培优专题18 直线与圆的位置关系的判断与证明-【核心考点突破】2022-2023学年九年级数学上册精选专题培优讲与练（人教版）

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培优专题18 直线与圆的位置关系的判断与证明 【方法讲解】　由直线与圆的公共点的个数，得出以下直线和圆的三种位置关系：　　（1）相交：直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交．这时直线叫做圆的割线．　　（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切．这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．　　（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．　直线与圆的位置关系的数量特征　　1、迁移：点与圆的位置关系　　（1）点P在⊙O内 d<r；　　（2）点P在⊙O上 d=r；　　（3）点P在⊙O外 d>r．　　2、归纳概括：　　如果⊙O的半径为r ，圆心O到直线l的距离为d，那么　　(1)直线l和⊙O相交 d<r；　　(2)直线l和⊙O相切 d=r；　　　　　    (3)直线l和⊙O相离 d>r． 【巩固训练】1．（2022·全国·九年级专题练习）在中，，O是上的一点，，⊙的半径为r，当r与m满足怎样的关系时，（1）与⊙相交？（2）与⊙相切？（3）与⊙相离？【答案】（1）；（2）；（3）【分析】根据圆心到直线的距离与半径r的大小关系解答即可．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．【详解】解：如图，过点O作于，，，，，∴，∴，∴（1）当时，与相交；（2）当时，与相切；（3）当时，与相离．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟练掌握圆心到直线的距离与半径r的大小关系来确定直线与圆的位置关系是解决本题的关键．2．（2022·全国·九年级课时练习）在中，，，，（1）斜边上的高为________；（2）以点C为圆心，r为半径作⊙C①若直线与⊙C没有公共点，直接写出r的取值范围；②若边与⊙C有两个公共点，直接写出r的取值范围；③若边与⊙C只有一个公共点，直接写出r的取值范围．【答案】（1）2.4；（2）①；②；③或【分析】（1）勾股定理求得斜边，进而根据等面积法求得斜边上的高；（2）根据圆心到直线的距离与半径比较，根据直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，即可求得的取值范围．【详解】（1）中，，，，设斜边上的高为,,,故答案为：（2）①若直线与⊙没有公共点，则⊙相离，则r的取值范围是；②若边与⊙有两个公共点，点在圆外或者圆上，则r的取值范围是；③若边与⊙只有一个公共点，则⊙相切，或者点在圆内，则r的取值范围是或【点睛】本题考查了勾股定理，直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系，理解直线与圆的位置关系以及点与圆的位置关系是解题的关键．3．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，C是⊙O外一点．若，直线BC与⊙O相交，判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】相交，理由见解析【分析】根据平行线的性质即圆的性质，证明，从而得，根据已知条件直线BC与⊙O相交，即可判断与⊙O的位置关系【详解】相交，理由如下：如图，连接， ，，，，，，，，（SAS），，直线BC与⊙O相交，，．直线与⊙O相交．线CD与⊙O的位置关系是：相交．【点睛】本题考查了圆的性质，三角形全等的性质与判定，直线与圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，的半径为，则直线与的位置关系怎样？【答案】相切，理由见详解【分析】首先画出直线，并过点作，垂足为，再根据函数关系式求得，，进而利用勾股定理得到，然后根据直角三角形的面积求得，从而得到结论圆心点到直线的距离等于的半径，可见直线与的位置关系是：相切．【详解】解：结论：直线与的位置关系是：相切理由：画出直线，过点作，垂足为，如图：∵直线的解析式为∴令，解得；令，解得∴，∴，∴在中，根据勾股定理得∵∴∵的半径为 ∴圆心点到直线的距离等于的半径，即∴直线与的位置关系是相切．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理、利用三角形的面积求线段长等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．5．（2022·全国·九年级课时练习）如图，，点在上，且，以为圆心，为半径作圆．（1）讨论射线与公共点个数，并写出对应的取值范围；（2）若是上一点，，当时，求线段与的公共点个数．【答案】（1）见解析   （2）0个【分析】(1) 作于点,由，可得点到射线的距离,根据直线与圆的位置关系的定义即可判断射线OA与圆M的公共点个数；(2) 连接．可得,由可得,得到,故当时，可判断线段与的公共点个数．【详解】（1）如图，作于点．，∴点到射线的距离．∴当时，与射线只有一个公共点；当时，与射线没有公共点；当时，与射线有两个公共点；当时，与射线只有一个公共点．（2）如图，连接．．,.∴当时，线段与的公共点个数为0．【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离判断位置关系是解题的关键.6．（2021·江苏宿迁·九年级期中）在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，4），C（6，2）(1)请确定经过点A，B，C的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；(2)若一个点D（7，0），试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由．【答案】(1)（2，0）(2)直线CD与圆M相切，理由见解析 【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，由图形可知：这点的坐标是（2，0）；（2）利用勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可．(1)解：如图，点M即为所求．M（2，0）；(2)直线CD与圆M相切，理由：连接CM 圆M的半径CM=，∵D（7，0），M（2，0），∴OD=7，OM=2，∴DM=7-2=5，CD=，∵CM2+CD2=20+5=25=52=DM2，∴∠MCD=90°，∴MC⊥CD，∵MC是圆M的半径，∴直线CD与圆M相切．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质确定圆心．7．（2021·江苏宿迁·九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，B是上一动点，将点绕着点B逆时针旋转90°得到点C．(1)当点B运动到x轴的负半轴上时，则直线AC与的位置关系是______．(2)当直线AB与相切时①求AB的长；②求点C的坐标．【答案】(1)相离(2)①；②（，）或（，） 【分析】（1）利用三角形的面积，计算出圆心O到AC的距离，与半径1比较，判断即可．（2）①连接OB，得到直角三角形AOB，根据OA=2，OB=1，利用勾股定理，求解即可；②过点C作CD⊥x轴，垂足为D，求得∠OAB=∠OCD=30°，根据30°所对直角边等于斜边的一半，计算DO，DC，根据点所在象限确定坐标．(1)当点B在x轴的负半轴时，BC⊥x轴，设AC与y轴交于点D，∵△ABC是等腰直角三角形，∴△AOD是等腰直角三角形，∴AO=OD=2，AD=，设圆心O到AC的距离为h，则h=＞1，∵的半径是1，AC与相离，故答案为：相离．(2)①连接OB，∵AB是的切线，∴∠OBA=90°，∵点A（2，0）∴AO=2，∵的半径是1，∴OB=1，∴AB==．②如图，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，∵AB是的切线，∴∠OBA=90°，∵点A（2，0）∴AO=2，∵的半径是1，∴OB=1，∴∠OAB=30°，∵∠OBA=∠ODC= 90°，∴∠OAB=∠OCD=30°，∵AB=BC=，∠ABC= 90°，∴O、B、C三点一线，∴OC=OB+BC=+1，∴DO==，∵OC×AB=AO×CD，∴DC=，∵点C在第一象限，∴点C的坐标为（，）；过点C作CD⊥x轴，垂足为D，∵AB是的切线，∴∠OBA=90°，∵点A（2，0）∴AO=2，∵的半径是1，∴OB=1，∴∠OAB=30°，∵∠OBA=∠ODC= 90°，∴∠OAB=∠OCD=30°，∵AB=BC=，∠ABC= 90°，∴O、B、C三点一线，∴OC=BC-OB=-1，∴DO==，∴DC==，∵点C在第二象限，∴点C的坐标为（，）；此时坐标为（，）；故点C的坐标为（，）或（，）．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，切线的性质，勾股定理，直角三角形的性质，圆的对称性，熟练掌握切线的性质，直角三角形的性质是解题的关键．8．（2022·广东广州·九年级期末）在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O半径为3．(1)试判断点A（3，3）与⊙O的位置关系，并加以说明．(2)若直线y＝x+b与⊙O相交，求b的取值范围．(3)若直线y＝x+3与⊙O相交于点A，B．点P是x轴正半轴上的一个动点，以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标．【答案】(1)点A在外(2)(3)或 【分析】（1）由勾股定理求出AO的长，再与圆的半径比较即可得出结论；（2）求出直线与相切时OB的长度即可得到b的取值；（3）分，和三种情况求解即可．(1)∵∴∵∴点A在外(2)如图，当直线与相切于点C时，连接OC，则OC=3∵∠∴∴直线与相交时，；(3)∵直线与相交于点A，B，∴，∴当时，点P坐标为：，（舍去）当时，∵轴∴∴当时，点P与点O重合，∴（舍去）综上，点P的坐标为：或【点睛】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决问题．9．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D， 点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．（1）试判断直线BC与OD的位置关系，并说明理由.（2）若BD＝，BF＝3，求⊙O的半径.【答案】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由见解析；（2）⊙O的半径是3．【分析】（1）连接OD，由OA＝OD得到∠OAD＝∠ODA，由AD平分∠CAB得到∠OAD＝∠CAD，则∠ODA＝∠CAD，求出OD//AC，进而得到OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；（2）根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可．【详解】（1）线BC与⊙O的位置关系是相切，理由是：连接OD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD//AC，∵∠C＝90°，∴∠ODB＝90°，即OD⊥BC，∵OD为半径，∴线BC与⊙O的位置关系是相切；（2）设⊙O的半径为R，则OD＝OF＝R，在Rt△BDO中，由勾股定理得：OB2＝BD2+OD2，即(R+3)2＝()2+R2，解得：R＝3，即⊙O的半径是3．【点睛】本题考查圆与直线的位置关系和勾股定理，解题的关键是掌握圆与直线的位置关系和勾股定理.10．（2019·江苏南通·九年级期中）如图，∠MAN＝30°，点O为边AN上一点，以O为圆心，4为半径作⊙O交AN于D、E两点．⑴ 当⊙O与AM相切时，求AD的长；⑵ 如果AD＝2，那么AM与⊙O又会有怎样的位置关系？并说明理由．【答案】(1)4;(2) AM与⊙O相交,理由见解析【分析】(1)在Rt△AOF中，由OF求得AO，即可求解；(2)在Rt△AOF中，由AO求得OF的长，比较它与圆的半径之间的大小.【详解】解：⑴如图1，设切点为F，连接FO，∵⊙O与AM相切于点F，OF为半径，∴FO⊥AM，∴∠AFO＝90°.∵∠A＝30°，OF＝4，∴AO＝2OF，AD＝AO–DO＝8－4＝4．⑵AM与⊙O相交．理由：如图2，过点O作OF⊥AM于F，∴∠AFO＝90°，∵AD＝2，DO＝4；∴AO＝AD＋DO＝6，又∠A＝30°，∴OF＝AO＝×6＝3＜4，∴AM与⊙O相交．【点睛】本题主要考查了勾股定理和直线与圆的位置关系，①直线和圆相离时，d>r；②直线和圆相交时，d<r；③直线和圆相切时，d＝r(d为圆心到直线的距离)，反之也成立.