培优专题17 与圆的切线有关的计算与证明-【核心考点突破】2022-2023学年九年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

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培优专题17 与圆的切线有关的计算与证明 ◎类型一：根据切线的性质求线段长1．（2022·山东烟台·中考真题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°．(1)请用尺规作出⊙O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75°，⊙O的半径为2，求BC的长． 2．（2021·广西·靖西市教学研究室九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，DC与⊙O相切于点C．连接BC，AC．(1)求证：∠A＝∠BCD；(2)若∠D＝45°，⊙O的半径为2，直接写出线段AD的长． 3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作切线DE交AB的延长线于点E，交BC于点F． (1)求证：BC⊥DE；(2)若AB＝4，∠A＝30°，填空：①线段AD的长为______；②线段BF的长为______．  4．（2022·江苏南通·二模）如图，中，，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．(1)求证：；(2)若，，求BF的长． 5．（2022·湖南永州·二模）如图，是的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE=AB．(1)求∠ACB的度数；(2)若，求的半径． ◎类型二：根据切线的性质求角度6．（2022·天津津南·一模）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠BAC=36°． (1)如图①，若CD平分∠ACB，连接BD，求∠ABC和∠CBD的大小；(2)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE=AC，求∠P的大小．  7．（2022·江苏·九年级单元测试）已知是直径，，分别切于点，．(1)如图①，若，求的度数；(2)如图②，延长到点，使，连接，若，求的度数．   8．（2022·天津东丽·一模）如图，已知AB是的直径，CD是的弦，连接AD，BD．(1)如图1，连接OC．若，求及的大小；(2)如图2，过点C作的切线，交DB的延长线于点E，连接OD．若，求的大小．   9．（2022·天津·一模）已知△ABC内接于，，连接AO并延长，交于点D，交于点E．(1)如图①，连接CD，若∠BAC=75°，求∠ADC，∠BAD的大小；(2)如图②，过点C作的切线，与BA的延长线相交于点F，连接BD，若BE=BD，求∠F的大小． 10．（2022·天津河北·一模）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC．(1)如图①，连接AC，若，求∠ACD的大小；(2)如图②，E为上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求∠B的大小．    ◎类型三：根据性质和判定求图形面积11．（2022·全国·九年级课时练习）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交O于B，连接AD、AB，AB是O的切线．(1)求证：AD是O的切线．(2)若O的半径为4，，求平行四边形OAEC的面积．     12．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．（1）求证：∠A+2∠C＝90°；（2）若∠A＝30°，⊙O的半径为，求图中阴影部分的面积．（不求近似值）   13．（2021·江苏·景山中学九年级阶段练习）已知：如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°．（1）求AB的长；（2）求BD的长；（3）求图中阴影部分的面积．   14．（2022·广东·深圳市大鹏新区华侨中学模拟预测）如图，在中，，与，分别相切于点E，F，平分，连接OA．(1)求证：是的切线；(2)若，的半径是2，求图中阴影部分的面积．   15．（2022·湖北咸宁·模拟预测）如图，为的直径，和过点上点C的切线互相垂直，垂足为点D，交于点E．(1)求证：平分；(2)已知，若点E为的中点，求图中阴影部分的面积．  ◎类型四：根据切线的性质求弧长16．（2021·江苏盐城·九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝33°，连接BC．(1)求∠B的度数．(2)若AB＝4，求的长．  17．（2022·江苏·九年级课时练习）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，∠CAD＝36°，连接BC．(1)求∠B的度数；(2)若AB＝3，求的长．   18．（2021·全国·九年级课时练习）如图，直线，垂足为P，测得．（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切；（2）求该圆弧的长．  20．（2019·山西阳泉·一模）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O 上一点，过点C作⊙O的切线DE，AD⊥DE于点D，DE与AB的延长线交于点E，连接AC．（1）求证：AC平分∠DAE；（2）若⊙O的半径为2，∠CAB=35°，求的长.