2022-2023学年河南省洛阳市宜阳县第一高级中学高二上学期第五次能力达标测试数学（理）试题（解析版）

这是一份2022-2023学年河南省洛阳市宜阳县第一高级中学高二上学期第五次能力达标测试数学（理）试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省洛阳市宜阳县第一高级中学高二上学期第五次能力达标测试数学（理）试题 一、单选题1．已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点，且垂直于轴.若的斜率为3，则的渐近线方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由题意可知，，代入双曲线方程可得点坐标，再由斜率公式列方程结合可得的关系，再求出的值即可得渐近线.【详解】由题意可知：，，因为垂直于轴，可设，在双曲线中，令可得，所以，所以，若的斜率为，则点位于第一象限，，所以，即，所以，所以，即，可得或（舍），所以，即，所以双曲线的渐近线方程为，故选：A.2．已知点在椭圆：，点满足（其中为坐标原点，为椭圆的左焦点），则点的轨迹为（    ）A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆【答案】D【分析】首先设出、坐标，利用向量关系得出，再结合在椭圆上，即可求解轨迹方程，从而可以判断轨迹形态.【详解】根据椭圆方程可知，，设、，根据，可得，则有，解得，又因为在椭圆上，代入可得，化简可得，故点的轨迹为椭圆.故选：D3．已知点在抛物线上，若以点P为圆心的圆与C的准线相切，且与x轴相交的弦长为6，则点P到y轴的距离为（    ）A．4 B． C．5 D．【答案】A【分析】设，由条件结合直线与圆的位置关系结论列方程求其坐标值即可.【详解】设，设圆的半径为，因为点在抛物线上，所以，以点P为圆心的圆与C的准线相切，所以,圆与x轴相交的弦长为6，所以，所以，又，所以，故，,所以点P到y轴的距离为4，故选： A.4．已知，是椭圆C：的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的定义分别求出，在中，利用余弦定理求得的关系，从而可得出答案.【详解】解：在椭圆C：中，由椭圆的定义可得，因为，所以，在中，，由余弦定理得，即，所以，所以C的离心率.故选：A.5．数列满足若，则等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值．【详解】因为，所以，所以数列具有周期性，周期为4，所以.故选：B.【点睛】本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性．6．等差数列{an}中，若a1+a4+a7＝6，Sn为{an}的前n项和，则S7＝（    ）A．28 B．21 C．14 D．7【答案】C【分析】结合等差数列的性质可求，然后结合等差数列的求和公式即可求解.【详解】解：由等差数列的性质可知， ∴，则故选：C.7．等差数列的前项和为，已知，，则当取最大值时的值是（  ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根据已知条件，求出数列的通项公式，表示出，等差数列的前项和是不含常数的二次函数，利用二次函数性质求解，要注意；【详解】解：，，，，，当时取最大值故选：【点睛】本题主要考查了等差数列的和的最值的求解，由于数列是一类特殊的函数，在有关最值的求解中，要善于利用这一性质进行求解，但要注意为正整数的限制条件．8．等差数列中，已知，且公差，则其前项和取最小值时的的值为A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【详解】因为等差数列中，，所以，有，    所以当时前项和取最小值.故选C.9．已知双曲线的一条渐近线被圆截得的弦长为(其中为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C． D．2【答案】B【解析】由题意画出图形，利用垂径定理可得与的关系，得到双曲线为等轴双曲线，则离心率可求.【详解】如图所示，双曲线的两条渐近线关于轴对称，取与圆相交于点，圆心到直线的距离，结合垂径定理得，即，双曲线是等轴双曲线，离心率为，故选:B．【点睛】此题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于基础题.10．已知抛物线的焦点为F，准线为l．点P在C上，直线PF交x轴于点Q，且，则点P到准线l的距离为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】根据抛物线的定义即可求解.【详解】设，，∵，,∴，∴，∴P到l的距离，故选：C．11．已知两条直线，，有一动圆（圆心和半径都在变动）与都相交，并且被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用点到直线距离公式与圆内弦长与半径关系即可求解.【详解】设动圆圆心，半径为，则到的距离，到的距离，因为被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，，化简后得，相减得，将，代入后化简可得.故选：D.12．已知是圆上一个动点，且直线与直线相交于点P，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据给定条件确定出点P的轨迹，再借助圆与圆的位置关系及圆的几何性质计算作答.【详解】依题意，直线恒过定点，直线恒过定点，显然直线，因此，直线与交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：，圆心，半径，而圆C的圆心，半径，如图：，两圆外离，由圆的几何性质得：，，所以的取值范围是：.故选：B【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法. 二、填空题13．已知双曲线的一个焦点是抛物线的焦点，且双曲线C的离心率为2，那么双曲线C的方程为______．【答案】【分析】根据已知条件利用待定系数法即可求得方程.【详解】由已知：抛物线焦点为，所以，又因为离心率，所以，所以，所以双曲线的方程为：，故答案为：14．已知是抛物线上不同的点，且，若，则________.【答案】20【分析】设的纵坐标分别为，由向量的和为零向量可得，再由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，从而可求得结果【详解】设的纵坐标分别为，由抛物线，可得准线方程为，因为，所以，所以，由抛物线的定义可得，到焦点的距离等于到准线的距离，所以，故答案为：2015．经过点（1，2）的抛物线的标准方程是__________．【答案】【详解】设抛物线的标准方程为 或 ，将（1，2）代入得 ，从而所求标准方程是16．已知数列为等差数列，其前项和为，则___________.【答案】55【分析】根据等差数列性质可求得，化简，即可求得答案.【详解】由题意知数列为等差数列，设公差为d，，则，即，所以，故答案为：55 三、解答题17．双曲线C的离心率为，且与椭圆有公共焦点．（1）求双曲线C的方程．（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为.【分析】（1）结合双曲线的离心率和椭圆的焦点，求得双曲线对应的，由此求得双曲线方程.（2）利用点差法求得直线的方程.【详解】（1）椭圆：，所以双曲线.所以双曲线的方程为.（2）画出图象如下图所示，设，，两式相减并化简得，即，所以直线的方程为.18． 已知公差大于零的等差数列的前项和为，且满足，，（1）求数列的通项公式；（2）若数列是等差数列，且，求非零常数；【答案】（1）（2）【分析】(1)利用等差数列的性质可得 ,联立方程可得 ,代入等差数列的通项公式可求;(2)代入等差数列的前 和公式可求,进一步可得,然后结合等差数列的定义可得,从而可求.【详解】（1）为等差数列，，又是方程的两个根， （2）由（1）可知， 为等差数列，舍去) 当时，为等差数列，满足要求【点睛】本题主要考查了等差数列的定义、性质、通项公式、前项和公式的综合运用,属于中档题.19．在平面直角坐标系中，已知双曲线的左顶点为，右焦点为；点在双曲线上，直线与双曲线交于，两点，且当直线的斜率为1时，.(1)求双曲线的方程；(2)若，求到直线的距离.【答案】(1)；(2). 【分析】(1)根据给定条件可得为等腰直角三角形，由此导出a，b的关系，再由点P在双曲线上即可计算作答.(2)当直线斜率存在时，设出其方程，再与双曲线的方程联立，借助韦达定理及点到直线距离计算得解，当直线斜率不存在时，利用对称性即可计算作答.【详解】（1）依题意，，，其中，当直线的斜率为1时，即，又，则为等腰直角三角形，且，于是有，且，化简得，，而点在双曲线上，即，解得，，，所以双曲线的方程为.（2）设，，当直线的斜率不存在时，，关于轴对称，由，可得，且，解得，则直线的方程为，则到直线的距离为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由消去y并整理得：，，，，，，因，则有，即，化简得，因此到直线的距离为，综上得，到直线的距离为.20．已知椭圆的左右焦点分别为，，经过左焦点的直线与椭圆交于A，B两点（异于左右顶点）．(1)求△的周长；(2)求椭圆E上的点到直线距离的最大值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）利用椭圆的定义求△的周长；（2）设直线与椭圆相切，联立方程求参数m，与之间的距离的最大值，即为椭圆E上的点到直线l距离的最大值.【详解】（1）已知椭圆E方程为，所以，△的周长为，其中，所以△的周长为.（2）设直线与直线l平行且与椭圆相切，则，得，即，令，解得，所以，与之间的距离，即椭圆E上的点到直线l距离的最大值为．21．已知等差数列满足的前项和为（1）求和；（2）设求数列的前项【答案】（1）；（2）．【分析】(1)由已知根据等差数列的通项公式列出方程,求出,根据求和公式即可得出答案;(2)由(1)可知,通过裂项求和即可得出结果.【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以有，解得， 所以（2） 【点睛】本题考查等差数列通项公式基本量的计算,考查裂项求和,难度较易.22．已知抛物线E：的焦点为F，且F与圆C：上点的距离的最大值为6．(1)求抛物线E的方程；(2)若抛物线E的准线交x轴于点M，过焦点F作一直线l与E相交于A，B两点，记直线AM，BM的斜率分别为，，求的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由F与圆C上点的距离，根据条件可得答案.（2）设,直线的方程为：，与抛物线方程联立得出韦达定理，再根据斜率公式得出，结合直线方程和韦达定理将化为关于的表达式，从而可得答案,【详解】（1）抛物线E：的焦点为，圆C：的圆心 F与圆C上点的距离所以，即，解得 抛物线E的方程为：（2）抛物线E的准线方程为，，则 由过焦点F的直线l与E相交于A，B两点，则直线的斜率不为0.设直线的方程为：， 由，得则 则 由，所以