初中数学人教版七年级上册第一章 有理数综合与测试同步练习题

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2022-2023学年七年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（人教版）
1.2 有理数

题型导航






有
理
数

有理数
题型1
有理数的分类
题型2
数轴表示数
题型3
数轴上两点之间的距离
题型4
相反数
题型5
绝对值
题型6


题型变式

【题型1】有理数
1．（2022·全国·七年级课时练习）下列说法错误的是（            ）
A．0既不是正数，也不是负数
B．零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃
C．向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示
D．若盈利1000元记作+1000元，则-200元表示亏损200元
【答案】C
【解析】
【分析】
根据有理数的概念和性质判断即可．
【详解】
∵0既不是正数，也不是负数，
∴A正确，不符合题意；
∵零上6摄氏度可以写成＋6℃，也可以写成6℃，
∴B正确，不符合题意；
∵正方向可以自主确定，
∴向东走一定用正数表示，向西走一定用负数表示，是错误的，
∴C不正确，符合题意；
∵盈利1000元记作+1000元，则-200元表示亏损200元，
∴D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了有理数的基本概念，熟练掌握有理数的基本概念是解题的关键．

【变式1-1】
2．（2022·全国·七年级专题练习）在，，，0四个数中，有理数的个数为（     ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据有理数的定义进行判断即可．
【详解】
解：在，，，0四个数中，，，0是有理数，
有理数的个数为3，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了有理数的识别，熟练掌握有理数的定义是解决本题的关键．

【题型2】有理数的分类
1．（2022·全国·七年级课时练习）有理数－3，0.23，－85，206，－4，5中，非正整数有（       ）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】D
【解析】
【分析】
根据有理数的分类，求解即可, 非正整数包括负整数和零，也就是非正数中的整数．
【详解】
解：有理数－3，0.23，－85，206，－4，5中，非正整数有，共3个，
故选D
【点睛】
本题考查了非正整数，理解非正整数包括负整数和零，也就是非正数中的整数是解题的关键．


【变式2-1】
2．（2020·山西省运城市实验中学七年级期中）把下列各数填在相应的大括号内：
0.5，，2，，0，，，2020，
正数集合：｛                                        …｝；
分数集合：｛                                        …｝；
非负整数集合：｛                                        …｝．
【答案】0.5，2，，2020，；
0.5， ， ，， ；
0.5，2，0，，2020，
【解析】
【分析】
根据正数，负数，分数，非负整数的定义进行分类即可解决问题．
【详解】
解：正数集合：｛ 0.5，2，，2020，， …｝；
分数集合：｛0.5， ， ，， ，…｝；
非负整数集合：｛0.5，2，0，，2020，， …｝．
所以集合里分别填：
0.5，2，，2020，；
0.5， ， ，， ；
0.5，2，0，，2020，
【点睛】
本题考查了有理数的分类，解题的关键是熟练掌握有理数的分类方法，属于中考常考题型．

【题型3】数轴表示数
1．（2020·黑龙江·集贤县第七中学七年级期中）画出数轴并表示下列有理数，并用“＞”把它们连起来．
，3，1.5，0，．
【答案】数轴是表示见解析，3＞1.5＞0＞-2＞-4．
【解析】
【分析】
首先在数轴上确定表示各数的点的位置，再根据在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大用“＞”号把这些数连接起来即可．
【详解】
解：如图所示：

用“＞”把它们连起来为：3＞1.5＞0＞-2＞-4．
【点睛】
此题主要考查了有理数的比较大小，关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置．

【变式3-1】
2．（2020·黑龙江·虎林市实验中学七年级期中）a、b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把a、－a、b、－b按从小到大的顺序排列为（       ）

A．－b＜－a＜a＜b B．－a＜－b＜a＜b C．－b＜a＜－a＜b D．－b＜b＜－a＜a
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据a，b两点在数轴上的位置判断出a、b的符号及其绝对值的大小，再比较出其大小即可．
【详解】
解：∵由图可知，a＜0＜b，|a|＜b，
∴0＜-a＜b，-a＜b＜0，，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上各点所表示的数的特点是解答此题的关键．

【题型4】数轴上两点之间的距离
1．（2019·广东·广州市第二中学七年级阶段练习）如图：A、B两点在数轴上表示的数分别为a，b，则A，B两点间的距离不正确的是（　　）

A．﹣b+a B．|a﹣b| C．b﹣a D．|a|+|b|
【答案】A
【解析】
【分析】
根据A、B两点在数轴上的位置进行计算．
【详解】
解：A，B两点间的距离＝b﹣a，
A、由题意知，﹣b+a＜0，故本选项符合题意；
B、由题意知，|a﹣b|＝b﹣a，故本选项不符合题意；
C、由题意知，b﹣a，故本选项不符合题意；
D、由题意知，|a|+|b|＝﹣a+b，故本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了数轴上两点间的距离，能够正确理解A、B两点间的距离的几何意义是解题的关键．

【变式4-1】
2．（2020·湖南·常德市第七中学七年级期中）数轴上一点A表示的数为－7，当点A在数轴上滑动2个单位后所表示的数是_________．
【答案】-9或-5
【解析】
【分析】
分向右滑动和向左滑动两种情况讨论求解即可．
【详解】
解：∵数轴上一点A表示的数为－7，
∴当点A在数轴上向左滑动2个单位后所表示的数是-7-2=-9；当点A在数轴上向右滑动2个单位后所表示的数是-7+2=-5，
故答案为：-9或-5．
【点睛】
本题主要考查了用数轴表示有理数，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．


【题型5】相反数
1．（2020·黑龙江·虎林市实验中学七年级期中）的相反数是 （       ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【解析】
【分析】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】
根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得．
解：的相反数是，故A正确．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．

【变式5-1】
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市萧红中学校期中）数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是12，在A、B之间有一点P，P到A的距离是P到B的距离的2倍，求P点表示的数_______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义得出A， B表示的数据，再利用P到A的距离是P到B的距离的2倍，得出P点位置．
【详解】
解：数轴上A、B表示的数互为相反数，并且两点间的距离是12，
A表示-6， B表示6，或者A表示6， B表示-6，
当A表示-6， B表示6时，
在A、B之间有一点P， P到A的距离是P到B的距离的2倍，
PA=8， PB=4，
点P表示的数是：2；
A表示6， B表示-6时，
在A、B之间有一点P， P到A的距离是P到B的距离的2倍，
PA=8， PB=4，
点P表示的数是：-2；
故答案为： ．
【点睛】
此题主要考查了数轴以及互为相反数的定义，正确得出A， B点位置是解题关键．

【题型6】绝对值
1．（2021·湖北恩施·一模）﹣2的绝对值为（　　）
A．﹣ B． C．﹣2 D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用绝对值的性质化简得出答案．
【详解】
解：﹣2的绝对值为：2
故选：D．
【点睛】
本题考查化简绝对值，解题的关键是掌握绝对值的定义．

【变式6-1】
2．（2021·辽宁本溪·七年级期中）化简：____________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值的定义即可得．
【详解】
解：；
故答案为：
【点睛】
此题考查了绝对值，掌握绝对值的定义：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值是解题的关键．


专项训练

一．选择题
1．（2019·贵州安顺·中考真题）-2019的相反数是（       ）
A．2019 B．-2019 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.
【详解】
解：-2019的相反数是2019．
故选：A．
【点睛】
本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义.
2．（2021·贵州安顺·中考真题）如图，已知数轴上两点表示的数分别是，则计算正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据数轴上两点的位置，判断的正负性，进而即可求解．
【详解】
解：∵数轴上两点表示的数分别是，
∴a＜0，b＞0，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了数轴，绝对值，掌握求绝对值的法则是解题的关键．
3．（2022·全国·七年级课时练习）数轴上，点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是0.动点、从、同时出发，分别以每秒3个单位和每秒1个单位的速度向右运动．在运动过程中，下列数量关系一定成立的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
设运动时间为t秒，根据题意可知AP=3t，BQ=t，AB=2，然后分类讨论:①当动点P、Q在点O左侧运动时，②当动点P、Q运动到点O右侧时，利用各线段之间的和、差关系即可解答.
【详解】
解:设运动时间为t秒，由题意可知: AP=3t， BQ=t，
AB=|-6-(-2)|=4，BO=|-2-0|=2，
①当动点P、Q在点O左侧运动时，


PQ=AB-AP+BQ=4-3t+t=2(2-t)，
∵OQ= BO- BQ=2-t，
∴PQ= 2OQ ；
②当动点P、Q运动到点O右侧时，


PQ=AP-AB-BQ=3t-4-t=2(t-2)，
∵OQ=BQ- BO=t-2，
∴PQ= 2OQ，
综上所述，在运动过程中，线段PQ的长度始终是线段OQ的长的2倍，
即PQ= 2OQ一定成立.
故选: A.
【点睛】
本题考查了数轴上的动点问题及数轴上两点间的距离，解题时注意分类讨论的运用.
4．（2022·全国·七年级课时练习）已知，则a的值是（　　）
A．3 B．-3 C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
先计算出，然后根据绝对值的定义求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查绝对值方程的求解，理解绝对值的定义是解题关键．
5．（2021·全国·七年级课时练习）为数轴上表示3的点，将点沿数轴向左平移7个单位到点，再由向右平移6个单位到点，则点表示的数是（       ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向左平移为减法，向右平移为加法，利用有理数的加减法运算计算即可．
【详解】
，
∴点C表示的数是2，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查有理数加减法的应用，正确的计算是关键．
6．（2019·黑龙江·中考真题）实效m，n在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是（       ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
从数轴上可以看出m、n都是负数，且m＜n，由此逐项分析得出结论即可．
【详解】
解：因为m、n都是负数，且m＜n，|m|＞|n|，
A、m＞n是错误的；
B、-n＞|m|是错误的；
C、-m＞|n|是正确的；
D、|m|＜|n|是错误的．
故选C．
【点睛】
此题考查有理数的大小比较，关键是根据绝对值的意义等知识解答．
二、填空题
7．（2020·四川乐山·中考真题）用“”或“”符号填空：______．
【答案】
【解析】
【分析】
两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【详解】
解：∵|-7|=7，|-9|=9，7-9，
故答案为：>．
【点睛】
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个负数，绝对值大的其值反而小．
8．（2021·江苏常州·中考真题）数轴上的点A、B分别表示、2，则点__________离原点的距离较近（填“A”或“B”）．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出A、B点所对应数的绝对值，进而即可得到答案．
【详解】
解：∵数轴上的点A、B分别表示、2，
∴，且3＞2，
∴点B离原点的距离较近，
故答案是：B．
【点睛】
本题主要考查数轴上点与原点之间的距离，掌握绝对值的意义，是解题的关键．
9．（2022·全国·七年级课时练习）如图，数轴上点，，对应的有理数分别是，，，，且，则______．

【答案】8
【解析】
【分析】
根据得，代入即可求出a和c的值，再根据绝对值的性质化简，即可求出结果．
【详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案是：8．
【点睛】
本题考查数轴的性质和绝对值的性质，解题的关键是掌握数轴上的点表示有理数的性质和化简绝对值的方法．
10．（2019·山东德州·中考真题），则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义，绝对值表示距离，所以，即可求解；
【详解】
根据绝对值的意义得，，
；
故答案为；
【点睛】
本题考查绝对值的意义；理解绝对值的意义是解题的关键．
11．（2020·湖北·云梦县实验外国语学校七年级期末）若有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则|a-c|-|b+c|可化简为_________ ．

【答案】##
【解析】
【分析】
根据数轴上的点的位置，判断a-c和b+c的符号，然后根据绝对值的意义求解即可．
【详解】
根据题意得a-c＜0，b+c＞0
所以|a﹣c|﹣|b+c|
=c-a-（b+c）
=c-a-b-c
=-a-b
故答案为-a-b．
【点睛】
此题主要考查了数轴上点与绝对值的化简，关键是根据数轴上点的位置求出代数式的符号．
三、解答题
12．（2020·广东·龙门县华南师范大学附属龙门学校七年级期末）把下列各数在数轴上表示出来，3.5， -3.5， 0， 2，   -0.5， -2， 0.5. 并按从小到大的顺序用“＜”连接起来.
【答案】数轴见解析，-3.5