2022-2023学年河南省洛阳市栾川第一高级中学高三（下）入学数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省洛阳市栾川第一高级中学高三（下）入学数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数z满足z(1+i)=2i，则复数z−的模是( )
A. 2B. 2iC. 2iD. 2
2. 已知集合A={x|3x2−5x−2≤0},B={x|y= 3x−2}，则A∩(∁RB)=( )
A. {x|−13≤xcB. a>c>bC. c>a>bD. c>b>a
5. 若曲线C1：y=x2与曲线C2：y=exa(a>0)存在公共切线，则a的取值范围为( )
A. (0,1)B. (1,e24]C. [e24,2]D. [e24,+∞)
6. 函数f(x)=2cs2x和g(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，过F2的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且|PQ|的最小值为6，下列错误的是( )
A. 该双曲线的方程为x2−y23=1
B. 若OP⊥OQ，则直线PQ的斜率为± 153
C. |F1P|⋅|F1Q|的最小值为25
D. △F1PQ面积的最小值为12
二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）
12. 某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为23，游览B，C，D的概率都是12，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点个数，则( )
A. 该游客至多游览一个景点的概率为14B. P(X=2)=38
C. P(X=4)=124D. E(X)=136
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 复数z的虚部为 3，在复平面内复数z对应的向量的模为2，则复数z= ______ ．
14. 若(x2+a)(x+1x)8的展开式中x8的系数为9，则a的值为______．
15. 已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0.b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面积为9，则b=______．
16. 在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biena).已知在鳖臑P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB=BC=2，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为______．
四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题12.0分)
已知数列{an}的各项为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{an}是等差数列；
②数列{ Sn}是等差数列；
③a2=3a1．
18. (本小题12.0分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 3cbcsA−tanA= 3．
(1)求角B的大小；
(2)若sinAsinC=913，设△ABC的面积为S，满足S=3 3，求b的值．
19. (本小题12.0分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2．
(Ⅰ)求证：BC1⊥平面A1B1C；
(Ⅱ)求异面直线B1C与A1B所成角的大小；
(Ⅲ)点M在线段B1C上，且B1MB1C=13，点N在线段A1B上，若MN/​/平面A1ACC1，求A1NA1B的值．
20. (本小题12.0分)
国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文、理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生(其中男生550人，女生450人)中，采用分层随机抽样的方法从中抽取n名学生进行调查．
(1)已知抽取的n名学生中有女生45人，求n的值及抽取到的男生人数；
(2)学校计划在高一上学期开设选修中的物理和地理两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在(1)的条件下抽取到的n名学生进行问卷调查(假设每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目)，如表是根据调查结果得到的2×2列联表.请将列联表补充完整，并判断是否有99%把握认为选择科目与性别有关，说明理由；
(3)在抽取的选择地理的学生中用分层随机抽样的方法再抽取6名学生，然后从这6名学生中抽取2名学生了解学生对地理的选课意向情况，求2名学生中至少有1名男生的概率．
参考数据及公式：
X2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n=a+b+c+d．
21. (本小题12.0分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60°，直线l交双曲线于A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若l过原点，P为双曲线上异于A，B的一点，且直线PA、PB的斜率kPA，kPB均存在，求证：kPA⋅kPB为定值；
(3)若l过双曲线的右焦点F1，是否存在x轴上的点M(m,0)，使得直线l绕点F1无论怎样转动，都有MA⋅MB=0成立？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=ax2−ex(a∈R)，f′(x)是f(x)的导数(e为自然对数的底数)．
(Ⅰ)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；
(Ⅱ)若当x≥0时，不等式f(x)≤−x−1恒成立，求实数a的取值范围
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：z=2i1+i=2i(1−i)1−i2=1+i，
故z−=1−i，z−的模为 2．
故选：A．
计算z=1+i，得到z−=1−i，再计算模长得到答案．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：依题意，A={x|3x2−5x−2≤0}={x|(3x+1)(x−2)≤0}={x|−13≤x≤2}，B={x|y= 3x−2}={x|x≥23}，则∁RB={x|x12时，令h′(x)=0，解得：x=ln2a，
当x∈(0,ln2a)时，h′(x)>0，则g′(x)单调递增，
此时g′(x)>g′(0)=0，则g(x)在(0,ln2a)上单调递增，
所以g(x)>g(0)=0，
即当x∈(0,ln2a)时，f(x)>−x−1，
即f(x)≤−x−1不恒成立，可知a>12不合题意，
综上所述，a∈(−∞,12]．
【解析】本题考查了导数的几何意义和导数中的恒成立问题，属于较难题．
(Ⅰ)对f(x)求导，求出切线的斜率k=f′(0)和f(0)，然后用点斜式写出曲线的切线方程；
(Ⅱ)构造函数g(x)=ax2−ex+x+1，然后对a进行分类讨论即可求解．
选择物理
选择地理
总计
男生
10
女生
25
总计
P(X2≥k)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
选择物理
选择地理
总计
男生
45
10
55
女生
25
20
45
总计
70
30
100