2023届河南省洛阳市新安县第一高级中学高三（实验班）上学期入学测试数学（理）试题含解析

这是一份2023届河南省洛阳市新安县第一高级中学高三（实验班）上学期入学测试数学（理）试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省洛阳市新安县第一高级中学高三（实验班）上学期入学测试数学（理）试题 一、单选题1．设集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】分别求两个集合，再求.【详解】，解得：，所以，，解得：，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查集合的交集，不等式的解法，重点考查计算能力，属于基础题型.2．若复数满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，利用复数的乘除运算求得复数z，再求共轭复数.【详解】因为.所以所以.故选：A【点睛】本题主要考查复数的共轭复数和复数的代数运算，属于基础题.3．的展开式中含项的系数是（    ）A．60 B．  C．12 D．【答案】D【分析】根据二项式定理通项公式求解即可.【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得：， 所以令得，所以，故的系数为.故选：D.【点睛】本题考查二项式定理，考查运算能力，是基础题.4．已知向量，，若，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】当时，，利用向量的数量积坐标运算公式求解即可.【详解】因为，所以，即，得.故选：C.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，属于简单题，只需要准确运用向量的数量积运算公式就可以解得答案.5．某中学有高中生3600人，初中生2400人，为了解学生课外锻炼情况，用分层抽样的方法从校学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则（    ）A．48 B．72 C．60 D．120【答案】D【分析】求出高中生人数与初中生人数之比为，由可解得结果.【详解】由题意可知，该校高中生人数与初中生人数之比为，则，解得．故选：D【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，若，则（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根据抛物线的定义得，再根据点在抛物线上得，解方程即可得答案.【详解】解：由抛物线的定义可得：，又因为点在抛物线上，所以有：．所以，解得．故选：A.【点睛】本题考查抛物线标准方程的求解，解题的关键是将转化为，是基础题.7．已知，，，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据指数函数和对数函数单调性，以及函数的单调性，即可比较大小.【详解】是上的单调减函数，故，是上的单调减函数，故，，故；令，则在恒成立，故在单调递增；则，即，故，即；综上所述，.故选：B.8．定义在上的函数满足，对任意的，，，恒有，则关于x的不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，由题设及单调性和奇偶性的知识易得为奇函数，且在上为增函数，不等式等价于，即，最后利用的单调性和奇偶性列出不等式组求解即可.【详解】设，因为对任意的，，，恒有，所以函数在上为增函数，则在上为增函数，又，而，所以，所以为奇函数，综上，为奇函数，且在上为增函数，所以不等式等价于，即，亦即，可得，解得.故选：B．【点睛】关键点睛：本题的解题关键是合理构造函数，从而得出新函数的单调性和奇偶性，最后列出不等式组进行求解.9．已知等差数列的前项和为，满足，，，则（    ）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】C【分析】根据数列是等差数列，结合等差数列的性质得，从而求得，然后由求解.【详解】由题意得，所以.所以.所以，解得.故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的前n项和公式和等差数列的性质的应用，属于中档题.10．已知函数对任意，都有的图象关于对称，且则A．0 B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：函数对任意，都有,,因此函数的周期，把的图象向左平移1个单位的的图象关于对称，因此函数为奇函数，，因此答案为B.【解析】1、函数的周期性；2、函数图象平移；3、函数奇偶性的应用.11．已知函数满足，若函数与的图象的交点为，则（    ）A． B． C．n D．0【答案】A【分析】由函数和的图象都关于对称，可知它们的交点也关于对称，进而分为奇数和为偶数两种情况，分别求出答案即可.【详解】∵函数满足，∴的对称轴为，又函数的对称轴也为，∴两个函数图象的交点也关于对称．当n为偶数时，；当n为奇数时，．综上，．故选：A.【点睛】本题考查函数图象的对称性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.12．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由变形得出，构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，可得出，进一步得出，利用导数求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】因为，由，可得，所以，，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，由可得，所以，，所以，，其中，令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，所以，，解得.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解本题的关键在于将不等式变形为，通过构造函数，进一步将不等式变形为，从而结合函数的单调性与参变量分离法求解. 二、填空题13．在等比数列中，，则__________．【答案】【分析】设等比数列的公比为，由题意可知和同号，结合等比中项的性质可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，由等比中项的性质可得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等比中项的计算，解题时不要忽略了对应项符号的判断，考查计算能力，属于基础题.14．已知函数是奇函数，且当时，，则__________.【答案】【分析】根据函数是奇函数，由求解.【详解】因为函数是奇函数，且当时，，所以.故答案为：【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，属于基础题.15．设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，则实数m的取值范围是________．【答案】【分析】由题意知函数在上是减函数，在上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数，，，定义在上的偶函数在区间上单调递减，，，得．故答案为．【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．16．已知在恒成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【分析】构造函数以及，对原式分离参数后求得的最小值，即可求得参数的范围.【详解】令，则，故当时，，单调递减；当时，，单调递增；则，即恒成立；令，则，故在单调递增，又，故存在，使得；且当时，；当时，；在恒成立，即，也即在恒成立，令，由上述推证可知， ，且存在，使得，又，故的最小值为，故，则.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究恒成立问题，处理问题的关键是构造适当的函数，以及利用分离参数法，属综合中档题. 三、解答题17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且a＝b.(1)求sin B；(2)若△ABC的面积为，求△ABC的周长.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据正弦定理，化简得，结合题意可得，由余弦定理即可求得的值，再应用同角三角函数关系式，求得结果；（2）利用三角形的面积公式，可得，进而得到三角形的周长．【详解】（1）∵，则，由正弦定理可得，又∵，则，即，∴，又∵，故.（2）∵△ABC的面积为，则，∴，故△ABC的周长为.18．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为，每件尺寸限制为，其中头等舱乘客免费行李额为，经济舱乘客免费行李额为.某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如表所示的数据：携带行李重量（）头等舱乘客人数833122经济舱乘客人数37530合计4538152 （1）请完成列联表，并判断是否在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关？ 托运免费行李托运超额行李合计头等舱乘客人数   经济舱乘客人数   合计    （2）调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李超出免费行李额且不超出的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补贴券”，记赠送的补贴券总金额为元，求的分布列与数学期望.参考公式：，其中.参考数据：0.0500.0100.0013.8416.63510.828  【答案】（1）列联表见解析，有关；（2）分布列见解析，元.【分析】（1）根据表格中的数据，得到列联表，利用公式求得的值，结合附表，即可求解；（2）根据题意得出补贴券总金额的所有可能取值，求得相应的概率，得出分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）根据表格中的数据，得到列联表： 托运免费行李托运超额行李合计头等舱乘客人数53255经济舱乘客人数37845合计9010100 可得，所以在犯错概率不超过0.05的前提下，认为托运超额行李与乘客乘坐座位的等级有关.（2）根据题意可得，托运行李超出免费行李额且不超出的旅客有7人（其中女性旅客4人），从中随机抽取4人，则其中女性旅客的人数可能为1，2，3，4，所以补贴券总金额的所有可能取值为100元，200元，300元，400元，则，，，，则的分布列为100200300400 故（元）.【点睛】求随机变量的期望与方差的方法及步骤：1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.19．如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BCAD，AB⊥AD，E为侧棱PA上一点，且AE＝2PE，AP＝3，AB＝BC＝2，AD＝4.(1)证明：PC平面BDE；(2)求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)证明见详解(2) 【分析】（1）根据平行线分线段成比例结合线面平行的判断定理证明；（2）建系，求平面PCD与平面BDE的法向量，利用空间向量求面面夹角.【详解】（1）连接，设，连接，∵BCAD，则，由题意可知：，则OEPC，平面BDE，平面BDE，∴PC平面BDE.（2）如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，则，∴，设平面PCD的法向量，则，令，则，则，同理可得：平面BDE的法向量，∵，∴平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值.20．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，且到直线的距离为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线与椭圆交于、两个不同的点，为坐标原点，是椭圆上的一点，且四边形是平行四边形，求四边形的面积.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题中条件求出、的值，即可得出椭圆的标准方程；（2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，分析可知，可求出点的坐标，代入椭圆的方程，可得出，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】（1）解：直线的方程即为，点到直线的距离为，则，又因为，，则，，因此，椭圆的标准方程为.（2）解：设点、，联立可得，，可得，由韦达定理可得，，，因为四边形为平行四边形，则，即点，将点的坐标代入椭圆的方程可得，则，此时，，点到直线的距离为，，所以，.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．（1）证明不等式：（第一问必须用隐零点解决，否则不给分）；（2）已知函数有两个零点.求a的取值范围.（第二问必须用分段讨论解决，否则不给分）【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）根据给定条件，构造函数，借助导数探讨函数最小值为正即可推理作答.（2）求出函数的导数，利用导数分类讨论函数的单调性、零点情况作答.【详解】（1）令函数，，求导得：，显然函数在上单调递增，而，，则存在，使得，即，有，当时，，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，，所以.（2）函数定义域R，求导得，当时，由得，，由得，，即函数在上递减，在上递增，，而，即存在，使得，则函数在上有唯一零点，取且，则，即存在，使得，则函数在上有唯一零点，因此当时，函数有两个零点，当时，函数只有一个零点2，当时，若，当或时，，当时，，即有在上单调递增，在上单调递减，又，，因此函数在上没有零点，在上最多一个零点，即函数最多一个零点，若，恒有，即函数在R上单调递增，函数最多一个零点，若，当或时，，当时，，即有在上单调递增，在上单调递减，又，，当时，，因此函数在上没有零点，在上最多一个零点，即函数最多一个零点，综上得，当时，函数有两个零点，当时，函数最多一个零点，所以a的取值范围是.22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求直线与曲线的普通方程；（2）若直线与曲线交于，两点，点，求的值．【答案】（1）；；（2）．【分析】（1）将代入直线可得直线普通方程，消去参数可得曲线的普通方程；（2）求得直线的参数方程，代入圆，利用直线参数的几何意义可求.【详解】解：（1）因为，将代入得，所以直线的普通方程为．因为曲线的参数方程为（为参数），消去参数可得曲线的普通方程为．（2）由题意可得直线的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入曲线的普通方程得，则，，故．23．已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最小值是，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）将解析式中绝对值符号去掉，求得分段函数解析式；再在每一段中求得时的解集；从而得出答案；（2）先由（1）求出的最小值，所以得；再将构造成符合基本不等式的形式，从而求其最小值.【详解】解：（1），等价于或或，解得或或．故不等式的解集为.（2）由（1）可知，则，则（当，时，等号成立）．故最小值为．【点睛】本题主要考查分段函数和基本不等式的相关性质，考查运算求解能力，属于基础题型.