2022-2023学年河南省洛阳市宜阳县第一高级中学高二上学期清北园第四次能力达标检测数学（理）试题（解析版）

2022-2023学年河南省洛阳市宜阳县第一高级中学高二上学期清北园第四次能力达标检测数学（理）试题

一、单选题

1．直线过点且与直线垂直，则的方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】求出直线的斜率，然后利用点斜式可写出直线的方程，化为一般式可得出答案.

【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为，

因此，直线的方程为，即.

故选：A.

【点睛】本题考查垂线方程的求解，一般要求出直线的斜率，也可以利用垂直直线系方程来求解，考查计算能力，属于基础题.

2．设直线的方程为，直线的方程为，则直线与的距离为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用平行线间距离公式求解即可.

【详解】直线的方程为，

.

故选：B

3．点关于直线对称的点的坐标是

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设点关于直线对称的点为，根据斜率关系和中点坐标公式，列出方程组，即可求解.

【详解】由题意，设点关于直线对称的点为，

则，解得，

即点关于直线对称的点为，故选A.

【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点的求解，其中解答中熟记点关于直线的对称点的解法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.

4．已知，若直线与直线平行，则它们之间的距离为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】根据平行关系确定参数，结合平行线之间的距离公式即可得出．

【详解】解：直线与直线平行，

，解得或，

又，所以，

当时，直线与直线距离为.

故选：A

5．若点到直线的距离不大于，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据点到直线的距离公式列出不等式即可求解.

【详解】由点到直线的距离公式及题意可得到直线的距离，

再由题意可得，整理可得：，

解得，

故选：A.

6．点为圆上一动点，点到直线的最短距离为（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】C

【分析】首先判断直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径，然后求出最短距离即可．

【详解】解：圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，则点到直线的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径．所以点到直线的最短距离为．

故选：C．

7．一束光线从点射出，经x轴上一点C反射后到达圆上一点B，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】做出圆关于轴的对称圆，进而根据图形得即可求解.

【详解】解：如图，圆的圆心，

其关于轴的对称圆的圆心为，

由图得.

故选：C.

【点睛】解题的关键在于求圆关于轴的对称圆圆心，进而将问题转化求解.

8．古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B的距离为2，动点Р满足，若点Р不在直线AB上，则面积的最大值为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹方程，再求出点P到直线AB距离的最大值即可计算作答.

【详解】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，

则，设点，由得：，即，

整理得：，因此点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，则P到直线AB距离的最大值为，

所以面积的最大值为.

故选：B

9．已知焦点在x轴上且离心率为的椭圆E，其对称中心是原点，过点的直线与E交于A，B两点，且，则点B的纵坐标的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】设，，利用，得到，再由椭圆的离心率为，设椭圆E的标准方程为，由A，B两点在椭圆上，得到求解.

【详解】设，，

则由，可得，

解得，，即.

因为椭圆的离心率为，

所以可设椭圆E的标准方程为，

所以，消去，的平方项，得，

由，即，

解得，

又，所以，

所以，

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键是由A，B两点在椭圆上，得到，进而由椭圆的范围求得m的范围而得解.

10．已知双曲线C的方程为（a，），其离心率为e，直线与双曲线C交于A，B两点，线段中点M在第一象限，并且在抛物线（）上，且M到抛物线焦点距离为p，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用抛物线的定义，确定的坐标，利用点差法将线段中点的坐标代入，化简整理由离心率公式即可求得结论．

【详解】在抛物线上，且到抛物线焦点的距离为，

则有抛物线的定义可得，，

的横坐标为，，，

设，，，，即有，，

则，，

两式相减，并将线段中点的坐标代入，可得，

直线的斜率为．

故选：C.

【点睛】本题考查双曲线与抛物线的综合运用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点差法的运用.

11．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解.

【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，

则抛物线的准线为，

令，则，解得，所以,

又因为双曲线的渐近线方程为，所以，

所以，即，所以，

所以双曲线的离心率.

故选：A.

12．已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】把直线的方程和双曲线的方程联立，由于直线与双曲线的右支相交于不同的两点，根据韦达定理即可求得实数的取值范围.

【详解】联立直线方程和双曲线方程，

化简得，

因为直线与双曲线的右支交于不同两点，

所以,不妨设两交点的横坐标为，则,

则，解得；

所以实数的取值范围为.

故选：D.

13．已知双曲线C：-＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，若过原点倾斜角为的直线与双曲线C左右两支交于M、N两点，且MF1NF1，则双曲线C的离心率是（       ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【分析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.

【详解】设双曲线的右焦点为F2，过原点倾斜角为的直线为，设M、N分别在第三、第一象限，

由双曲线和直线的对称性可知：M、N两点关于原点对称，而MF1NF1，因此四边形是矩形，而，

所以是等边三角形，故，因此，

因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：

，由矩形的性质可知：，

由双曲线的定义可知：，

故选：C

【点睛】关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.

二、填空题

14．若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则的取值范围是___________.

【答案】

【分析】圆心到直线的距离为，根据题意得到，计算得到答案.

【详解】，圆心为，半径，圆心到直线的距离为.

恰有2个点到直线的距离等于1，则，

即，解得.

故答案为：

15．求过点A(2，1)与圆相切的直线方程________

【答案】

【分析】首先说明切线斜率存在，设出切线方程后由圆心到切线距离等于半径求得参数值得切线方程．

【详解】显然斜率不存在的直线与圆不相切，

因此设切线方程为，即，

圆心是，圆半径为，

所以，解得，

所以切线方程为，即．

故答案为：．

三、解答题

16．（1）已知直线与直线平行，求实数m的值;

（2）已知直线与直线垂直，求实数a的值.

【答案】（1）或；（2）或.

【分析】（1）利用在一般式方程下，两直线平行的条件，列出方程，即可求解；

（2）利用在一般式方程下，两直线垂直的条件，列出方程，即可求解.

【详解】（1）由题意，直线与直线平行，

可得，解得或，

当时，，，显然与不重合，此时，

当时，，，显然与不重合，此时，

所以或.

（2）由题意，直线与直线垂直

可得，解得或，

即当或时，直线.

【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系的条件及应用，其中解答中熟记两直线平行和垂直的条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力.

17．已知圆C经过、，圆心C在直线上，过点且斜率为k的直线l与圆相交于M、N两点．

(1)求圆C的方程；

(2)若（O为坐标原点），求直线l的方程．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由圆经过、且圆心在上列方程组即可求解；

（2）联立直线与圆的方程，结合根与系数的关系即可求解.

【详解】（1）设圆C的方程为，

则依题意得，解得．

∴圆C的方程为.

（2）依题意可设直线l的方程为，

设，，

将代入并整理得：

，

∴，，

则，

∴，

即，解得，

又知时，∴，

∴直线l的方程为．

18．（1）已知A，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.求点的轨迹方程，并判断轨迹的形状：

（2）已知过双曲线上的右焦点，倾斜角为 的直线交双曲线于A，两点，求.

【答案】（1）轨迹方程为，轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点；（2）.

【分析】（1）设，根据题意列出等式，化简即可得轨迹方程，判断轨迹形状，即得答案；

（2）求出直线方程，并和双曲线方程联立，得到根与系数的关系式，根据弦长公式求出弦长即得答案.

【详解】（1）设，

因为，，所以，

整理得，

故点的轨迹方程为，

轨迹为焦点在轴上的双曲线，不含左右顶点.

（2）由得，，，所以,即，

所以右焦点，因为直线的倾斜角是，且直线经过右焦点，

所以直线的方程为,

由可得：，所以，，

所以.

19．已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

【答案】(1)见详解；(2) 3或.

【分析】（1）可设，，然后求出A，B两点处的切线方程，比如：，又因为也有类似的形式，从而求出带参数直线方程，最后求出它所过的定点.

（2）由(1)得带参数的直线方程和抛物线方程联立，再通过为线段的中点，得出的值，从而求出坐标和的值，分别为点到直线的距离，则，结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.

【详解】(1)证明：设,,则．

又因为，所以.则切线DA的斜率为，

故，整理得.

设，同理得.

,都满足直线方程.

于是直线过点，而两个不同的点确定一条直线，所以直线方程为.即，

当时等式恒成立．所以直线恒过定点.

（2）由（1）得直线的方程为.

由，可得，

于是

.

设分别为点到直线的距离，则.

因此，四边形ADBE的面积.

设M为线段AB的中点，则，

由于，而，与向量平行，所以，解得或.

当时，；当时

因此，四边形的面积为3或.

【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以．思路较为清晰，但计算量不小．

20．已知椭圆经过点，长轴长是短轴长的2倍.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线经过点且与椭圆相交于，两点（异于点），记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】（1）根据经过点M（0，﹣1），长轴长是短轴长的2倍，可得b＝1，a＝2，得出椭圆方程；

（2）设直线AB斜率为k，联立方程组，根据根与系数的关系计算k1+k2化简．

【详解】（1）∵椭圆经过点，∴.

又∵，∴.

椭圆的标准方程为：.

（2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为，

此时直线与椭圆相切，不符合题意.

设直线的方程为，即.

联立，得 .

设，，则

.

∴为定值，且定值为1.

【点睛】求定值问题常见的方法

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．