2023届河南省洛阳市第一高级中学高三上学期11月考试数学（理）试题含解析

2023届河南省洛阳市第一高级中学高三上学期11月考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，则=

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．

【详解】由题意得，，则

．故选C．

【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．

2．复数（为虚数单位）的共轭复数是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．

【详解】解：化简可得

，

的共轭复数，

故选：B．

3．若，，成等差数列，则的值等于

A．1 B．0或 C． D．

【答案】D

【详解】

故选D

4．已知关于的不等式的解集为,则的最大值是（　　）

A． B． C． D．－

【答案】D

【分析】将不等式的解转化为方程的根，利用韦达定理代入计算，利用基本不等式求最值.

【详解】关于的不等式的解集为,

则

关于的方程的两根为

，

，

当且仅当，即时等号成立

所以的最大值是.

故选：D.

5．的值是

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】故选D.

点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则

（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；

（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；

（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.

6．是恒成立的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】设 成立；反之，满足 ，但，故选A.

7．在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，R是△ABC的外接圆半径，且，则B＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦定理进行化简，结合两角和差的正弦公式进行转化求解即可．

【详解】由正弦定理得，

则，

由，

得，

即

则，

即，

则，又在锐角△ABC中

则，

故选：B

8．已知平面向量，若对任意的正实数的最小值为，则此时（　　）

A．1 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】对任意的正实数的最小值为，将表示为含有的算式，讨论得到关系后，即可求得．

【详解】

若，

则当时有最小值，

而，故不成立．

∴

∴当时有最小值，

∴

∴

，

∴

∴

故选：D．

9．由抛物线y＝－x2＋4x－3及其在点M（0，－3）和点N（3，0）处的两条切线所围成的图形的面积为（　　）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】先根据导数的几何意义分别求在点处的切线，再结合定积分求面积.

【详解】∵，则，

在点M（0，－3）的切线斜率，切线方程，

在点N（3，0）的切线斜率，切线方程，

联立方程，解得，

即两切线的交点坐标为，

所围成的图形的面积为

.

故选：A.

10．已知函数，存在x0>0，使得f（x0）≤0有解，则实数a的取值范围是（　　）

A．（2，＋∞） B．（－∞，－3）

C．（－∞，1] D．[3，＋∞）

【答案】C

【分析】将问题转化为有解，令利用导数求出其最大值即可.

【详解】存在x0>0，使得f（x0）≤0有解，

即有解，即，

令，

则，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

，

故选：C.

11．已知函数的部分图像如图所示，且在上恰有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据条件先求出的值，结合在上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条件的解.

【详解】由题意知，根据函数的部分图象，

因为，且，所以，

又因为，

所以，

所以，

解得：，

故选：B.

12．已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】画出图象及直线，借助图象分析．

【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，

或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求．

即，即，

或者，得，，即，得，

所以的取值范围是．

故选D．

【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法．

二、填空题

13．已知sin＝，则cos＝________．

【答案】

【分析】根据，利用诱导公式计算即可.

【详解】sin,

故答案为：

14．若函数的定义域为，则的值为________.

【答案】

【解析】根据算术平方根的性质，结合一元二次不等式解集的性质进行求解即可.

【详解】函数f(x)的定义域为不等式a的解集，

因为不等式a的解集是{x|1≤x≤2}，

所以有：解得∴a＋b=.

故答案为：.

【点睛】本题考查了已知函数的定义域求参数取值问题，考查了一元二次不等式的解法，考查了数学运算能力.

15．设函数，则满足的实数取值范围是__________.

【答案】

【分析】令，得到，分和两种情况讨论，结合函数的图象和函数的单调性，即可求解.

【详解】由题意，函数，

令，因为，则，

当时，可得，

令，其中，作出两个函数的图象，如图所示：

所以时，方程无解；

当时，成立，由，

当时，可得，解得；

当时，可得，解得.

综上可得，实数取值范围是

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了分段函数的应用，以及指数函数和一次函数的图象与性质的应用，其中解答中结合分段函数的分段条件，合理分类讨论求解是解答的关键，着重考查分类讨论思想，以及运算能力.

16．定义在R上的函数满足，且在上是增函数，给出下列几个命题：

①是周期函数；        

②的图象关于直线x＝1对称；

③在上是减函数；  

④．

其中正确命题的序号是________（请把正确命题的序号全部写出来）．

【答案】①②③④

【分析】根据给定条件，探讨函数的性质，再逐一判断各个命题作答.

【详解】依题意，，，取得：，

，取，则有，即函数是R上的奇函数，

由得：，因此函数以4为周期的周期函数，①正确；

，因此的图象关于直线x＝1对称，②正确；

因在上是增函数，则在上是增函数，于是得在上是减函数，③正确；

由得：，④正确.

故答案为：①②③④

三、解答题

17．已知各项均不为0的等差数列的前n项和为，若，且成等比数列．

(1)求数列的通项公式与；

(2)设，数列的前n项和为，求证：.

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据题设条件由等差数列的通项公式和求和公式得到关于首项和公差的两个方程，求出它们后可得通项公式和；

（2）求得，利用裂项相消法可求，由不等式的性质可得原不等式成立．

【详解】（1）设等差数列的公差为d,则．

由成等比数列知，

即．

所以或，因，

于是，结合

解得，

则；

（2）因，

所以的前n项的和为

．

所以原不等式成立．

18．已知数列满足，且成等差数列.

（Ⅰ）求的值和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ） ; （Ⅱ）.

【详解】（Ⅰ） 由已知，有，即，

所以，又因为，故，由，得，

当时，，

当时，，

所以的通项公式为

（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，设数列的前项和为，则

，

两式相减得

，

整理得

所以数列的前项和为.

【解析】等差数列定义、等比数列及前项和公式、错位相减法求和.

19．已知函数f(x)＝·cos(x＋θ)为奇函数，且＝0，其中a∈R，θ∈(0，π).

（1）求a，θ的值；

（2）若α∈，＋coscos2α＝0，求cosα－sinα的值.

【答案】（1）θ＝，a＝－1；（2）cosα－sinα＝－或cosα－sinα＝－.

【分析】（1）根据对恒成立，得cosθ＝0，得θ＝，根据＝0，得a＝－1.

（2）由（1）知f(x)＝－sin2x，将＋coscos2α＝0，化简、整理得sin＝0或cos2＝，由sin＝0⇒α＝，得cosα－sinα＝－，由cos2＝，得cosα－sinα＝－.

【详解】（1）因为f(x)＝cos(x＋θ)是奇函数，

所以，即cos(x＋θ)＝－cos对恒成立，

化简、整理得，2cosxcosθ＝0对恒成立，则有cosθ＝0，

由θ∈(0，π)，得θ＝，

所以f(x)＝－sinx·.

由＝0，得－(a＋1)＝0，即a＝－1.

综上所述：θ＝，a＝－1.

（2）由（1）知f(x)＝－sin2x，

因为＋coscos2α＝0，

所以，

所以，

因为cos2α＝sin＝sin＝2sincos，

所以sin＝cos2sin.

所以sin＝0或cos2＝,

又α∈，

由sin＝0⇒α＝，

所以cosα－sinα＝cos－sin＝－；

由cos2＝， <α＋<，

得cos＝－⇒ (cosα－sinα)＝－⇒cosα－sinα＝－.

综上，cosα－sinα＝－或cosα－sinα＝－.

【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了两角和的余弦公式，属于中档题.

20．已知，函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若是的极值点，且曲线在两点，处切线平行，在轴上的截距分别为，求的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，

（2）由是的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得，同理，．求出，再构造函数，利用导数，即可求出的取值范围．

【详解】（1），

①当时，在上恒成立，∴在上单调递减；

②当时，时，时，，

即在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

（2）∵是的极值点，

∴由（1）可知，

设在处的切线方程为，

在处的切线方程为

∴若这两条切线互相平行，则，

∴

∵，且，

∴，

∴，

∴

令中，得，

同理，．

∵，

∴

设

∴

∴在区间上单调递减，

又，

即的取值范围是

21．已知函数.

（1）求函数的极小值；

（2）求证：当时，.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【分析】（1）由题意可得分类讨论函数的极小值即可.

（2）令，原问题等价于,即证.据此分类讨论，和三种情况即可证得题中的结论.

【详解】（1）

当时，即时，，函数在上单调递增，无极小值；

当时，即时，，函数在上单调递减；

，函数在上单调递增；

，

综上所述，当时，无极小值；当时，

（2）令

当时，要证：，即证,即证，

要证，即证.

①当时，

令，，所以在单调递增，

故，即.

，

令，，

当，在单调递减；，在单调递增，故，即.当且仅当时取等号

又，

由、可知

所以当时，

②当时，即证.令，，在上单调递减，在上单调递增，，故

③当时，当时，，由②知，而，

故；

当时，，由②知，故；

所以，当时，.

综上①②③可知，当时，.

【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．

22．已知在数列{an}中，，且对任意n∈N*恒成立．

(1)求证：（n∈N*）；

(2)求证：（n∈N*）．

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）结合题意可用数学归纳法证明命题成立；

（2）要证，由（1），只要证，可用数学归纳法证明.

【详解】（1），且对任意n∈N*恒成立．

，则数列{an}为正项数列.

当时，成立，

假设当时成立，即

当时，

则当时，命题成立，

综上所述：（n∈N*）

（2）要证，由（1）

只需证

当时，，

则，

假设当时成立，即，

则当时，

设，

则

在上单调递增，

则

，

即，

则当时，命题成立，

综上所述：（n∈N*）．

【点睛】方法点睛：对于难度较大的数列证明问题，我们可以利用数学归纳法来证明.