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    5. 2023年中考数学复习 解答题专练五 二次函数

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    5. 2023年中考数学复习 解答题专练五 二次函数

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    这是一份5. 2023年中考数学复习 解答题专练五 二次函数,共22页。
    2023年中考数学复习解答题专练 二次函数1.(2022•青岛中考)已知二次函数y=x2+mx+m2﹣3(m为常数,m>0)的图象经过点P(2,4).(1)求m的值;(2)判断二次函数y=x2+mx+m2﹣3的图象与x轴交点的个数,并说明理由.       2.(2022•绍兴中考)已知函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点(0,﹣3),(﹣6,﹣3).(1)求b,c的值.(2)当﹣4≤x≤0时,求y的最大值.(3)当m≤x≤0时,若y的最大值与最小值之和为2,求m的值.           3.(2022•杭州中考)设二次函数y1=2x2+bx+c(b,c是常数)的图象与x轴交于A,B两点.(1)若A,B两点的坐标分别为(1,0),(2,0),求函数y1的表达式及其图象的对称轴.(2)若函数y1的表达式可以写成y1=2(x﹣h)2﹣2(h是常数)的形式,求b+c的最小值.(3)设一次函数y2=x﹣m(m是常数),若函数y1的表达式还可以写成y1=2(x﹣m)(x﹣m﹣2)的形式,当函数y=y1﹣y2的图象经过点(x0,0)时,求x0﹣m的值.         4.(2022•北京中考)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m),(3,n)在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上,设抛物线的对称轴为直线x=t.(1)当c=2,m=n时,求抛物线与y轴交点的坐标及t的值;(2)点(x0,m)(x0≠1)在抛物线上.若m<n<c,求t的取值范围及x0的取值范围.      5.(2022•深圳中考)二次函数y=2x2,先向上平移6个单位,再向右平移3个单位,用光滑的曲线画在平面直角坐标系上.y=2x2y=2(x﹣3)2+6(0,0)(3,m)(1,2)(4,8)(2,8)(5,14)(﹣1,2)(2,8)(﹣2,8)(1,14)(1)m的值为      (2)在坐标系中画出平移后的图象并写出yx2+5与yx2的交点坐标;(3)点P(x1,y1),Q(x2,y2)在新的函数图象上,且P,Q两点均在对称轴同一侧,若y1>y2,则x1     x2.(填不等号)      6.(2022•辽宁中考)某超市以每件13元的价格购进一种商品,销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于18元.经过市场调查发现,该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)销售单价定为多少时,该超市每天销售这种商品所获的利润最大?最大利润是多少?      7.(2022•潍坊中考)为落实“双减”,老师布置了一项这样的课后作业:二次函数的图象经过点(﹣1,﹣1),且不经过第一象限,写出满足这些条件的一个函数表达式.【观察发现】请完成作业,并在直角坐标系中画出大致图象.【思考交流】小亮说:“满足条件的函数图象的对称轴一定在y轴的左侧.”小莹说:“满足条件的函数图象一定在x轴的下方.”你认同他们的说法吗?若不认同,请举例说明.【概括表达】小博士认为这个作业的答案太多,老师不方便批阅,于是探究了二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系,得出了提高老师作业批阅效率的方法.请你探究这个方法,写出探究过程.8.(2022•河南中考)小红看到一处喷水景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究:测得喷水头P距地面0.7m,水柱在距喷水头P水平距离5m处达到最高,最高点距地面3.2m;建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线的表达式为y=a(x﹣h)2+k,其中x(m)是水柱距喷水头的水平距离,y(m)是水柱距地面的高度.(1)求抛物线的表达式.(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头P水平距离3m.身高1.6m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离.      9.(2022•潍坊中考)某市在盐碱地种植海水稻获得突破性进展,小亮和小莹到海水稻种植基地调研.小莹根据水稻年产量数据,分别在直角坐标系中描出表示2017﹣2021年①号田和②号田年产量情况的点(记2017年为第1年度,横轴表示年度,纵轴表示年产量),如图.小亮认为,可以从y=kx+b(k>0),y(m>0),y=﹣0.1x2+ax+c中选择适当的函数模型,模拟①号田和②号田的年产量变化趋势.(1)小莹认为不能选y(m>0).你认同吗?请说明理由;(2)请从小亮提供的函数模型中,选择适当的模型分别模拟①号田和②号田的年产量变化趋势,并求出函数表达式;(3)根据(2)中你选择的函数模型,请预测①号田和②号田总年产量在哪一年最大?最大是多少?         10.(2022•陕西中考)现要修建一条隧道,其截面为抛物线型,如图所示,线段OE表示水平的路面,以O为坐标原点,以OE所在直线为x轴,以过点O垂直于x轴的直线为y轴,建立平面直角坐标系.根据设计要求:OE=10m,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式;(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯,如图所示,即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯.已知点A、B到OE的距离均为6m,求点A、B的坐标.   11.(2022•牡丹江中考)已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,顶点为D.(1)求该抛物线的解析式;(2)连接BC,CD,BD,P为BD的中点,连接CP,则线段CP的长是      注:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线x,顶点坐标是().   12.(2022•湘潭中考)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》,某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙,围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外,实线部分为篱笆墙,且不浪费篱笆墙),请根据设计方案回答下列问题:(1)方案一:如图①,全部利用围墙的长度,但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池,且需保证总种植面积为32m2,试分别确定CG、DG的长;(2)方案二:如图②,使围成的两块矩形总种植面积最大,请问BC应设计为多长?此时最大面积为多少?            13.(2022•北京中考)单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一,举办场地为首钢滑雪大跳台.运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系,从起跳到着陆的过程中,运动员的竖直高度y(单位:m)与水平距离x(单位:m)近似满足函数关系y=a(x﹣h)2+k(a<0).某运动员进行了两次训练.(1)第一次训练时,该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下:水平距离x/m02581114竖直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40根据上述数据,直接写出该运动员竖直高度的最大值,并求出满足的函数关系y=a(x﹣h)2+k(a<0);(2)第二次训练时,该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=﹣0.04(x﹣9)2+23.24.记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1,第二次训练的着陆点的水平距离为d2,则d1     d2(填“>”“=”或“<”).    14.(2022•温州中考)根据以下素材,探索完成任务.如何设计拱桥景观灯的悬挂方案?素材1图1中有一座拱桥,图2是其抛物线形桥拱的示意图,某时测得水面宽20m,拱顶离水面5m.据调查,该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高.素材2为迎佳节,拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼,如图3.为了安全,灯笼底部距离水面不小于1m;为了实效,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m;为了美观,要求在符合条件处都挂上灯笼,且挂满后成轴对称分布.问题解决任务1确定桥拱形状在图2中建立合适的直角坐标系,求抛物线的函数表达式.任务2探究悬挂范围在你所建立的坐标系中,仅在安全的条件下,确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围.任务3拟定设计方案给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量,并根据你所建立的坐标系,求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标.
    15.(2022•德州中考)如图,题目中的黑色部分是被墨水污染了无法辨认的文字,导致题目缺少一个条件而无法解答,经查询结果发现,该二次函数的解析式为y=x2﹣4x+1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,1),B(1,﹣2),求该二次函数的解析式.(1)请根据已有信息添加一个适当的条件:     (2)当函数值y<6时,自变量x的取值范围:     (3)如图1,将函数y=x2﹣4x+1(x<0)的图象向右平移4个单位长度,与y=x2﹣4x+1(x≥4)的图象组成一个新的函数图象,记为L.若点P(3,m)在L上,求m的值;(4)如图2,在(3)的条件下,点A的坐标为(2,0),在L上是否存在点Q,使得S△OAQ=9.若存在,求出所有满足条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由.      参考答案1. 解:(1)将(2,4)代入y=x2+mx+m2﹣3得4=4+2m+m2﹣3,解得m1=1,m2=﹣3,又∵m>0,∴m=1.(2)∵m=1,∴y=x2+x﹣2,∵Δ=b2﹣4ac=12+8=9>0,∴二次函数图象与x轴有2个交点.2. 解:(1)把(0,﹣3),(﹣6,﹣3)代入y=﹣x2+bx+c,得b=﹣6,c=﹣3.(2)∵y=﹣x2﹣6x﹣3=﹣(x+3)2+6,又∵﹣4≤x≤0,∴当x=﹣3时,y有最大值为6.(3)①当﹣3<m≤0时,当x=0时,y有最小值为﹣3,当x=m时,y有最大值为﹣m2﹣6m﹣3,∴﹣m2﹣6m﹣3+(﹣3)=2,∴m=﹣2或m=﹣4(舍去).②当m≤﹣3时,当x=﹣3时y有最大值为6,∵y的最大值与最小值之和为2,∴y最小值为﹣4,∴﹣(m+3)2+6=﹣4,∴m或m(舍去).综上所述,m=﹣2或3. 解:(1)∵二次函数y1=2x2+bx+c过点A(1,0)、B(2,0),∴y1=2(x﹣1)(x﹣2),即y1=2x2﹣6x+4.∴抛物线的对称轴为直线x(2)把y1=2(x﹣h)2﹣2化成一般式得,y1=2x2﹣4hx+2h2﹣2.∴b=﹣4h,c=2h2﹣2.∴b+c=2h2﹣4h﹣2=2(h﹣1)2﹣4.把b+c的值看作是h的二次函数,则该二次函数开口向上,有最小值,∴当h=1时,b+c的最小值是﹣4.(3)由题意得,y=y1﹣y2=2(x﹣m) (x﹣m﹣2)﹣(x﹣m) (x﹣m)[2(x﹣m)﹣5].∵函数y的图象经过点 (x0,0),∴(x0﹣m)[2(x0﹣m)﹣5]=0.∴x0﹣m=0,或2(x0﹣m)﹣5=0.  即x0﹣m=0或x0﹣m4. 解:(1)法一、将点(1,m),(3,n)代入抛物线解析式,∵m=n,∴a+b+c=9a+3b+c,整理得,b=﹣4a,∴抛物线的对称轴为直线x2;∴t=2,∵c=2,∴抛物线与y轴交点的坐标为(0,2).法二、当m=n时,点A(1,m),B(3,n)的纵坐标相等,由抛物线的对称性可得,抛物线的对称轴为x∴t=2,∵c=2,∴抛物线与y轴交点的坐标为(0,2).(2)∵m<n<c,∴a+b+c<9a+3b+c<c,解得﹣4a<b<﹣3a,∴3a<﹣b<4a,,即t<2.当t时,x0=2;当t=2时,x0=3.∴x0的取值范围2<x0<3.综上,t的取值范围为:t<2;x0的取值范围2<x0<3.5. 解:(1)将(0,0)先向上平移6个单位,再向右平移3个单位后对应点的坐标为(3,6),∴m=6,故答案为:6;(2)平移后的函数图象如图:联立方程组解得∴yx2+5与yx2的交点坐标为(),();(3)∵点P(x1,y1),Q(x2,y2)在新的函数图象上,且P,Q两点均在对称轴同一侧,当P,Q两点同在对称轴左侧时,若y1>y2,则x1<x2当P,Q两点同在对称轴右侧时,若y1>y2,则x1>x2故答案为:<或>.6.解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0),由所给函数图象可知:解得:故y与x的函数关系式为y=﹣20x+500;(2)设每天销售这种商品所获的利润为w,∵y=﹣20x+500,∴w=(x﹣13)y=(x﹣13)(﹣20x+500)=﹣20x2+760x﹣6500=﹣20(x﹣19)2+720,∵﹣20<0,∴当x<19时,w随x的增大而增大,∵13≤x≤18,∴当x=18时,w有最大值,最大值为700,∴售价定为18元/件时,每天最大利润为700元.7. 解:y=﹣x2(答案不唯一);【观察发现】如图:【思考交流】我不认同他们的说法,理由如下:∵抛物线的对称轴为x,a<0,∴抛物线的对称轴可以在y轴的左侧,也可以在y轴的右侧,或者是y轴,例如:y=﹣x2∴小亮的说法不正确;∵抛物线y=﹣x2经过x轴,∴小莹的说法不正确;【概括表达】设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,∵经过点(﹣1,﹣1),∴a﹣b+c=﹣1且a<0,①当对称轴在y轴右侧时,即b>0,此时顶点在x轴上或x轴下方,∴Δ=b2﹣4ac≤0,即b2≤4ac,∴ac≥0,∵a<0,∴c≤0,∵函数不经过第一象限,∴c<0,∵2ac≤a2+c2∴4ac≤(a+c)2=(b﹣1)2∴b2≤(b﹣1)2解得b②当对称轴在y轴左侧或y轴上时,b≤0,只需保证与y轴交点在x轴上或x轴下方,∴c≤0;综上所述:当b>0时,a<0,b;当b≤0时,c≤0;且a﹣b+c=﹣1.8. 解:(1)由题意知,抛物线顶点为(5,3.2),设抛物线的表达式为y=a(x﹣5)2+3.2,将(0,0.7)代入得:0.7=25a+3.2,解得a∴y(x﹣5)2+3.2x2+x答:抛物线的表达式为yx2+x(2)当y=1.6时,x2+x1.6,解得x=1或x=9,∴她与爸爸的水平距离为3﹣1=2(m)或9﹣3=6(m),答:当她的头顶恰好接触到水柱时,与爸爸的水平距离是2m或6m.9. 解:(1)认同,理由是:当m>0时,y中,y随x的增大而减小,而从图中描点可知,x增大y随之增大,故不能选y(m>0);(2)观察①号田和②号田的年产量变化趋势可知,①号田为y=kx+b(k>0),②号田为y=﹣0.1x2+ax+c,把(1,1.5),(2,2.0)代入y=kx+b得:解得∴y=0.5x+1;把(1,1.9),(2,2.6)代入y=﹣0.1x2+ax+c得:解得∴y=﹣0.1x2+x+1,答:模拟①号田的函数表达式为y=0.5x+1,模拟②号田的函数表达式为y=﹣0.1x2+x+1;(3)设①号田和②号田总年产量为w吨,由(2)知,w=0.5x+1+(﹣0.1x2+x+1)=﹣0.1x2+1.5x+2=﹣0.1(x﹣7.5)2+7.625,∵﹣0.1<0,抛物线对称轴为直线x=7.5,而x为整数,∴当x=7或8时,w取最大值,最大值为7.6,答:①号田和②号田总年产量在2023年或2024年最大,最大是7.6吨.10. 解:(1)由题意抛物线的顶点P(5,9),∴可以假设抛物线的解析式为y=a(x﹣5)2+9,把(0,0)代入,可得a∴抛物线的解析式为y(x﹣5)2+9;(2)令y=6,得(x﹣5)2+9=6,解得x15,x25,∴A(5,6),B(5,6). 11. 解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,解得:∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴D(1,4),把x=0代入y=﹣x2+2x+3,得y=3,∴C(0,3),∵P为BD的中点,∴P(2,2),∴CP故答案为:12. 解:(1)∵(21﹣12)÷3=3(m),∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3=36(m2),设水池的长为am,则水池的面积为a×1=a(m2),∴36﹣a=32,解得a=4,∴DG=4m,∴CG=CD﹣DG=12﹣4=8(m),即CG的长为8m、DG的长为4m;(2)设BC长为xm,则CD长度为21﹣3x,∴总种植面积为(21﹣3x)•x=﹣3(x2﹣7x)=﹣3(x2∵﹣3<0,∴当x时,总种植面积有最大值为m2即BC应设计为m总种植面积最大,此时最大面积为m2 13. 解:(1)根据表格中的数据可知,抛物线的顶点坐标为:(8,23.20),∴h=8,k=23.20,即该运动员竖直高度的最大值为23.20m,根据表格中的数据可知,当x=0时,y=20.00,代入y=a(x﹣8)2+23.20得:20.00=a(0﹣8)2+23.20,解得:a=﹣0.05,∴函数关系式为:y=﹣0.05(x﹣8)2+23.20;(2)设着陆点的纵坐标为t,则第一次训练时,t=﹣0.05(x﹣8)2+23.20,解得:x=8或x=8∴根据图象可知,第一次训练时着陆点的水平距离d1=8第二次训练时,t=﹣0.04(x﹣9)2+23.24,解得:x=9或x=9∴根据图象可知,第二次训练时着陆点的水平距离d2=9∵20(23.20﹣t)<25(23.24﹣t),∴d1<d2故答案为:<.14. 解:任务1:以拱顶为原点,建立如图1所示的直角坐标系,则顶点为(0,0),且过点B(10,﹣5),设抛物线的解析式为:y=ax2把点B(10,﹣5)代入得:100a=﹣5,∴a∴抛物线的函数表达式为:yx2任务2:∵该河段水位再涨1.8m达到最高,灯笼底部距离水面不小于1m,灯笼长0.4m,∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4=﹣1.8,即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m,当y=﹣1.8时,x2=﹣1.8,∴x=±6,∴悬挂点的横坐标的取值范围是:﹣6≤x≤6;任务3:方案一:如图2(坐标轴的横轴),从顶点处开始悬挂灯笼,∵﹣6≤x≤6,相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m,∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时,1.6×4>6,若顶点一侧悬挂3盏灯笼时,1.6×3<6,∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼,∵灯笼挂满后成轴对称分布,∴共可挂7盏灯笼,∴最左边一盏灯笼的横坐标为:﹣1.6×3=﹣4.8;方案二:如图3,∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时,0.8+1.6×(5﹣1)>6,若顶点一侧悬挂4盏灯笼时,0.8+1.6×(4﹣1)<6,∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼,∵灯笼挂满后成轴对称分布,∴共可挂8盏灯笼,∴最左边一盏灯笼的横坐标为:﹣0.8﹣1.6×3=﹣5.6.15. 解:(1)C(2,﹣3),故答案为:C(2,﹣3)(答案不唯一);(2)∵y=x2﹣4x+1,∴当x2﹣4x+1=6时,解得x=5或x=﹣1,∴当y<6时,﹣1<x<5,故答案为:﹣1<x<5;(3)∵y=x2﹣4x+1=(x﹣2)2﹣3,∴抛物线向右平移4个单位后的解析式为y=(x﹣6)2﹣3,当x=3时,点P在抛物线y=(x﹣6)2﹣3的部分上,∴m=6;(4)存在点Q,使得S△OAQ=9,理由如下:当Q点在抛物线y=(x﹣6)2﹣3的部分上时,设Q(t,t2﹣12x+33),∴S△OAQ2×(t2﹣12x+33)=9,解得t=6+2或t=6﹣2∴t<4,∴t=6﹣2∴Q(6﹣2,9);当Q点在抛物线y=x2﹣4x+1的部分上时,设Q(m,m2﹣4m+1),∴S△OAQ2×(m2﹣4m+1)=9,解得m=22或m=﹣2∵m≥4,∴m=22,∴Q(22,9);综上所述:Q点坐标为(6﹣2,9)或(22,9).  

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