2023届河南省洛阳市新安县第一高级中学高三上学期11月线上考试数学（文）试题含答案

这是一份2023届河南省洛阳市新安县第一高级中学高三上学期11月线上考试数学（文）试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届河南省洛阳市新安县第一高级中学高三上学期11月线上考试数学（文）试题 一、单选题1．设集合，，则A． B． C． D．【答案】B【分析】计算得到集合的元素，根据集合并集的概念得到结果.【详解】集合,，则 ，故答案为B.【点睛】这个题目考查了集合的并集的概念以及运算，题目很基础.2．若复数为纯虚数，且（其中），则A． B． C．2 D．【答案】A【分析】根据复数的除法运算得到z,由纯虚数的概念得到参数值，进而求得模长.【详解】复数为纯虚数,,,根据题干得到.= 故答案为A.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及复数的模的计算，也考查了复数的基本概念；如果复数a+bi（a，b是实数）是纯虚数，那么a=0并且b≠0．3．为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示，如图所示．据此可估计上学期该校400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16，30)内的人数为A．100 B．160 C．200 D．280【答案】B【详解】由茎叶图，可知在20名教师中，上学期使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为8，据此可以估计400名教师中，使用多媒体进行教学的次数在[16,30)内的人数为400×＝160．4．已知椭圆，长轴在轴上，若焦距为4，则等于A．5 B．6 C．9 D．10【答案】C【分析】先把椭圆方程转换成标准方程，进而根据焦距求得m．【详解】将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣3＞11﹣m>0，即11>m＞4，焦距为4,则(m-3)-(11-m)=4，解得m＝9.故选C．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．要求学生对椭圆中对长轴和短轴即及焦距的关系明了．5．已知是上的增函数，那么实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：在单调递增，在单调递增，且在上的最大值小于或等于在的最小值，即可求解.【详解】因为是上的增函数，所以，解得：，所以，所以实数的取值范围是，故选：D【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是分段函数两段都是增函数，且注意衔接点的取值.6．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若，，则A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面几何知识求解【详解】如图，可知=，选B.【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用， 7．函数,()则函数的最小值为(　　)A． B． C． D．【答案】C【分析】根据降幂公式结合辅助角公式可得，再根据三角函数的性质求解最小值即可.【详解】整理函数的解析式有：，，结合三角函数的性质可得，当时，函数取得最小值：.故选：C8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为A． B． C． D．【答案】A【分析】三视图对应的几何体为四棱锥，底面为边长为2的正方形，一条侧棱垂直于底面且长度为，补体后可求外接球的半径，从而求得外接球的体积.【详解】三视图对应的几何体是四棱锥（如图所示），其中底面是边长为2的正方形，侧棱且垂直于底面.如图，把几何体补成正方体，则四棱锥外接球的直径为正方体的体对角线且为，故外接球的体积为 .故选A .【点睛】本题考查三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的关系．外接球的体积的计算，关键在于球心的位置的确定，如果球心位置不容易确定，则可以通过补体以方便球的半径的计算．9．正方体的棱长为1，点分别是棱的中点，以为底面作正三棱柱，若此三棱柱另一底面的三个顶点也都在该正方体的表面上，则这个正三棱柱的高为A． B． C． D．【答案】C【分析】分别取过C点的三条面对角线的中点，则此三点为棱柱的另一个底面的三个顶点，利用中位线定理证明．于是三棱柱的高为正方体体对角线的一半．【详解】连结A1C，AC，B1C，D1C，分别取AC，B1C，D1C的中点E，F，G，连结EF，EG，FG．由中位线定理可得PE平行且等于A1C，QF平行且等于A1C，RG平行且等于A1C．又A1C⊥平面PQR，∴三棱柱PQR﹣EFG是正三棱柱．∴三棱柱的高h＝PE＝A1C＝．故选C．【点睛】本题考查了正棱柱的结构特征，作出三棱柱的底面是计算棱柱高的关键，属于中档题．10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式，根据判断下列近似公式中最精确的一个是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据球的体积公式求出直径，将四个选项逐一代入，求出最精确的那一个即可.【详解】由球的体积公式可得，解得，选项A代入，选项B代入，选项C代入，选项D代入，由于D选项的值最接近的真实值.故选：D.11．在中，已知，，则为A．等腰直角三角形 B．等边三角形C．锐角非等边三角形 D．钝角三角形【答案】A【分析】已知第一个等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式及内角和定理表示，根据两角和与差的正弦函数公式化简，得到A＝B，第二个等式左边前两个因式利用积化和差公式变形，右边利用二倍角的余弦函数公式化简，将A+B＝C，A﹣B＝0代入计算求出cosC的值为0，进而确定出C为直角，即可确定出三角形形状．【详解】将已知等式2acosB＝c，利用正弦定理化简得：2sinAcosB＝sinC，∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB＝sinAcosB+cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝0，∵A与B都为△ABC的内角，∴A﹣B＝0，即A＝B，已知第二个等式变形得：sinAsinB（2﹣cosC）＝（1﹣cosC）+＝1﹣cosC，﹣ [cos（A+B）﹣cos（A﹣B）]（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，∴﹣（﹣cosC﹣1）（2﹣cosC）＝1﹣ cosC，即（cosC+1）（2﹣cosC）＝2﹣cosC，整理得：cos2C﹣2cosC＝0，即cosC（cosC﹣2）＝0，∴cosC＝0或cosC＝2（舍去），∴C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形．故选A．【点睛】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．12．已知函数f(x)=，函数g(x)=b-f(3-x)，其中b∈R，若函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，则实数b的取值范围是（    ）A． B．C． D．(-3，0)【答案】B【分析】函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，即y=b与h(x)=f(x)+f(3-x)的图象有4个不同的交点，求出并化简的解析式，画出图象可得实数b的取值范围．【详解】因为f(x)= ，所以f(3-x)= ，由y=f(x)-g(x)=f(x)+f(3-x)-b=0.得b=f(x)+f(3-x)，令h(x)=f(x)+f(3-x)=，函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，即y=b与h(x)=f(x)+f(3-x)的图象有4个不同的交点，作出函数图形如图：结合函数的图象可得，当-3<b<-时，函数y=f(x)-g(x)恰有4个零点，所以实数b的取值范围是故选：B【点睛】本题考查函数零点问题的应用，考查函数的图象，考查函数与方程思想和数形结合思想，属于中档题． 二、填空题13．已知向量，，若，则实数t=________．【答案】【分析】根据平面向量共线的坐标表示求解即可.【详解】，，因为，所以，解得.故答案为：14．已知，则__________．【答案】【分析】根据正切的两角和公式展开得到，再将原式上下同除角的余弦值得到正切的式子，再代入即可.【详解】已知,展开得到，则= 故答案为.【点睛】这个题目考查了三角函数的化简求值，应用到了弦切互化的公式，三角函数求值与化简必会的三种方法：(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.15．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为________．【答案】【解析】作出图形，设双曲线的右焦点为，根据双曲线的定义可得，可得出，利用、、三点共线时取得最小值即可得解.【详解】对于双曲线，则，，，如下图所示：设双曲线的右焦点为，则，由双曲线的定义可得，则，所以，，当且仅当、、三点共线时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.16．已知函数，且，则当时，的取值范围是__________．【答案】【分析】先研究的奇偶性和单调性，得到可行域，利用几何意义求出的取值范围.【详解】因为是奇函数，是奇函数，所以是奇函数，所以可化为： .由 ，所以单调递增．所以，即 ，亦即.因为 ，所以不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（-1，0）的斜率的取值范围．设 则 ，即．当直线和圆相切时，圆心到直线的距离 ，即 ，解得．此时直线斜率最大．当直线kx-y+k=0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k-1+k=0，即4k=1，解得 ，所以．故答案为： 三、解答题17．在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列，为数列的前项和.（1）求；（2）若，求的最大值.【答案】（1）或；（2）55.【分析】(1)根据题意将式子化为首项和公差的表达式，进行求解即可得到通项；（2）根据d<0得到数列通项，由等差数列求和公式得到前n项和，配方可得到最值.【详解】（1）由题意得：，∵，∴，化简得，解得：或，∴或.（2）∵，∴，， ,∴等于10或11时，取得最大值55.【点睛】这个题目考查了等差数列通项公式的求法，以及等差数列前n项和公式，求等差数列通项公式关键是求出首项和公差，数列求和根据公式计算即可，常见的数列求和方法有：错位相减，倒序相加，累加，累乘等方法.18．长郡中学学习兴趣小组通过随机询问某地100名高中学生在选择座位时是否挑同桌，得到如下列联表： 男生女生合计挑同桌304070不挑同桌201030总计5050100（1）从这50名男生中按是否挑同桌采取分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，现从这5人中随机选取3人做深层采访，求这3名学生中至少有2名要挑同桌的概率；（2）根据以上列联表，是否有95%以上的把握认为“性别与在选择座位时是否挑同桌”有关？下面的临界值表仅供参考：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）【答案】（1） ;（2）见解析.【详解】试题分析：（1）由题知挑同桌的男生有3人为；不挑同桌的男生有2人为.可得基本事件总数为10种. “这3名学生中至少有2名要挑同桌”为事件，则事件包含有7种，则 .（2）由题得和临界值表对照可得结论.试题解析：（1）由题知分层抽样的方法抽取容量为5的样本中，挑同桌的男生有3人，分别记为；不挑同桌的男生有2人，分别记为.则基本事件总数为：，，，，，，，，，共10种.记“这3名学生中至少有2名要挑同桌”为事件，则事件包含有：，，，，，，，共7种，则 .（2）由题得, 有95%以上的把握认为“性别与选择座位时是否挑同桌”有关.19．如图，在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，，.（1）设是上一点，求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积.【答案】（1）见解析（2）3【详解】试题分析：（1）推导出⊥平面，由此能证明平面⊥平面．（2）取中点为，则是四棱锥的高，由此能求出四棱锥的体积．试题解析：（1）在三角形中由勾股定理，又平面平面，平面平面所以平面又平面.所以平面平面.（2）取中点为，则是四棱锥的高，底面的面积是三角形面积的，即，所以四棱锥的体积为20．已知圆，圆心在抛物线上，圆过原点且与的准线相切．(1)求抛物线的方程；(2)点，点（与不重合）在直线上运动，过点作抛物线的两条切线，切点分别为．求证：．【答案】(1)(2)证明见详解. 【分析】（1）根据圆和抛物线的位置关系，以及圆和准线相切这一条件得到方程，从而得到结果；（2）求出两条切线方程，可得方程，其两根为切点的横坐标，，通过韦达定理得到结果即可.【详解】（1）∵圆与抛物线准线相切，∴，又圆过和原点，∴，∴，解得.∴抛物线的方程为；（2）设，，方程为，∴，∴抛物线在点处的切线的斜率，∴切线的方程为，即，化简得：，又因过点，故可得，即，同理可得，∴为方程的两根，∴，，∴，∴.21．已知函数.（1）若曲线在处的切线的斜率为，求的值；（2）若，求证：当时，的图像恒在轴上方.【答案】（1）0；（2）证明见解析.【分析】（1）根据导数的几何意义得到，求解即可；（2）的图像恒在轴上方，即>0恒成立，分两种情况当时，当时，讨论函数的单调性，求得函数的最值，是的最小值大于0即可.【详解】（1），∴，∴.（2），令，，（ⅰ）当时，，单调递增，，单调递增，，满足题意.（ⅱ）当时，，解得.当，，单调递减；当，，单调递增，此时，∵，，即，∴单调递增，，满足题意.综上可得：当且时，的图象恒在轴上方.【点睛】这个题目考查了导数的几何意义，以及函数的恒成立问题，解决恒成立的问题常见方法：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，曲线C1，C2的公共点为A，B．(1)求直线AB的斜率；(2)若点C，D分别为曲线C1，C2上的动点，当取最大值时，求四边形ACBD的面积．【答案】(1)2(2) 【分析】（1）消参可化参数方程为普通方程求曲线C1，利用极坐标与直角坐标转化公式化简即可求曲线C2的直角坐标方程；（2）当最大时，由圆的几何性质可知直线CD过两圆圆心，求出两圆公共弦所在直线方程，利用圆的几何性质求出弦长|AB|，证明四边形对角线AB，CD垂直，即可得出四边形面积.【详解】（1）曲线C1的参数方程为（为参数），消参可得, .曲线C2的极坐标方程为，即，化为普通方程为：，即.两圆的方程相减，可得，即直线AB的方程为，故.（2）当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时，线段CD取得最大值，此时，圆C1的圆心为，则圆心到直线AB的距离，所以，因为最大时，直线CD过两圆圆心，直线方程为，即，因为，所以，所以当|CD|取最大值时，四边形ACBD的面积.23．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若关于的不等式的解集包含，求的取值范围.【答案】（1）（2）【分析】（I）当，不等式为，分类讨论，即可求解不等式的解集.（II）由题意的解集包含，转化为当时，恒成立，即，再利用绝对值的定义，即可求解.【详解】解：（I）当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得；当时，，由解得，综合得.所以的解集是.（II）∵的解集包含，∴当时，恒成立原式可变为，即，∴即在上恒成立，显然当时，取得最小值10，即的取值范围是.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．同时注意绝对值不等式有时与函数以及不等式恒成立等知识点相互交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．