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2023年河北省中考数学一轮复习—勾股定理 练习题
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2023年河北省中考数学一轮复习—勾股定理练习题附答案一、单选题1．（2022·河北保定·一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，72．（2022·河北·中考真题）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（ ）A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整3．（2022·河北唐山·一模）如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）A． B． C．4 D．54．（2022·河北承德·一模）如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（ ）A． B．C． D．5．（2022·河北邯郸·一模）根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（ ）A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理6．（2022·河北保定·二模）如图，点、、在正方形网格格点上，则的度数为（ ）A． B． C． D．7．（2022·河北保定·二模）如图，在矩形中，，，以为圆心，适当的长为半径画弧，交，于，两点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；再以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则的长为（ ）A． B． C． D．8．（2022·河北保定·一模）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（ ）A． B． C． D．9．（2021·河北廊坊·一模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 A．9 B．6 C．4 D．310．（2021·河北廊坊·二模）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和11．（2021·河北唐山·三模）观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）A． B．C． D．12．（2021·河北唐山·二模）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以13．（2021·河北张家口·一模）如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（ ）A．30° B．42° C．45° D．50°14．（2021·河北·高阳县教育局教研室模拟预测）如图，已知，．依据尺规作图的痕迹可求出的长为（ ）A．2 B．3 C． D．615．（2021·河北邯郸·三模）如图，已知的顶点，分别在轴，轴上，，，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，；②作直线交轴于点，交轴于点，则点的坐标为（ ）A． B． C． D．16．（2021·河北石家庄·二模）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）A．：2 B．：1 C．：2 D．：1二、填空题17．（2022·河北唐山·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE． （1）若∠A=35°，则∠CBE=_________；（2）若AE=3，EC=1，则△ABC的面积为________．18．（2021·河北张家口·一模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，点E在BC上，AE⊥DE．且AE＝DE，若EC＝1．则CD＝_____．三、解答题19．（2022·河北廊坊·一模）已知和都是等腰直角三角形，．(1)如图1，连接，，求证：和全等：(2)如图2，将绕点O顺时针旋转，当点N恰好在边上时，求证：．20．（2022·河北保定·模拟预测）【阅读材料】已知，求的值．解：∵，∴原式．【初步探究】已知，求代数式的值．【综合运用】在Rt中，，若，，求Rt的面积．21．（2022·河北唐山·三模）已知：△ABC的边长，，，且．(1)判断三角形的形状，并说明理由；(2)若，求的三边长．22．（2021·河北唐山·一模）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．23．（2022·河北保定·一模）已知：如图，在中，，，过点C作直线，点A关于直线的对称点为E，连接、，直线交直线于点F．(1)若，则________°．(2)若，在备用图中补全图形，用等式表示等式、、之间的数量关系，并证明． 参考答案：1．A【解析】根据三角形三边组成锐角三角形的条件进行判断可得答案．解：在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形； 满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形．A项，因为32 +42 >42 ，所以这三条线段组成锐角三角形，故A项符合题意；B项，因为32 +4 2 =5 2 ，所以这三条线段组成直角三角形， 故B项不符合题意；C项，因为3 2 +4 2 <6 2 ，所以这三条线段组成钝角三角形，故C项不符合题意；D项，因为3+4=7，所以这三条线段不满足组成三角形的条件，故D项不符合题意．故应选：A．本题主要考查三角形的基本概念和直角三角形，其中在能够组成三角形的条件下， 如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形； 满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形；掌握直角三角形的判断条件是解题的关键．2．B【解析】过点C作于，在上取，发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称，分情况分析即可过点C作于，在上取∵∠B＝45°，BC＝2，∴是等腰直角三角形∴∵∴若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC通过观察得知：点A在点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时，即丙的答案；点A在射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于对称的AC不存在），此时，即甲的答案，点A在线段（不包括点和点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于对称）；故选：B本题考查三角形的存在性质，勾股定理，解题关键是发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称3．C【解析】设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，利用勾股定理得到x2+32=（9－x）2，计算即可．解：∵D是BC的中点，∴BD=3，设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，在Rt△BDN中，，x2+32=（9－x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选C．4．D【解析】根据等边三角形的性质,知等边三角形的面积等于其边长的平方的 倍,结合勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积.解:设直角三角形的三边从小到大是a,b,c.则，，，又，则，故选D.熟悉等边三角形的面积公式,熟练运用勾股定理.熟记结论:以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积.5．B【解析】结合图形分别表示出图1与图2的面积等式，即可得出结果．解：图1的面积关系表示为：，为平方差公式；图2的面积表示为：，化简得：，为勾股定理；故选：B．题目主要考查平方差公式及勾股定理的图形表示，理解题意，根据图形表示出面积等式是解题关键．6．B【解析】利用勾股定理求各边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．解：连接AB，由勾股定理得： ， ， ，∵10=5+5，∴，且AB=BC，∴∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，故选：B．此题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形性质和判定．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．7．D【解析】】先根据勾股定理求得，再利用基本作图得BF平分∠CBD，BE=BD=6，则根据角平分线的性质得到F点到BC和BD的距离相等，接着利用面积法得到CF：DF=3：5，所以CF=3，DF=5，然后利用勾股定理计算出BF，从而得到EF的长．解：在矩形中，，，作法得BF平分∠CBD，BE=BD=6，∴F点到BC和BD的距离相等，∴S△BCF：S△BDF=BC：BD=3：6=1：2，∴S△BCF：S△BDF=CF：DF=1：2，∴CF=，DF=，在Rt△BCF中，BF=，∴EF=BE-BF=6-．故选：D．本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．8．D【解析】由题意易得∠BAD=45°，AB=AE，进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解．解：∵，∴，∵AD平分，∴∠BAD=45°，∵，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP=PE，∴，∵AB=AE，∴，∴；故选D．本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键．9．D【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，每一个直角三角形的面积为：，，，或（舍去），故选：D．本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．10．C【解析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．11．C【解析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案．标记如下：∵，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4＝a2﹣2ab+b2．故选：C．此题考查的是利用勾股定理的证明，可以完全平方公式进行证明，掌握面积差得算式是解决此题关键．12．A试题分析：剪拼如下图：乙故选A考点：剪拼，面积不变性，二次方根13．C【解析】在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF，证明得，从而得，再证明是等腰直角三角形即可得到结论．解：在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF，∵BF=CF=3，FG=ED=1，BG=CD= ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴是等腰直角三角形，且 ∴ ∴ 故选：C．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，证明是解答此题的关键．14．C【解析】证明△ABC是等边三角形，求出AB，BD，利用勾股定理求解即可．解：由题意，AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=3， ∴AD=，故选：C．本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．15．B【解析】连接BC，如图，先利用勾股定理计算出OA＝8，再由作法得CA＝CB，利用勾股定理得到OC2＋42＝（8−OC）2，然后求出OC得到C点坐标．解：连接BC，如图，∵B（0，4），∴OB＝4，在Rt△ABO中，OA=，由作法得PQ垂直平分AB，∴CA＝CB，在Rt△BOC中，BC＝AC＝OA−OC＝8−OC，∵OC2＋42＝（8−OC）2，∴OC＝3，∴C点坐标为（−3，0）．故选：B．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理．16．A【解析】过C作CD⊥AB于D，设AD=x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．解：过C作CD⊥AB于D，设AD=x，由题意得∠CAD=45°，∠NBC=60°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，∴∠ACD=∠CAD，∴CD=AD=x，∴ ，在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°，∴BC=2CD=2x，∴ ，∵AB=100+100 ，∴AD+BD=x+x=100+100，∴（1+）x=100（1+），∴x=100，即AD=100海里，∴AC=100海里，BC=200海里，∵时间一定时速度与路程成正比，∴客轮与补给船的速度之比为100：200=：2，故选：A．本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．17． 20 【解析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，进而得到∠EBA=∠A=35°，计算即可；（2）根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．解：（1）∵∠C=90°，∠A=35°，∴∠ABC=90°-35°=55°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=35°，∴∠CBE=55°-35°=20°，故答案为：20；（2）∵EB=EA=3，∴BC= ，AC=AE+CE=4，∴△ABC的面积=×CA×BC=4．故答案为：4．本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．18．【解析】过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△EFD，则可利用全等三角形的性质得出EF＝AB＝3，DF＝BE＝5，即可由勾股定理求得CD．解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图，∵BC＝6，EC＝1，∴BE＝BC－EC＝5．∵∠B＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°．∵AE⊥DE，∴∠DEF＋∠AEB＝90°．∴∠BAE＝∠DEF．∵AE＝DE，∠B＝∠AED＝90°，∴△ABE≌△EFD（AAS）．∴EF＝AB＝3，DF＝BE＝5．∴CF＝EF－EC＝2．∴CD＝．故答案为：．本题考查了全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19．(1)见解析(2)见解析【解析】（1）通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，即可得到AM=BN；（2）连接AM，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，得对应角相等，对应边相等，从而可证∠MAN=90°，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立；（1）证明：∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，即∠AOM=∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，OM=ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM=BN；（2）证明：连接AM，∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOB-∠AON=∠MON-∠AON，即∠AOM=∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，OM=ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO=∠NBO=45°，AM=BN，∴∠MAN=90°，∴AM2+AN2=MN2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2=2ON2，∴BN2+AN2=2ON2；本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点，构造直角三角形是解决问题的关键．20．【初步探究】4；【综合运用】Rt的面积为【解析】先将分式方程转化为整式方程，得到x、y之间的关系，再整体代入代数式化简即可；先由勾股定理得到直角三角形两直角边的平方和，再将AC+BC=23两边平方，化简得面积．解：【初步探究】∵，∴．∴原式=．【综合运用】∵，∴．∵，∴，即．∴，∴，即的面积为．本题考查了分式的运算，整式乘法及勾股定理的应用．解题关键是用整体思想对代数式进行代换．21．(1)是直角三角形(2)，，【解析】（1）利用勾股定理逆定理，即可求解；（2）根据，可得∠A=30°，从而得到，继而得到，即可求解．（1）解：是直角三角形，理由如下∶∵，，，，∴即是直角三角形；（2）解∶∵，，∴∠A=30°，∴，即，∴，解得∶或（不合题意，舍去）当时，，，．本题主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键．22．（1）见解析；（2）13【解析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．解：（1）∵∴在△ABC和△DCE中∴△ABC≌△DCE（2）由（1）可得BC=CE=5在直角三角形ACE中本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．23．(1)27(2)，见解析【解析】(1)证明CE=CA=CB，求出∠ECB的度数，可得结论；(2)根据要求作出图形，证明∠AFB=90°，利用勾股定理可得结论．（1）解：如图，连接．，E关于对称，，，，，故答案是：27；（2）解：图形如图所示，结论：．理由：设，，，，，，，E关于对称，，， ，，．本题考查作图−轴对称变换，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
2023年河北省中考数学一轮复习—勾股定理练习题附答案一、单选题1．（2022·河北保定·一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ）A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，72．（2022·河北·中考真题）题目：“如图，∠B＝45°，BC＝2，在射线BM上取一点A，设AC＝d，若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC，求d的取值范围．”对于其答案，甲答：，乙答：d＝1.6，丙答：，则正确的是（ ）A．只有甲答的对 B．甲、丙答案合在一起才完整C．甲、乙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整3．（2022·河北唐山·一模）如图，RtΔABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将ΔABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（ ）A． B． C．4 D．54．（2022·河北承德·一模）如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作等边三角形，面积分别记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（ ）A． B．C． D．5．（2022·河北邯郸·一模）根据图形（图1，图2）的面积关系，下列说法正确的是（ ）A．图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式B．图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理C．图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式D．图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理6．（2022·河北保定·二模）如图，点、、在正方形网格格点上，则的度数为（ ）A． B． C． D．7．（2022·河北保定·二模）如图，在矩形中，，，以为圆心，适当的长为半径画弧，交，于，两点；再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点；再以为圆心，的长为半径画弧，交射线于点，则的长为（ ）A． B． C． D．8．（2022·河北保定·一模）已知线段，按如下步骤作图：①作射线，使；②作的平分线；③以点为圆心，长为半径作弧，交于点；④过点作于点，则（ ）A． B． C． D．9．（2021·河北廊坊·一模）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 A．9 B．6 C．4 D．310．（2021·河北廊坊·二模）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和11．（2021·河北唐山·三模）观察“赵爽弦图”（如图），若图中四个全等的直角三角形的两直角边分别为a，b，，根据图中图形面积之间的关系及勾股定理，可直接得到等式（ ）A． B．C． D．12．（2021·河北唐山·二模）如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则（ ）A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以13．（2021·河北张家口·一模）如图，在6×4的小正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C，D，E均在格点上．则∠ABC﹣∠DCE＝（ ）A．30° B．42° C．45° D．50°14．（2021·河北·高阳县教育局教研室模拟预测）如图，已知，．依据尺规作图的痕迹可求出的长为（ ）A．2 B．3 C． D．615．（2021·河北邯郸·三模）如图，已知的顶点，分别在轴，轴上，，，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，；②作直线交轴于点，交轴于点，则点的坐标为（ ）A． B． C． D．16．（2021·河北石家庄·二模）如图，一般客轮从小岛A沿东北方向航行，同时一艘补给船从小岛A正东方向相距（100+100），沿北偏西60°方向航行，与客轮同时到达C处给客轮进行补给，则客轮与补给船的速度之比为（ ）A．：2 B．：1 C．：2 D．：1二、填空题17．（2022·河北唐山·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE． （1）若∠A=35°，则∠CBE=_________；（2）若AE=3，EC=1，则△ABC的面积为________．18．（2021·河北张家口·一模）如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，点E在BC上，AE⊥DE．且AE＝DE，若EC＝1．则CD＝_____．三、解答题19．（2022·河北廊坊·一模）已知和都是等腰直角三角形，．(1)如图1，连接，，求证：和全等：(2)如图2，将绕点O顺时针旋转，当点N恰好在边上时，求证：．20．（2022·河北保定·模拟预测）【阅读材料】已知，求的值．解：∵，∴原式．【初步探究】已知，求代数式的值．【综合运用】在Rt中，，若，，求Rt的面积．21．（2022·河北唐山·三模）已知：△ABC的边长，，，且．(1)判断三角形的形状，并说明理由；(2)若，求的三边长．22．（2021·河北唐山·一模）如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．（1）求证：△ABC≌△DCE；（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．23．（2022·河北保定·一模）已知：如图，在中，，，过点C作直线，点A关于直线的对称点为E，连接、，直线交直线于点F．(1)若，则________°．(2)若，在备用图中补全图形，用等式表示等式、、之间的数量关系，并证明． 参考答案：1．A【解析】根据三角形三边组成锐角三角形的条件进行判断可得答案．解：在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形；满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形； 满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形．A项，因为32 +42 >42 ，所以这三条线段组成锐角三角形，故A项符合题意；B项，因为32 +4 2 =5 2 ，所以这三条线段组成直角三角形， 故B项不符合题意；C项，因为3 2 +4 2 <6 2 ，所以这三条线段组成钝角三角形，故C项不符合题意；D项，因为3+4=7，所以这三条线段不满足组成三角形的条件，故D项不符合题意．故应选：A．本题主要考查三角形的基本概念和直角三角形，其中在能够组成三角形的条件下， 如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形； 满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形；掌握直角三角形的判断条件是解题的关键．2．B【解析】过点C作于，在上取，发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称，分情况分析即可过点C作于，在上取∵∠B＝45°，BC＝2，∴是等腰直角三角形∴∵∴若对于d的一个数值，只能作出唯一一个△ABC通过观察得知：点A在点时，只能作出唯一一个△ABC（点A在对称轴上），此时，即丙的答案；点A在射线上时，只能作出唯一一个△ABC（关于对称的AC不存在），此时，即甲的答案，点A在线段（不包括点和点）上时，有两个△ABC（二者的AC边关于对称）；故选：B本题考查三角形的存在性质，勾股定理，解题关键是发现若有两个三角形，两三角形的AC边关于对称3．C【解析】设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，利用勾股定理得到x2+32=（9－x）2，计算即可．解：∵D是BC的中点，∴BD=3，设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9－x，在Rt△BDN中，，x2+32=（9－x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选C．4．D【解析】根据等边三角形的性质,知等边三角形的面积等于其边长的平方的 倍,结合勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积.解:设直角三角形的三边从小到大是a,b,c.则，，，又，则，故选D.熟悉等边三角形的面积公式,熟练运用勾股定理.熟记结论:以直角三角形的两条直角边为边长的等边三角形的面积和等于以斜边为边长的等边三角形的面积.5．B【解析】结合图形分别表示出图1与图2的面积等式，即可得出结果．解：图1的面积关系表示为：，为平方差公式；图2的面积表示为：，化简得：，为勾股定理；故选：B．题目主要考查平方差公式及勾股定理的图形表示，理解题意，根据图形表示出面积等式是解题关键．6．B【解析】利用勾股定理求各边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论．解：连接AB，由勾股定理得： ， ， ，∵10=5+5，∴，且AB=BC，∴∠ABC=90°，∴∠BAC=45°，故选：B．此题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形性质和判定．熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．7．D【解析】】先根据勾股定理求得，再利用基本作图得BF平分∠CBD，BE=BD=6，则根据角平分线的性质得到F点到BC和BD的距离相等，接着利用面积法得到CF：DF=3：5，所以CF=3，DF=5，然后利用勾股定理计算出BF，从而得到EF的长．解：在矩形中，，，作法得BF平分∠CBD，BE=BD=6，∴F点到BC和BD的距离相等，∴S△BCF：S△BDF=BC：BD=3：6=1：2，∴S△BCF：S△BDF=CF：DF=1：2，∴CF=，DF=，在Rt△BCF中，BF=，∴EF=BE-BF=6-．故选：D．本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和矩形的性质．8．D【解析】由题意易得∠BAD=45°，AB=AE，进而可得△APE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可求解．解：∵，∴，∵AD平分，∴∠BAD=45°，∵，∴△APE是等腰直角三角形，∴AP=PE，∴，∵AB=AE，∴，∴；故选D．本题主要考查等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义，熟练掌握等腰直角三角形的性质与判定、勾股定理及角平分线的定义是解题的关键．9．D【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．解：由题意可知：中间小正方形的边长为：，每一个直角三角形的面积为：，，，或（舍去），故选：D．本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．10．C【解析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2=a2+b2，阴影部分的面积=c2-b2-a（c-b）=a2-ac+ab=a（a+b-c），较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b），宽=a，则较小两个正方形重叠部分底面积=a（a+b-c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C．本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．11．C【解析】根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积可得问题的答案．标记如下：∵，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4＝a2﹣2ab+b2．故选：C．此题考查的是利用勾股定理的证明，可以完全平方公式进行证明，掌握面积差得算式是解决此题关键．12．A试题分析：剪拼如下图：乙故选A考点：剪拼，面积不变性，二次方根13．C【解析】在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF，证明得，从而得，再证明是等腰直角三角形即可得到结论．解：在A的右边距离A点1个单位的网格上取一点F，在点F下方1 个单位处取一点G，连接AF，FG，BG，CG，DF，∵BF=CF=3，FG=ED=1，BG=CD= ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴是等腰直角三角形，且 ∴ ∴ 故选：C．此题主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，证明是解答此题的关键．14．C【解析】证明△ABC是等边三角形，求出AB，BD，利用勾股定理求解即可．解：由题意，AB=AC，∠BAC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=6，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=CD=3， ∴AD=，故选：C．本题考查作图基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．15．B【解析】连接BC，如图，先利用勾股定理计算出OA＝8，再由作法得CA＝CB，利用勾股定理得到OC2＋42＝（8−OC）2，然后求出OC得到C点坐标．解：连接BC，如图，∵B（0，4），∴OB＝4，在Rt△ABO中，OA=，由作法得PQ垂直平分AB，∴CA＝CB，在Rt△BOC中，BC＝AC＝OA−OC＝8−OC，∵OC2＋42＝（8−OC）2，∴OC＝3，∴C点坐标为（−3，0）．故选：B．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理．16．A【解析】过C作CD⊥AB于D，设AD=x，根据特殊三角形的性质，分别用含x的代数式表示出CD，BD，根据AB的长求出x，再根据勾股定理求出AC，BD，即可得到答案．解：过C作CD⊥AB于D，设AD=x，由题意得∠CAD=45°，∠NBC=60°，在Rt△ACD中，∠ACD=90°-45°=45°，∴∠ACD=∠CAD，∴CD=AD=x，∴ ，在Rt△BCD中，∠CBD=90°-60°=30°，∴BC=2CD=2x，∴ ，∵AB=100+100 ，∴AD+BD=x+x=100+100，∴（1+）x=100（1+），∴x=100，即AD=100海里，∴AC=100海里，BC=200海里，∵时间一定时速度与路程成正比，∴客轮与补给船的速度之比为100：200=：2，故选：A．本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线，构造出直角三角形是解决问题的关键．17． 20 【解析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，进而得到∠EBA=∠A=35°，计算即可；（2）根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．解：（1）∵∠C=90°，∠A=35°，∴∠ABC=90°-35°=55°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，∴∠EBA=∠A=35°，∴∠CBE=55°-35°=20°，故答案为：20；（2）∵EB=EA=3，∴BC= ，AC=AE+CE=4，∴△ABC的面积=×CA×BC=4．故答案为：4．本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形的面积计算，掌握垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等是解题的关键．18．【解析】过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，根据全等三角形的判定可得△ABE≌△EFD，则可利用全等三角形的性质得出EF＝AB＝3，DF＝BE＝5，即可由勾股定理求得CD．解：过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，如图，∵BC＝6，EC＝1，∴BE＝BC－EC＝5．∵∠B＝90°，∴∠BAE＋∠AEB＝90°．∵AE⊥DE，∴∠DEF＋∠AEB＝90°．∴∠BAE＝∠DEF．∵AE＝DE，∠B＝∠AED＝90°，∴△ABE≌△EFD（AAS）．∴EF＝AB＝3，DF＝BE＝5．∴CF＝EF－EC＝2．∴CD＝．故答案为：．本题考查了全等三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．19．(1)见解析(2)见解析【解析】（1）通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，即可得到AM=BN；（2）连接AM，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，得对应角相等，对应边相等，从而可证∠MAN=90°，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立；（1）证明：∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON，即∠AOM=∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，OM=ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴AM=BN；（2）证明：连接AM，∵∠AOB=∠MON=90°，∴∠AOB-∠AON=∠MON-∠AON，即∠AOM=∠BON，∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，∴OA=OB，OM=ON，∴△AOM≌△BON（SAS），∴∠MAO=∠NBO=45°，AM=BN，∴∠MAN=90°，∴AM2+AN2=MN2，∵△MON是等腰直角三角形，∴MN2=2ON2，∴BN2+AN2=2ON2；本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点，构造直角三角形是解决问题的关键．20．【初步探究】4；【综合运用】Rt的面积为【解析】先将分式方程转化为整式方程，得到x、y之间的关系，再整体代入代数式化简即可；先由勾股定理得到直角三角形两直角边的平方和，再将AC+BC=23两边平方，化简得面积．解：【初步探究】∵，∴．∴原式=．【综合运用】∵，∴．∵，∴，即．∴，∴，即的面积为．本题考查了分式的运算，整式乘法及勾股定理的应用．解题关键是用整体思想对代数式进行代换．21．(1)是直角三角形(2)，，【解析】（1）利用勾股定理逆定理，即可求解；（2）根据，可得∠A=30°，从而得到，继而得到，即可求解．（1）解：是直角三角形，理由如下∶∵，，，，∴即是直角三角形；（2）解∶∵，，∴∠A=30°，∴，即，∴，解得∶或（不合题意，舍去）当时，，，．本题主要考查了勾股定理的逆定理，直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理的逆定理，直角三角形的性质是解题的关键．22．（1）见解析；（2）13【解析】根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过AAS以及勾股定理进行求解．解：（1）∵∴在△ABC和△DCE中∴△ABC≌△DCE（2）由（1）可得BC=CE=5在直角三角形ACE中本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键．23．(1)27(2)，见解析【解析】(1)证明CE=CA=CB，求出∠ECB的度数，可得结论；(2)根据要求作出图形，证明∠AFB=90°，利用勾股定理可得结论．（1）解：如图，连接．，E关于对称，，，，，故答案是：27；（2）解：图形如图所示，结论：．理由：设，，，，，，，E关于对称，，， ，，．本题考查作图−轴对称变换，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
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