2022-2023学年浙江省宁波市东钱湖学校、宋诏桥学校等联考八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省宁波市东钱湖学校、宋诏桥学校等联考八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列图标中，不属于轴对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  若点的坐标为，则点所在的象限是(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  在中，，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若，则下列不等式一定成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

6.  如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  如图，在中，，，是的高线，是的角平分线，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

8.  下列是对一次函数的描述：随的增大而增大，图象可由直线向上平移个单位得到，图象经过第二、三、四象限，图象与坐标轴围成的三角形的面积为，其中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，点，，，顺次在直线上，，，以为边向下作等边，以为底边向上作等腰，当的长度变化时，与的面积差始终保持不变，则，满足(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  已知正比例函数经过点，则的值是______ ．

12.  用不等式表示：“的倍不大于”是______ ．

13.  若一个等腰三角形中有两边长分别为和，则这个等腰三角形的周长为______ ．

14.  若点，关于轴对称，则的值为        ．

15.  如图，在中，，分别以点，为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，相交于点，，作直线，与，分别交于，，连结，若，，则的周长为______ ．

16.  如图，在中，，，，点在上，过点作的垂线，分别交射线，线段于点，，连结，恰好平分，则线段的长是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解不等式组：．

18.  本小题分
如图，点、、、是同一直线上顺次四点，，，，求证：．

19.  本小题分
如图是的网格，每个小正方形的边长均为，分别在图、图中各画一个以为斜边的直角三角形要求：所画三角形顶点都在格点上，两个三角形面积不同．

20.  本小题分
已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，．
求点，的坐标；
若点在轴上，且为等腰三角形，求点的坐标．

21.  本小题分
为响应“垃圾分类”，某街道拟采购，两款垃圾桶已知购买、两款垃圾桶各个，采购费用需元，其中款单价比款高元．
求、两款垃圾桶的单价各多少元？
经商议，该街道决定采购、两款垃圾桶共个，采购专项费用总计不超过万元，则至少购买款垃圾桶多少个？

22.  本小题分
一家电信公司推出三种移动电话计费方案：
方案：每分钟元分钟；
方案：每月基本服务费元，通话时间分钟内含分钟免费，超过分钟的部分按元分钟加收通话费；
方案：每月基本服务费元，无限畅打，不限时长．
在方案中，当每月通话时长不少于分钟时，求每月所需的费用元与每月通话时长分钟之间的函数关系式．
请在图中补全方案和方案每月所需的费用元与每月通话时长分钟之间的函数关系对应的图象．
以上三种方案中，当每月通话时间超过多少分钟时，选择方案最划算？

23.  本小题分
如图，在中，，，，是的中点，点在线段上，连结，作交直线于点，连结．
【初步尝试】
如图，当，线段的长度是______ ，线段的长度是______ ．
【结论探究】
如图，小宁猜想“”，但她未能想出证明思路，小波介绍了添加辅助线的方法，如表所示，请帮小宁完成证明．

【拓展应用】
如图，当点在线段的延长线上时，连结，作交直线于点，连结请补全图形，并求出当时，线段的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据轴对称图形的意义可知：、、都是轴对称图形，而不是轴对称图形；
故选：．
根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可．
此题考查了轴对称图形的意义，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，看图形对折后两部分是否完全重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：的横坐标的符号为正，纵坐标的符号为负，
点第四象限，
故选：．
根据点的横、纵坐标的符号可得所在象限．
本题考查点的坐标的相关知识；用到的知识点为：横坐标的符号为正，纵坐标的符号为负的点在第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：，，
，
故选：．
根据三角形的内角和定理计算即可．
本题考查直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，，
，
故A不符合题意；
B、，
，
故B不符合题意；
C、，
，
，
故C符合题意；
D、，
，
，
故D不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、是锐角，不符合题意；
B、与是两个锐角，不符合题意；
C、是锐角，不符合题意；
D、是钝角，符合题意．
故选：．
分别计算出各选项角的度数，进而可得出结论．
本题考查的是命题与定理，熟知锐角及钝角的定义是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在与中，已知，，
A、添加，利用可证明≌，故此选项不符合题意；
B、添加，利用可能证明≌，故此选项不符合题意；
C、添加，利用可证明≌，故此选项不符合题意；
D、添加，不能证明≌，故此选项符合题意；
故选：．
分别利用全等三角形的判定方法判断得出即可．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题难度适中．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，
，，是的角平分线，
．
是的高线，
，
，
．
故选：．
在中，先根据角平分线的定义求出的度数，再根据是的高线可得出的度数，进而可得出结论．
本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记三角形内角和是是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：由于一次函数中的，所以随的增大而减小，故错误，不合题意；
直线的图象可由直线向上平移个单位得到，故正确，符合题意；
由于一次函数中的，，所以函数图象经过第一、二、四象限，故错误，不符合题意；
直线，令可得，函数图象与坐标轴围成的三角形面积为：，故正确，符合题意．
故选：．
根据一次函数图象的性质，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象与几何变换以及三角形面积公式进行分析判断．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：不等式的解集为．
故选：．
利用函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，过点作于，

是等边三角形，，
，
，，等腰，
，，
在中，
，
设，
则，
，
，
当的长度变化时，始终保持不变，
，

故选：．
过点作于点，过点作于，分别利用直角三角形的性质和勾股定理求出和，然后设，分别表示出与的面积，再将二者相减得到关于的代数式，因为变化时，不变，所以的系数为，则可得到与的关系式．
本题考查了等腰直角三角形的性质及三角形的面积计算，熟练掌握等腰三角形的相关性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：正比例函数经过点，
，
．
故答案为：．
将点代入正比例函数中，即可求出的值．
本题主要考查用待定系数法求正比例函数解析式，熟练掌握用待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：根据题意，得，
故答案为：．
根据“的倍不大于”列一元一次不等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，理解题意是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：当为底时，其它两边都为，
、、可以构成三角形，
周长为；
当为腰时，
其它两边为和，
，
不能构成三角形，故舍去，
答案只有．
故答案为：．
因为已知长度为和两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：点，关于轴对称，
，，
，
故答案为：．
根据点和关于轴对称，可知，，即可求出的值．
本题考查了关于轴对称的点的坐标，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：由作法得垂直平分，
，
中，，
，
的周长．
故答案为：．
利用基本作图可判断垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，再利用勾股定理计算出，然后利用等线段代换得到的周长．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

16.【答案】 

【解析】解：过点作于点，过点作于点，如图，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
恰好平分，，，
，，
，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
，
解得，
，
在中，，
，
．
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，如图，先利用三角形内角和定理计算出，在中可计算出，，再利用得到，接着根据角平分线的性质得到，，加上，设，则，接着表示出，于是得到方程，解得，然后在中计算出，最后计算即可．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．通过作高构建含度的直角三角形和等腰直角三角形是解决问题的关键．
 

17.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
． 

【解析】由，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，即可推导出．
此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，证明及≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：如图：

和即为所求． 

【解析】根据要求作图即可．
本题考查作图应用与设计作图，解题的关键是掌握全等三角形判定与性质，正确作出符合要求的图形．
 

20.【答案】解：直线与轴、轴分别交于点、，
当时，，当时，，
点，的坐标为和；
，，
，，
，
点在轴上，且是等腰三角形，
当时，
，
当时，
，
或，
当时，
，
，
综上所述：点的坐标为或或或． 

【解析】根据直线与轴、轴分别交于点、，即可求点、的坐标；
根据是等腰三角形，分三种情况求点的坐标即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的判定等知识，解答此题的关键是熟知一次函数与坐标轴的交点坐标的求法．
 

21.【答案】解：设、两款垃圾桶单价各是元、元，
由题意得：，
解得
答：、两款垃圾桶单价各是元、元．
设购买款垃圾桶个，得，
解得
答：至少购买款垃圾桶个． 

【解析】设、两款垃圾桶单价各是元、元，根据题意列方程组求解即可；
设购买款垃圾桶个根据题意列出不等式求解即可．
本题是二元一次方程组的应用与一元一次不等式的应用的综合题，主要考查了列二元一次方程组解应用题，列一元一次不等式解应用题，解题的关键是正确设元，并找到题目中的等量关系或不等关系列出方程或不等式．
 

22.【答案】解：当时，根据题意得：，
与的函数解析式为；
根据题意得：，，
图象如图所示：

当时，即，
解得，
答：当每月通话时间超过分钟时，选择方案最划算． 

【解析】根据的计分方式，求出与的函数解析式；
根据函数解析式，画出函数图象即可；
通过图象求出图象和图象地交点横坐标即可．
本题考查一次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，弄清三种移动电话计费方法．
 

23.【答案】   

【解析】解：如图中，连接．

，，
，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，，
，
，，
．
故答案为：，；

证明：如图中，延长至，使，连结，．

，，，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
；

解：如图中，延长至，使，连结，，设．

同法可证，，
，
，
，
．
证明四边形是矩形，再利用三角形中位线定理解决问题即可；
利用全等三角形的性质证明，再证明，利用勾股定理可得结论；
如图中，延长至，使，连结，，设利用勾股定理构建方程求解．
本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．