浙江省宁波市北仑区北仑区顾国和外国语学校2023年八年级上学期学生发展过程性评价数学试卷（12月）（word版，含答案解析）

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一、单选题（每题3分，共30分）
1. 若点在第一象限，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据点在第一象限，得到，，即可得到点所在象限．
【详解】解：点在第一象限内，
，，
，
点所在的象限是：第二象限．
故选：B．
【点睛】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所在象限的关系是解题的关键．
2. 若点在函数的图象上，则与的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】由一次函数可知，，所以y随x的增大而减小，由此即可得出答案．
【详解】解：∵一次函数解析式为，即，
∴y随x的增大而减小．
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的性质，熟知一次函数，当时y随x的增大而减小是解答此题的关键．
3. 如图，用三角板作的边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是作图基本作图， 根据高线的定义即可得出结论，熟知三角形高线的定义是解题的关键．
【详解】解：，，都不是的边上的高，
故选：．
4. 不等式＞0的最大整数解是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】先解出不等式的解集，再求出其最大整数解.
【详解】解不等式＞0得x＜6
故最大整数解是5
故选C.
【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的基本性质.
5. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，连接AE，若AE＝4，EC＝2，则BC的长是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EA＝4，结合图形计算，得到答案．
【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE＝4，
∴EB＝EA＝4，
∴BC＝EB＋EC＝4＋2＝6，
故选：C．
【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
6. 下列是对一次函数的描述：①y随x的增大而增大，②图像可由直线向上平移1个单位得到，③图像经过第二、三、四象限，④图像与坐标轴围成的三角形的面积为，其中正确的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数的性质，y随x的增大而减小，图像经过第二、一、四象限，利用平移思想判定，求出交点坐标，计算判断即可．
【详解】∵一次函数，
∴y随x的增大而减小，图像经过第二、一、四象限，
∴①③错误；
图像可由直线向上平移1个单位得到，
∴②正确；
∵一次函数与y轴交点为，与x轴的交点为，
∴图像与坐标轴围成的三角形的面积为，
∴④正确；
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数的图像分布，性质，平移，与坐标轴的交点，熟练掌握性质和图像分布，交点问题是解题的关键．
7. 如图，甲、乙、丙三个三角形，每个三角形的内角均为．记甲、乙、丙三个三角形的周长依次为、、．已知，则、、的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在甲三角形中，作，交的延长线于点，易证，即得出．再根据，即得出，即；同理可证，即得出．
【详解】解：如图，在甲三角形中，作，交的延长线于点，
在和中，,
∴，
∴．
∵，
∴，即；
同理又可证，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质．正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键．
8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出点A、B、C的坐标，得出，，求出，设点D的坐标为，根据，求出m的值，即可得出答案．
【详解】解：连接，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
把代入得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∴，，
∴，
设点D的坐标为，则：
，
解得：，
，
∴点D的坐标为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是设点D的坐标为，根据三角形面积列出关于m的方程，解方程．
9. 设a，b是任意两个实数，用max｛a，b｝表示a，b两数中的较大者，例如max｛4，3｝=4，则max｛，，｝的最小值等于（ ）
A. -2B. 1C. 7D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】可先假定的值分别为、、三种情况，求出这三种情况下的x的最小值，再进行比较即可．
【详解】①设，则需同时满足，，分别化简，解得：，则当时，为最小值3．
②设，则需同时满足，，分别化简，解得：，则当时，为最小值7．
③设，则需同时满足，，分别化简，解得：，则当时，为最小值3．
因为，所以的最小值为3．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，根据题意列出一元一次不等式方程是解题关键．
10. 已知两个二次根式，进行如下操作：令，将加上，结果记为，令，将加上，结果记为；令，将加上，结果记为，以此类推，下列说法正确的个数是（ ）
①的最小值为；
②当时，；
③；
④若，则有唯一解．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，分母有理化，完全平方公式等，
①利用二次根式的性质和非负数的性质可得，即可判断①；
②由题意得：，即可判断②；
③运用分式的运算法则即可判断③；
④运用分母有理化和乘法公式即可判断④；
熟练掌握二次根式的性质、分母有理化、找到运算结果的变化规律是解题的关键．
【详解】解：①∵，∴结论①错误；
②当时，
，
，
，
，
……
，
，
∴
，
∴结论②正确；
③∵
，
∴结论③正确；
④∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴结论④正确．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数求解即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件、解一元一次不等式，熟知二次根式的被开方数是非负数是解答的关键．
12. 函数（k为常数且）的图像经过点，则k的值为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】将点（2，4）代入y=kx求解即可．
【详解】解：将点（2，4）代入y=kx得：4=2k，
解得：k=2，
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题关键．
13. 等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况，当顶角为或底角为时，分别求解即可．
【详解】解：当顶角为时，底角为，此时顶角为：；
当底角为时，顶角为，此时顶角为；
综上，顶角的度数是或．
故答案为：或．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形两底角相等，学会利用分类讨论的思想求解问题．
14. 已知点P的坐标是，则点P到原点O的距离是______________．
【答案】5
【解析】
【分析】根据勾股定理进行解答．
【详解】的坐标是，
到原点的距离，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了两点间的距离是两点的坐标差的平方和，熟用勾股定理是解题的关键．
15. 如图，为等腰直角三角形，，过点B作x轴垂线l，以l为对称轴得到．当点A在直线上运动时，点D同时在直线m上运动，则直线m的解析式为___________．
【答案】
【解析】
【分析】连接分别交轴，直线于点E，F，根据为等腰直角三角形得，所以，便可用a表示点D的坐标，即可．
【详解】连接分别交轴，直线于点E，F，设，
∵点A，D关于直线对称，
∴，，
则，
∴，
又∵为等腰直角三角形， ，
∴，
则，
∴，
则，
∴，
则，
∴
设，
∴
则直线m的解析式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，全等三角形的性质与判定，求一次函数表达式，解题的关键是根据等腰直角三角形构造全等三角形从而得到点D的坐标．
16. 如图，在平面直角坐标系中，点M(6，0)，N(0，6)，一点P从点O出发，以每秒1个单位长度速度沿折线O-N-M运动. 设点P运动时间为t，当时，直线上有一个动点C和y轴上有一个动点D，则PD＋DC＋OC的最小值是_____.
【答案】
【解析】
【分析】先根据当时，ON+NP=，NP=5，PM=，求得点P的坐标为（5，1），再作点P关于y轴对称的点P'，作点O关于直线x=的对称点O'，则P'（-5，1），O'（1，0），连接O'P'，交y轴于点D，交直线x=于点C，则此时PD+DC+OC值最小，等于线段O'P'的长，然后运用勾股定理求解即可.
【详解】∵ON=6，
∴当t=6+5时，ON+NP=6+5，NP=5，PM=，
作PH⊥x轴与点H，则△MPH是等腰直角三角形,
∵PM=，
∴PH=HM=1,
∴OH=5,
∴P(5,1),
作点P关于y轴对称的点P'，作点O关于直线x=的对称点O'，则P'（-5，1），O'（1，0），
连接O'P'，交y轴于点D，交直线x=于点C，则此时PD+DC+OC值最小，等于线段O'P'的长.
∵P'（-5，1），O'（1，0），
∴PD+DC+OC=O'P'=，
∴PD+DC+OC最小值为.
故答案为.
【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了轴对称最短，等腰直角三角形的判定与性质，及勾股定理的综合应用，正确作出辅助线是解答本题的关键．
三、解答题（7题共52分，其中17-20题每题6分，21-22题每题8分，23题12分）
17. （1）解不等式：，并把解表示在数轴上
（2）解不等式组：
【答案】（1）；见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1即可，然后再将解表示在数轴上；
（2）对于式子，先移项，再合并同类项，系数化1，得到其解集；对于式子，先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1，得到其解集，然后再求出以上两个式子解集的公共部分即可．
【详解】（1）去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化1得，，
在数轴上表示：
；
（2）对于式子，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化1得，，
对于式子，
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化1得，，
解集为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、解一元一次不等式组、在数轴上表示解集等知识，解答本题的关键是掌握运用解不等式组的方法．
18. 计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式计算．
【小问1详解】
解：原式
．
【小问2详解】
解：原式
．
【点睛】本题考查了二次根式混合运算，完全平方公式，在二次根式的混合运算中，解题的关键是结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径．
19. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都为1．
（1）写出A，B，C三点坐标．
（2）判断的形状并说明理由．
【答案】（1），，
（2）为等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据平面直角坐标系即可得出各点的坐标；
（2）由勾股定理求得，，得出，即可得出为等腰直角三角形．
【小问1详解】
解：由题意可得：，，．
【小问2详解】
解：为等腰直角三角形，理由如下：
∵由勾股定理求得，，
∴，
∴为等腰直角三角形．
【点睛】本题考查坐标与图形，勾股定理的逆定理，正确得出点的坐标是解题的关键．
20. 如图，已知​均是等边三角形​​​．
（1）找出图中一对全等三角形，并证明；
（2）猜想线段三者有何数量关系，说明理由．
【答案】（1）．证明见解析
（2）．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．
（1）利用等边三角形的性质和的判定方法，证明，即可；
（2）根据等边三角形的性质和全等三角形的性质，即可得出结论．
解题的关键是证明．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵均为等边三角形，
∴，，
∴，
再和中
，
∴；
【小问2详解】
，理由如下：
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴．
21. 如图，在一条东西向的马路上有广场A和医院C，在各自正北方向上分别有汽车站B和汽车站D，已知AC＝14km，AB＝4km，CD＝8km，市政府打算在马路AC段之间建造一个加油站P．
（1）若要使得加油站P到两汽车站的距离之和最小，请用尺规作图在图1中作出加油站P的位置，并直接写出此时的最小值．（作图请保留痕迹，结果可以保留根号）
（2）若要使得加油站到两汽车站的距离相等，请用尺规作图在图2中作出加油站P的位置，并求出此时PA的距离．（作图请保留痕迹）
【答案】（1）图见解析，km；（2）图见解析，km．
【解析】
【分析】（1）作点B关于AC的对称点B′，连接DB′交AC于点P，连接PB，此时PB+PD的值最小，利用勾股定理求出最小值；
（2）连接BD，作线段BD的垂直平分线交AC于点P，连接PB，PD，点P即为所求，设PA＝xkm，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）如图1中，点P即为所求．
过点D作DE⊥AB交AB的延长线于点E．则四边形ACDE是矩形，
∴AC＝DE＝14（km），CD＝AE＝8（km），
∵AB＝AB′＝4km，
∴EB′＝AE+AB′＝12（km），
∴PB+PD的最小值＝DB′＝＝＝（km）．
（2）如图2中，点P即为所求，
设PA＝xkm，CP＝（14﹣x）km，
∵∠A＝∠C＝90°，
在Rt△ABP和Rt△PCD中，PB＝PD，
∴42+x2＝82+（14﹣x）2，
解得x＝
∴AP＝（km）．
【点睛】本题考查了根据轴对称的性质求最短距离，作轴对称和作垂直平分线，勾股定理解直角三角形，掌握垂直平分线的性质，勾股定理是解题的关键．
22. 甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价：超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y甲（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图像如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元．
（1）甲网店该款水果的试吃价为______元/千克，原价为______元/千克；
（2）购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱？
（3）若乙店对该款水果推出降价促销活动，每千克降价a元（a＜8），当a满足什么条件时，在乙店购买始终比在甲店购买省钱？
【答案】（1）2，10
（2）当＜x＜10时，在甲店购买比在乙店购买省钱；
（3）满足a＞2，在乙店购买始终比在甲店购买省钱．
【解析】
【分析】（1）由图像可得：甲网店该款水果的试吃价为2元/千克，原价为10元/千克；
（2）设购买该款水果x千克，在甲店购买比在乙店购买省钱，①当x≤5时，20+2x＜8x，②当x＞5时，30+10（x-5）＜8x，分别解不等式可得当＜x＜10时，在甲店购买比在乙店购买省钱；
（3）①当x≤5时，20+2x＞（8-a）x，可知6-a＜4，a＞2；②当x＞5时，30+10（x-5）＞（8-a）x，有a+2≥4，a≥2．
【小问1详解】
解：由图像可得：甲网店该款水果的试吃价为（30-20）÷5=2（元/千克），原价为（60-30）÷（8-5）=10（元/千克），
故答案为：2，10；
【小问2详解】
解：设购买该款水果x千克，在甲店购买比在乙店购买省钱，
①当x≤5时，20+2x＜8x，
解得x＞，
∴＜x≤5；
②当x＞5时，
30+10（x-5）＜8x，
解得x＜10，
∴5＜x＜10，
答：当＜x＜10时，在甲店购买比在乙店购买省钱；
【小问3详解】
解：①当x≤5时，20+2x＞（8-a）x，
即（6-a）x＜20的解集总满足x≤5，
∴6-a＜4，
∴a＞2；
②当x＞5时，30+10（x-5）＞（8-a）x，
即（a+2）x＞20的解集总满足x＞5，
∴a+2≥4，
∴a≥2，
综上所述，a需满足a＞2，在乙店购买始终比在甲店购买省钱．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，能分类列出不等式．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线：与x轴，y轴分别交于A，B两点，点为直线上一点，另一直线：经过点C，且与y轴交于点D．
（1）求点C的坐标和b的值；
（2）如图2，点P为y轴上一动点，将沿直线翻折得到．
①当点P为线段上一动点时，设线段交线段于点F，求与的面积相等时，点P的坐标；
②当点E落在x轴上时，求点E的坐标及的面积．
【答案】（1）C点坐标为，，
（2）①； ②右侧， ；左侧，
【解析】
【分析】（1）先求出点C的坐标，然后将点C的坐标代入，即可求出b的值；
（2）①先证明，得出P为的中点，再分别求出点B和点D的坐标，根据中点坐标公式，即可得出答案；
②过点C作轴于点G，过点C作轴于点H，求出，，分两种情况进行讨论，E在H右侧时和E在H右侧时，分别求出点E的坐标和的面积即可．
【小问1详解】
解：令，则，
∴C点坐标为，
把代入得：，解得：；
【小问2详解】
解：①由轴对称性质可知：，
∴ ，
∵，
∴，
即，
∴，
∴P为的中点，
对于，令，则，
∴，
对于，令，则，
∴，
∴，即 ；
②过点C作轴于点G，过点C作轴于点H，
∵，，
∴在中，由勾股定理得，
故，
∵，
∴，，
∴根据勾股定理可得：；
(Ⅰ)当E在H右侧时，，如图所示：
设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得：，
∴；
(Ⅱ) 当E在H左侧时，，此时点P在原点O，如图所示：
∴．
综上， ，或，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，三角形面积的计算，勾股定理，解题的关键是根据题意画出图形，数形结合，并注意分类讨论．