数学九年级上册第23章 图形的相似23.5 位似图形学案

第11讲  位似图形

1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

知识点01  位似多边形

1.位似多边形定义:

如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O 点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

【微点拨】

位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.
2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；
　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

3. 平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．

4. 作位似图形的步骤
　　第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
　　第二步：作位似中心与各关键点连线；
　　第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
　　第四步：顺次连接各对应点.

【微点拨】

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

【即学即练1】

 1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（　　）.

A.      B.    C.   D.

2. 利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.

考法01  

1.在小孔成像问题中， 根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的   （  ）.

A.  3倍      B.   C.   D.不知AB的长度，无法判断

2.在已知三角形内求作内接正方形．

题组A  基础过关练

1.下面给出了相似的一些命题：

（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相

似；（5）正六边形都相似；其中正确的有（　　）.

A．2个     B．3个      C．4个     D．5个

2.下列说法错误的是（　　 ）.
A.位似图形一定是相似图形.
B.相似图形不一定是位似图形.
C.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
D.位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行.

3.下列说法正确的是（　　 ） .
  A.分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DE∥BC，则ADE    

是ABC放大后的图形.     
B.两位似图形的面积之比等于相似比.
C.位似多边形中对应对角线之比等于相似比.
D.位似图形的周长之比等于相似比的平方.

4. 下列命题：①两个正方形是位似图形；②两个等边三角形是位似图形；③两个同心圆是位似图形；④平行于三角形一边的直线截这个三角形的两边，所得的三角形与原三角形是位似图形.其中正确的有(    ).
A.1个 　　　B.2个　　　 C.3个 　　　D.4个

5．如果点C为线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，则下列各式不正确的是（　　）.

A. AB：AC=AC：BC    B. AC=    C.AB=   D.BC≈0.618AB

题组B  能力提升练

A.       B.      C.      D.2

7. 如果两个位似图形的对应线段长分别为3cm和5cm，且较小图形周长为30cm，则较大图形周长为__________.

8．如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形，已知OA=10cm，OA′=20cm，则五边形ABCDE的周长与五边形的周长的比值是__________．
　 　　　　　

9. △ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，△ADE是△ABC缩小后的图形.若DE把△ABC的面积分成相等的两部分，则AD：AB=________.

10. 把一矩形纸片对折，如果对折后的矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的长与宽之比为____________________.

11.如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第，三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依次规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n=　    　．

12. 如图，△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=36°，∠ABC的平分线与AC边的交点D为边AC的黄金分割点（AD＞DC），则BC=______________.

题组C  培优拔尖练

13.如图，D、E分别AB、AC上的点.
　(1)如果DE∥BC，那么△ADE和 △ABC是位似图形吗？为什么？
　(2)如果△ADE和 △ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？
　　　　　　　　
14.如图，F在BD上，BC、AD相交于点E，且AB∥CD∥EF，

（1）图中有哪几对位似三角形，选其中一对加以证明；

（2）若AB=2，CD=3，求EF的长．

15. 如图1，矩形ODEF的一边落在矩形ABCO的一边上，并且矩形ODEF∽矩形ABCO，其相似比为1：4，矩形ABCO的边AB=4，BC=4．
（1）求矩形ODEF的面积；

（2）将图1中的矩形ODEF绕点O逆时针旋转一周，连接EC、EA，△ACE的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．