积公式求出，然后由球的表面积和圆柱的侧面积公式求解即可．
【详解】
解：设中间圆柱部分的高为，则胶囊的体积，解得，
所以胶囊的表面积为；
故选：C
7．如图，在中，点D，E分别在边AB，BC上，且均为靠近B的四等分点，CD与AE交于点F，若，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意推出，可得，推出，根据向量的加减运算，用基底表示出，和比较，可得，即得答案.
【详解】
连结DE，

由题意可知，，
所以，则，
所以，所以，，
则，
故，
又，所以，，则，
故选：A
8．如图，在四棱柱中，底面为正方形，底面，，､分别是棱､上的动点，且，则下列结论中正确的是（       ）

A．直线与直线可能异面
B．三棱锥的体积保持不变
C．直线与直线所成角的大小与点的位置有关
D．直线与直线所成角的最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】
A选项，证明出四边形为平行四边形，得到直线与直线一定相交；B选项，作出辅助线，将三棱柱体积分为两部分，证明出体积为定值；C选项，证明出线面垂直，得到线线垂直，确定直线与直线所成角的大小与点的位置无关；D选项，作出辅助线，得到，其中NH为定值，求出HM最大值为，得到直线与直线所成角的最大值不为.
【详解】
连接NC，MC，因为四棱柱中，
，底面为正方形，底面
显然四边形为平行四边形，
所以直线与直线一定相交，A错误；

连接，取的中点O，连接NO，MO，
因为，，由三线合一可知：，，
因为，所以平面MON，
，
设四边形的面积为S，则为定值，
故为定值，
三棱锥的体积保持不变，B正确；

连接BD，，
因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，
又底面ABCD，平面ABCD，
所以，
因为，所以AC⊥，
因为MN平面，
所以AC⊥MN，
直线与直线所成角的大小与点的位置无关，C错误；

过点N作NH∥AD交于点H，连接HM，
则为直线与直线的夹角，且，
其中，其中为定值，
故要想直线与直线所成角的最大，只需HM最大，
设正方形边长为a，则HN=a，
显然当N与点重合，M与B重合时，HM最大，最大值为，
此时，故D错误.

故选：B
二、多选题
9．如图，在棱长均相等的正四棱锥中，M、N分别为侧棱、的中点，O是底面四边形对角线的交点，下列结论正确的有（       ）

A．平面 B．平面平面
C． D．平面
【答案】ABC
【解析】
【分析】
A选项，由中位线证明线线平行，推导出线面平行；B选项，在A选项的基础上证明面面平行；从而推导出D错误；由勾股定理的逆定理得到，从而得到.
【详解】
因为O为底面四边形对角线的交点，
所以O为的中点，由M是的中点，可得，
因为在平面，平面，
所以平面，A正确；
同理可推得平面，
而，
所以平面平面，B正确；
因为平面，故不可能垂直平面，D错误；
设该正四棱锥的棱长为a，
则，
所以，
因为，
所以，C正确.

故选ABC．
10．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B，则下列结论中正确的是（       ）
A．事件A与事件B互为对立事件
B．事件A与事件B相互独立
C．
D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用对立事件的意义判断A；利用相互独立事件的定义判断B；由事件A，B的概率计算判断C，D作答.
【详解】
依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，
即事件A与事件B不互斥，则事件A与事件B不是对立事件，A不正确；
显然有，

抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：

，共36个，它们等可能，
事件AB所含的结果有：，共8个，
则有，即事件A与事件B相互独立，B正确；
显然，，C，D都正确.
故选：BCD
11．在△ABC中，D在线段AB上，且，，若，，则（       ）
A． B．△ABC的面积为8
C．△ABC的周长为 D．△ABC为钝角三角形
【答案】BCD
【解析】
【分析】
在中，利用正弦定理求得，再根据即可判断A；在中，利用余弦定理求出，再利用三角形得面积公式即可判断B；在中，利用余弦定理求出，即可判断C；利用余弦定理求得即可判断D.
【详解】
解：在中，
因为，所以为钝角，则，
因为，
所以，故，
所以，故A错误；
在中，因为，则，
由，
得，解得，所以，
在中，，故B正确；
在中，，
所以，
所以△ABC的周长为，故C正确；
因为，所以，
在中，，
所以为钝角，
所以△ABC为钝角三角形，故D正确.
故选：BCD.

12．在△ABC中，，BC边上的高为2，则的取值可能是（       ）
A．-6 B．-3 C．1 D．2
【答案】BCD
【解析】
【分析】
如图所示，以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系.利用向量的坐标运算求出，对照四个选项，得到正确答案.
【详解】
如图所示，以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立直角坐标系.

则,.
因为BC边上的高为2，不妨设，所以
所以
对照四个选项，的取值可能是-3，1，2，不可能为-6.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知是虚数单位，复数，则z的共轭复数___________.
【答案】
【解析】
【分析】
先求出复数z，再求z的共轭复数.
【详解】
因为，所以z的共轭复数.
故答案为：.
14．在发生某公共卫生事件期间，如果该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”，那么，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例相关数据，①②③④中，一定符合该标志的是______．
①甲地：平均数为3，中位数为4．
②乙地：平均数为1，方差大于0．
③丙地：中位数为2，众数为3．
④丁地：平均数为2，方差为3．
【答案】④
【解析】
【分析】
根据题意可知连续10天内每天的新增疑似病例不能超过7．结合平均数、中位数、众数、方差的定义举例说明，依次判断①②③④即可.
【详解】
根据题意，可知连续10天内，每天的新增疑似病例不能超过7．
①：甲地平均数为3，中位数为4，可能存在大于7的数，
如连续10天的数据为0、0、1、1、4、4、4、4、4、8，故①不符；
②：乙地平均数为1，方差大于0，也有可能存在大于7的数，
如连续10天的数据为0、0、0、0、0、0、0、0、0、10，故②不符；
③：丙地中位数为2，众数为3，也有可能存在大于7的数，
如连续10天的数据为0、0、0、0、2、2、3、3、3、8，故③不符；
④：分别设丁地连续10天的数据为、、…、，
因为平均数为2，方差为3，所以有，
即．
所以，
又，所以，故④符合．
故答案为：④.
15．龙马负图如图所示．数千年来被认为是中华文化的源头，传说伏羲通过龙马身上的图案（河图）画出“八卦”．其结构是一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八为友居左，四与九同道居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，墨点为阴数．若从阳数和阴数中分别随机抽出1个，则被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为______．

【答案】##0.4
【解析】
【分析】
根据给定条件，用列举法写出所有可能结果，再利用古典概率公式计算作答.
【详解】
依题意，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，10，
从阳数和阴数中分别随机抽出1个有：
，共25个结果，
被抽到的2个数的数字之和超过12的有：，共10种，
所以被抽到的2个数的数字之和超过12的概率为.
故答案为：
16．如图，在棱长为的正方体中，是侧面内的一个动点（不包含四边形的边），则下列错误说法的序号是__________.

①三角形的面积为；
②存在点，满足；
③存在无限个点，使得三角形是等腰三角形；
④三棱锥的体积有最大值、无最小值.
【答案】①④
【解析】
【分析】
当在上时，；当不在上时，，可知①错误；若，可知点在以中点为球心，为半径的球面上，由球面和侧面有交点可知②正确；根据线段的中垂面与侧面的交线为（不含端点），可知③正确；由，根据无最值可知④错误.
【详解】
对于①，当在上时，，点到直线的距离为，
此时；
当不在上时，点到平面的距离为，此时点到直线的距离大于，此时；①错误；
对于②，若存在点，满足，则点在以中点为球心，为半径的球面上；又球心到的距离为，可知该球与平面有交点，
存在点，满足，②正确；
对于③，若三角形是等腰三角形，则点在线段的中垂面上，即平面上，
又在侧面上，点轨迹为线段（不含端点），
存在无限个点，使得三角形是等腰三角形，③正确；
对于④，，
面积为定值，则由到平面，即平面的距离；
当在侧面上时，其到平面的距离不存在最大值和最小值，
则三棱锥的体积无最大值和最小值，④错误.
故答案为：①④
四、解答题
17．已知复数，其中i为虚数单位．
(1)若z是纯虚数，求实数m的值；
(2)若，是关于x的实系数方程的一个复数根，求实数a，b的值．
【答案】(1)1
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意列方程组，即可求出m；
（2）判断出和是方程的根，以根与系数的关系即可求解.
(1)
因为复数是纯虚数，
所以，解得：m=1.
(2)
当时，.
因为是关于x的实系数方程的一个复数根，所以的共轭复数也是实系数方程的根，
所以，解得：.
18．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）、一户居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100户居民每户的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

(1)求直方图中a的值；
(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由．
【答案】(1)0.3
(2)2.9
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图的性质求；
（2）由频率分布直方图求出85百分位数对应的用水量后可得．
(1)
由频率分布直方图得，
；
(2)
频率分布直方图用水量在的频率为，
在用水量在的频率为，
因此第85百分位数在上，设其为，
则，．
19．新冠疫苗有三种类型：腺病毒载体疫苗､灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗，腺病毒载体疫苗只需要接种一针即可产生抗体，适合身体素质较好的青壮年，需要短时间内完成接种的人群，突发聚集性疫情的紧急预防.灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗安全性高，适合老､幼､哺､孕及有慢性基础病患者和免疫缺陷人群，灭活疫苗需要接种两次.重组蛋白亚单位新冠疫苗需要完成全程三针接种，接种第三针后，它的有效保护作用为90%，人体产生的抗体数量提升5-10倍，甚至更高（即接种疫苗第三针后，有90%的人员出现这种抗疫效果）．以下是截止2021年12月31日在某县域内接种新冠疫苗人次（单位：万人，忽略县外人员在本县接种情况）统计表：

腺病毒载体疫苗
灭活疫苗
重组蛋白亚单位疫苗
第一针
0.5
10
110
第二针
0
10
110
第三针
0
0
100

其中接种腺病毒载体疫苗的统计情况如下：
接种时间
接种原因
接种人次（单位：人）
3月
疫情突发
1500
6月
高考考务
1000
7月
抗洪救灾
2500

(1)遭遇3月疫情突发､服务6月高考考务､参加7月抗洪救灾的人都是不同的人，在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，求这个人参加了抗洪救灾的概率；
(2)在已接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗的人员中，以人体产生的抗体数量是否至少提升5-10倍为依据，用分层抽样的方法抽取4人，再从这4人随机抽取2人，求这2人均为人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的疫苗接种者的概率．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）参加了抗洪救灾的接种人数为2500，总接种腺病毒载体疫苗的人数有5000，根据古典概型即可求解；
（2）接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗人次共有120万人，接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗人次共有120万人，比率为，所以抽取4人中有1人人体产生的抗体数量不足以提升5-10倍，由列举法即可求解结果．
(1)
在已接种腺病毒载体疫苗的人员中随机抽取一名，这个人参加了抗洪救灾的概率为
；
(2)
截止2021年12月31日在某县域内接种灭活疫苗和重组蛋白亚单位疫苗人次共有120万人
其中接种灭活疫苗有10万人，接种重组蛋白亚单位疫苗有110万人，这110万人中只有100
万人接种了第三针，根据有效保护率只有90万人人体产生的抗体数量至少提升5-10倍，
比率为.所以以人体产生的抗体数量是否至少提升5-10倍为依据，用分层抽样的方
法抽取4人，有1人人体产生的抗体数量不足以提升5-10倍，3人人体产生的抗体数量至少
提升5-10倍．
设抽取4人中不足以提升5-10倍的那个人为，其他3人分别为故从这4人中
随机抽取2人，所有可能结果分别为共有6个结果，其中
2人均为人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的疫苗接种者的结果有共有
3个结果．
所以2人均为人体产生的抗体数量至少提升5-10倍的疫苗接种者的概率为.
20．在中，内角A､B､C的对边分别为a､b､c，已知___________.
（在以下这两个条件中任选一个填入上方的横线上作为已知条件，并解答下面两个问题，如果选择多个条件解答，按第一个解答计分）
①；②.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）选择①，根据已知条件及正弦定理，再利用同角三角函数的商数关系，再利用三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；
选择②，根据已知条件及正弦定理，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式的逆用，再利用三角函数的特殊值对应特殊角即可求解；
（2）根据（1）结论及三角形的面积公式，再利用余弦定理和三角形的周长公式即可求解.
(1)
选择①，
由及正弦定理，得
，，
所以，则，
由，所以.
选择②，
由及正弦定理，得
，
即，
又，，
由，故.
(2)
由（1），
，即，
由余弦定理知：，
所以，故，即，
则的周长为.
21．如图所示，矩形中，，.、分别在线段和上，，将矩形沿折起.记折起后的矩形为，且平面平面.

(1)求证：平面；
(2)若，求证：；
(3)求四面体体积的最大值
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
【解析】
【分析】
(1)要证线面平行，先证线线平行，先证四边形是平行四边形，即可.
(2)要证线线垂直，先证线面垂直，先证平面即可.
(3) 设,四面体的体积为,即可求最值.
(1)
证明：∵四边形，都是矩形，
∴，，∴四边形是平行四边形，       
∴，∵平面，∴平面；
(2)
证明：连接，设，∵平面平面，且，
∴平面，∴，
又，∴四边形为正方形，∴，                      
∴平面，又平面，∴，
(3)
解：设，则，其中，
由（1）得平面，
∴四面体的体积为：   
，             
时，四面体的体积最大，其最大值为.

22．如图，在中，点为中点，点为的三等分点，且靠近点，设，，，，且，与交于点.

(1)求；
(2)若点为线段上的任意一点，连接，求的取值范围.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由向量的线性运算表示，，根据向量垂直的条件求得，继而可求得；
（2）以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，设点，且，，运用二次函数的性质可求得的取值范围.
(1)
解：，


，
又，所以，所以，
由得，
所以

.
所以；
(2)
解：以点C为坐标原点，CB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如下图所示，则
，，，，，，
又点为线段上的任意一点，设点，且，则，，
所以，
所以当时，取得最大值：，
当或时，取得最小值：，
所以的取值范围为.