数学九年级上册23.5 位似图形同步测试题

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位似图形注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2021•温州）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2：3，点A，B的对应点分别为点A′，B′．若AB＝6，则A′B′的长为（　　）A．8 B．9 C．10 D．15选：B．2．（2020•绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（　　）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm选：A．3．（2020秋•姜堰区期末）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且B为OE的中点，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5选：C．4．（2021•龙湾区二模）如图，△A'B′C'和△ABC是位似三角形，位似中心为点O，OA'＝2AA'，则△A'B'C'和△ABC的位似比为（　　）A． B． C． D．选：D．5．（2021•嘉善县一模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（3，0），若△ABC与△DEF是位似图形，则的值是（　　）A． B． C． D．选：B．6．（2021•九龙坡区模拟）如图，△A'B'C'是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若OB＝3OB'，则△A'B'C'的面积与△ABC的面积之比是（　　）A．1：3 B．2：3 C．1：6 D．1：9选：D．7．（2021•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　）A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9【解】∵△ABC与△DEF位似，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∴△OBC∽△OEF，∴，即△ABC与△DEF的相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的周长之比为1：2，故选：A．8．（2021•昌平区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则点C的坐标为（　　）A．（6，2） B．（6，4） C．（4，4） D．（8，4）【解】∵正方形ABCD和正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比是，正方形BEFG的边长为12，∴BC∥EF，，BC＝4，∴△OBC∽△OEF，∴，即，解得，OB＝6，∴点C的坐标为（6，4），故选：B．9．（2020秋•内江期末）如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是O，，则（　　）A． B． C． D．【解】∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，，∴，则（）2＝（）2，故选：B．10．（2021•河北模拟）如图，点O是五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的位似中心，若OA：OA1＝1：3，则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的面积比是（　　）A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：9选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021•郴州模拟）如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA＝2AA′，S△ABC＝9，则S△A'B'C′＝　　．【解】△ABC与△A′B′C′是位似图形且由OA＝2AA′．可得两位似图形的位似比为2：3，所以两位似图形的面积比为4：9，又S△ABC＝9，∴S△A'B'C′．故答案为：．12．（2019秋•双清区期末）△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是　12　．答案为：12．13．（2020•海宁市一模）如图，已知▱ABCD，以B为位似中心，作▱ABCD的位似图形▱EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连接AG，DG．若▱ABCD的面积为24，则△ADG的面积为　4　．【解】连接BG，∵▱ABCD和▱EBFG是以B为位似中心的位似图形，∴点D、G、B在同一条直线上，EG∥AD，∵四边形ABCD是平行四边形，面积为24，∴△ADB的面积为12，∵EG∥AD，∴，∴，∴△ADG的面积＝124，故答案为：4．14．（2020•吴江区二模）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板．若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是　　．答案为．15．（2020•温州三模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1是位似图形，坐标原点O为位似中心．A与A1，B与B1是对应顶点．已知A（﹣6，2），A1（3，﹣1），BC＝5，则B1C1的长为　　．【解】∵△ABC与△A1B1C1是位似图形，坐标原点O为位似中心，A（﹣6，2），A1（3，﹣1），∴△ABC与△A1B1C1的相似比为：，∵BC＝5，∴B1C1的长为：5．故答案为：．16．（2020•柯桥区模拟）如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是　（，0）或（4，）　．【解】（1）当点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点时，位似中心就是AE与BF的交点，如图所示：连接AE，交x轴于点N，点N即为两个正方形的位似中心，∵点A和点E的坐标分别为（﹣2，3），（1，﹣1），∴AB＝3，EF＝1，BF＝1﹣（﹣2）＝3，∵AB∥EF，∴△ABN∽△EFN，∴，∴，解得：BN，∴ON2，∴两个正方形的位似中心的坐标是：（，0）．（2）当点A和G是对应顶点，C和E是对应顶点时，位似中心就是AG与CE的交点，如图所示：连接AG，DF，BH，CE并延长交于点M，设AG所在直线解析式为：y＝kx+b，把A（﹣2，3），G（2，0）代入得：故，解得：，故yx；设BH所在直线解析式为：y＝mx+n，把B（﹣2，0），H（2，﹣1）代入得：，故yx，，解得：，故M（4，），综上所述：两个正方形的位似中心的坐标是：（，0）或（4，）．故答案为：（，0）或（4，）．17．（2020春•椒江区校级月考）如图，直线y＝x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，则点B的对应点B′的坐标为　（1，2）或（﹣3，﹣2）　．【解】对于直线y＝x+1，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣1，∴点A和点B的坐标分别为（﹣1，0）、（0，1），∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，∴△BOC∽△B′O′C′，∴，即，解得，O′B′＝2，O′A＝2，∴点B′的坐标为（1，2）或（﹣3，﹣2），故答案为：（1，2）或（﹣3，﹣2）．18．（2021•汝南县模拟）如图，△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′＝3：4，△ABC的面积为9，则△A′B′C′的面积为　16　．【解】∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，∴△ABC∽△A′B′C′，AC：A′C′＝OA：OA′＝3：4，∴（）2＝（）2，∴S△A′B′C′9＝16．故答案为16．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2020秋•温州期末）如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．（1）在图1中以O为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的．（2）在图2中画▱ABEF，使得它与△ABC的面积相等，且E，F在格点上．【解】（1）如图1，△A′B′C′为所作；（2）如图2，平行四边形ABEF为所作．20．（2021•合川区校级模拟）如图，已知△ABC和点A′．（1）以点A′为顶点求作△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC，S△A′B′C′＝4S△ABC；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）设D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，D′、E′、F′分别是你所作的△A′B′C′三边A′B′、B′C′、A′C′的中点，求证：△DEF∽△D′E′F′．【解】（1）解：如图，△A'B'C'即为所求作． （2）∵D、E、F分别是△ABC三边AB、BC、AC的中点，∴DEAC，EFAB，DFBC，∵D'、E'、F'分别是你所作的△A'B'C'三边A'B'、B'C'、A'C'的中点，∴D′E′A′C′，E′F′A′B′，D′F′B′C′，∵△ABC∽△A′B′C′，∴，∴，∴△DEF∽△D'E'F'．21．如图，正方形EFGH，IJKL是由正方形ABCD经过位似变换得到的，点P是位似中心，其中PA＝AE＝EI．（1）如果相似比为3，正方形ABCD的位似图形是哪个正方形？（2）如果由正方形ABCD得到它的位似图形正方形EFGH，求其相似比．【解】（1）∵PA＝AE＝EI，∴PI：PA＝3：1，所以相似比为3，正方形ABCD的位似图形是正方形IJKL； （2）由正方形ABCD得到它的位似图形正方形EFGH，其相似比为1：2．22．（2020•如皋市一模）如图，△ABC中，P′是边AB上一点，四边形P'Q'M'N'是正方形，点Q'，M'在边BC上，点N′在△ABC内．连接BN′，并延长交AC于点N，过点N作NM⊥BC于点M，NP⊥MN交AB于点P，PQ⊥BC于点Q．（1）求证：四边形PQMN为正方形；（2）若∠A＝90°，AC＝1.5m，△ABC的面积＝1.5m2．求PN的长．【解】（1）证明：∵NM⊥BC，NP⊥MN，PQ⊥BC，∴四边形PQMN为矩形，∵四边形P'Q'M'N'是正方形，∴PN∥P′N′，∴，∵MN∥M′N′，∴，∴，而P′N′＝M′N′，∴PN＝MN，∴四边形PQMN为正方形；（2）解：作AD⊥BC于D，AD交PN于E，如图，∵△ABC的面积＝1.5，∴AB•AC＝1.5，∴AB＝2，∴BC2.5，∵BC•AD＝1.5，∴AD，设PN＝x，则PQ＝DE＝x，AEx，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，∴，即，解得x，即PN的长为m．23．（2021•蜀山区模拟）如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点D为BC边上的中点，连接AD，作BE⊥AD，垂足为点E，延长BE交AC于点F，连接CE．（1）求证：AF＝2CF；（2）求证：CE2＝AE•BE；（3）如图②，过点F作FG⊥BF，交BC于点G，若CE＝3，求CG长．【解】（1）证明：如图①中，过点D作DG∥BF，交AC于点G，∵BD＝DCBC，AB＝BC．∵DG∥BF，∴，∴FC＝2FG．∵∠BAE＝∠BAD，∠ABD＝∠AEB＝90°，∴△AEB∽△ABD，∴，∴AB2＝AE•AD，同法可得BD2＝DE•AD，∴4，∵DG∥BF，∴4，∴2，∴AF＝2FC． （2）证明：如图①中，∵BD2＝DE•DA，CD＝BD，∴CD2＝DE•DA，∴，∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴∠DCE＝∠CAD，∵∠DEC＝∠ACD＝45°，∵∠DEF＝90°，∴∠CEF＝∠CED＝45°，∴∠AEC＝∠CEB＝135°，∴△CEB∽△AEC，∴，∴CE2＝AE•EB． （3）解：如图②中，设DE＝m，则EB＝2m，AE＝4m，∵CE2＝AE•EB，∴9＝8m2，∵m＞0，∴m，∴DB，∴CD＝DB，∵FG⊥BFAD⊥BF，∴GF∥AD，∴，∴CGCD．24．（2020•杭州）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．（1）求证：△BDE∽△EFC．（2）设，①若BC＝12，求线段BE的长；②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积．【解】（1）证明：∵DE∥AC，∴∠DEB＝∠FCE，∵EF∥AB，∴∠DBE＝∠FEC，∴△BDE∽△EFC；（2）解：①∵EF∥AB，∴，∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE，∴，解得：BE＝4；②∵，∴，∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC，∴（）2＝（）2，∴S△ABCS△EFC20＝45．