2021-2022学年辽宁省沈阳市皇姑区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

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2021-2022学年辽宁省沈阳市皇姑区九年级（上）期末数学试卷     已知中，，，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 1    下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是(    )A.  B.  C.  D.     如果1是方程的一个根，则方程的另一个根是(    )A.  B. 2 C.  D. 1    已知点C是线段AB的黄金分割点，且，，则AC的长度是(    )A.  B.  C.  D.     如图，在中，，，，则的值为(    )A.
B.
C.
D.     在下列条件中，不能判断与相似的是(    )A. ， B. 且
C.  D. 且    如图，D、E分别是的边AB、AC的中点，若的面积为1，则四边形DECB的面积为(    )A. 2
B. 3
C. 4
D. 6    抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，当时，x的取值范围是(    )A.
B.
C.
D. 或
     如图，小慧的眼睛离地面的距离为，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离BC为5m，则旗杆AD的高度单位：为(    )A.
B.
C.
D.
 如图，小聪要在抛物线上找一点，针对b的不同取值，
所找点M的个数，三个同学的说法如下，
小明：若，则点M的个数为0；
小云：若，则点M的个数为1；
小朵：若，则点M的个数为
下列判断正确的是(    )A. 小云错，小朵对 B. 小明，小云都错 C. 小云对，小朵错 D. 小明错，小朵对已知，若，则______.如图，以点O为位似中心，将放大后得到，，，则______ .
如图，数学兴趣小组下午测得一根长为1m的竹竿影长是，同一时刻测量树高时发现树的影子有一部分落在教学楼的墙壁上，测得留在墙壁上的影高为，地面上的影长为，请你帮算一下，树高是______
 有五张不透明的卡片除正面的数不同外，其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，则抽到写着无理数的卡片的概率为______.
 对于实数x，y我们定义一种新运算其中m，n均为非零常数，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，例如，时，若，，则______ .如图，在矩形ABCD中，，，对角线AC与BD相交于点O，点P为边AD上一动点，连接OP，将沿OP折叠，点A的对应点为点E，线段PE交线段OD于点若为直角三角形，则PD的长为______.
 计算：解方程：某公园有A、B两个出口，进去游玩的甲、乙两人各自随机选择A、B两个出口中的一个离开，请用列表或画树状图法求他们两人选择同一个出口离开的概率．如图，已知中，，E是AB的中点，连接EC，过点A作，过点C作，AD与CD交于点
求证：四边形ADCE是菱形；
若，，则的面积为______直接填空
某服装店在销售中发现，一款服装每件进价为80元，当销售价为120元时，每天可售出20件，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．
设每件服装降价x元，若平均每天盈利1050元，求x的值；
设此款服装每天可盈利y元，求y的最大值．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，顶点，，，点C是反比例函数图象上一点．
求反比例函数的表达式；
连接OC，将直线OC沿y轴向上平移m个单位后经过反比例函数图象上的点，则______直接填空
如图①是某中型挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成，图②是共侧面结构示意图是基座，AB是主臂，BC是伸展臂，若主臂AB长为4米，主臂伸展角的范围是：，伸展臂伸展角的范围是：
如图③，当，伸展臂BC恰好垂直并接触地面时，求伸展臂BC的长结果保留根号；
若中BC长度不变，求该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方多少米的土石．结果保留根号
 已知：为等边三角形，且，点D在直线BC上运动，线段DA绕着点D顺时针旋转得到线段DE，连接AE和BE，直线AE交直线BC于点
如图，当点D在点C左侧时，求证：；
若的面积等于面积的4倍，直接写出线段CD的长；
在的条件下，若点E关于直线AD的对称点为点G，连接DG交线段AC于点M，DE交线段AB于点N，连接MN，直接写出线段MN的长．
 如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，连接BC，点D是第四象限抛物线上一点，过点D作轴于点E，交线段BC于点F，连接AD、AF、
求抛物线的表达式；
设点D的横坐标为m，求四边形ADBF面积的最大值；
在的条件下，将四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形、D、B、F的对应点分别为、、、，直线与直线AF交于点点P在B点左侧的抛物线上，点Q在直线上，当以点P、Q、B、为顶点的四边形是平行四边形，且时，请直接写出点P的横坐标．

答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：，



故选：
根据特殊三角函数值得出的值，再根据三角形内角和求出的值，代入即可．
本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
 2.【答案】D 【解析】解：A、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；
B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；
C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意．
故选：
主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 3.【答案】A 【解析】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得，解得，
即方程的另一个根为
故选：
利用两根之积为确定方程的另一个根．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义．
 4.【答案】B 【解析】【分析】
本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点．
根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可．
【解答】
解：点C是线段AB的黄金分割点，且，
，
而，
  5.【答案】D 【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得，，
，
故选：
根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理的应用，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做
的正弦是解题的关键．
 6.【答案】B 【解析】解：A、，，可以得出∽，故此选项不合题意；
B、，且，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；
C、，可以得出∽，故此选项不合题意；
D、且，可以得出∽，故此选项不合题意；
故选：
直接根据三角形相似的判定方法分别判断得出答案．
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
 7.【答案】B 【解析】解：，E分别是的边AB，AC的中点，
是的中位线，
，，
∽，
，
的面积为1，
的面积为4，
四边形DBCE的面积等于3，
故选：
根据三角形中位线定理得到，，证明∽，根据相似三角形的性质计算，即可得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 8.【答案】C 【解析】解：抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
抛物线开口向下，
当时，
故选：
利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
 9.【答案】D 【解析】解：根据题意得，
在中，，
所以
答：旗杆的高度
故选：
利用直角三角形的一边与AC平行得到，则根据含30度的直角三角形三边的关系得到AC，然后计算即可．
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
 10.【答案】C 【解析】解：点，
当时，则，整理得，
，
有两个不相等的值，
点M的个数为2；
当时，则，整理得，
，
有两个相同的值，
点M的个数为1；
当时，则，整理得，
，
点M的个数为0；
故小明错，小云对，小朵错，
故选：
把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，

由一已知式子和原式可得，利用比例的合比性质即可求得原式的值．
熟练掌握比例的合比性质并灵活运用．
 12.【答案】 【解析】解：点O为位似中心，放大后得到，

故答案为
利用位似的性质求解．
本题考查了位似变换：位似的两个图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线
 13.【答案】 【解析】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x cm，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，而，
，
树在地面的实际影子长是，
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，
，
树高是
故答案为：
首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．
考查了相似三角形的应用，解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同．
 14.【答案】 【解析】解：根据题意可知，共有5张卡片，，为无理数，概率为
故答案为：
根据概率的求法，找准两点：
①全部情况的总数；
②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
 15.【答案】11 【解析】解：，，
根据题中的新定义化简得：，
解得：，即，
则
故答案为：
已知两等式利用题中的新定义化简，计算求出m与n的值，代入，再把，代入计算即可求出值．
此题考查了解二元一次方程组，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．
 16.【答案】5或 【解析】解：如图1，当时，过点O作于H，

四边形ABCD是矩形，
，，，
，
，
，，
将折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
，
，
，
，
；
当时，

，，
，
四边形ABCD是矩形，
，
，
将折叠，点A的对应点为点E，线段PE与OD相交于点F，
，，
，
∽，
，
，
，
，
，，
∽，
，
，
，
综上所述：或，
故答案为5或
分两种情况讨论，当时，过点O作于H，由平行线分线段成比例可得，，由折叠的性质可得，可求，可得；当时，由勾股定理和矩形的性质可得，通过证明∽，可得，可求OF的长，通过证明∽，可得，可求PD的长．
本题属于综合题，是中考填空题的压轴题，考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
 17.【答案】解：原式

 【解析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而计算得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 18.【答案】解：
解法一：，
，
，
，

解法二：，，，


 【解析】解法一：在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．
解法二：先找出a，b，c，求出的值，再代入求根公式即可求解．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．
 19.【答案】解：根据题意画图如下：

共有4种等可能的情况数，其中他们两人选择同一个出口离开的有2种，
则他们两人选择同一个出口离开的概率是 【解析】画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式列式计算即可得解．
本题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 20.【答案】 【解析】证明：，，
四边形ADCE是平行四边形，
，E是AB的中点，
，
四边形ADCE是菱形；
解：四边形ADCE是菱形，，
，
在中，，，，
，
，
，
故答案为：
由，，得四边形ADCE是平行四边形，再证，从而四边形ADCE是菱形；
由四边形ADCE是菱形，，得，从而得出BC、AC的长，即可得出的面积．
本题主要考查了菱形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
 21.【答案】解：由题意可得，
，
解得，，
即x的值是5或25；
由题意可得，
，
当时，y取得最大值，此时，
即y的最大值是 【解析】根据题意，可以得到方程，然后求解即可；
根据题意，可以得到，然后将该函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质，即可得到y的最大值．
本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质解答．
 22.【答案】3 【解析】解：如图，过点C作轴于点
，
，
又，

在与中，
，
≌，
，，
，
点C的坐标为，
点C在反比例函数图象上，
，
反比例函数解析式为；

点C的坐标为，
直线OC的解析式为，
将直线OC沿y轴向上平移m个单位后得到直线，
反比例函数过点，
时，，
直线过点，
，解得
故答案为：
过点C作轴于点根据AAS证明≌，从而求得点C的坐标，利用待定系数法可求出反比例函数的关系式；
由中求出的点C的坐标，得到直线OC的解析式，根据平移规律得到将直线OC沿y轴向上平移m个单位后的直线为，将点代入中求出的反比例函数解析式，求出，把点代入，即可求出m的值．
本题考查了全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，利用了数形结合思想．求得点C的坐标是解题的关键．
 23.【答案】解：如图：

由题意得：，，，
，
答：伸展臂BC的长为；
如图：

由题意得，，时，伸展臂伸展的最远，过点B作交NM的延长线于D，
在中，，，
，
，，
，
，
，
在中，，，
，

该挖掘机最远能挖掘到距A水平正前方米的土石． 【解析】根据题意画出图形，可得是等腰直角三角形，即可得出BC的长；
根据主臂伸展角和伸展臂伸展角的范围求出伸展到最远时AC的长度即可得出结果．
本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识；正确解直角三角形是解题的关键．
 24.【答案】证明：如图1中，是等边三角形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，


解：如图1中，当点F在线段CB上时，过点A作于点H，过点E作于点

的面积等于面积的4倍，
，
，，
，
，，
，
∽，
，
，
：：，
可以假设，，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，

如图2中，当点F在CB的延长线上时，过点A作于点H，过点E作于点

，
，
可以假设，，，
，
，
，，

综上所述，CD的长为或

解：如图3中，

点N，点G关于AD对称，
，
，，
≌，
，
由可知，
，
，
，，
∽，
，

 【解析】证明≌，可得结论；
分两种情形：如图1中，当点F在线段CB上时，过点A作于点H，过点E作于点利用相似三角形的性质求出BT，ET，可得结论．当点F在CB的延长线上时，过点A作于点H，过点E作于点利用相似三角形的性质求出BT，ET即可；
证明，利用相似三角形的性质求出AN即可．
本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．
 25.【答案】解：将和代入得：
，解得，
抛物线的表达式为；
在中，令得，
，
，
直线BC为，
点D的横坐标为，轴于点E，交线段BC于点F，
，，
，






，
，
时，最大为；
如图：

四边形ADBF沿直线DE向上平移得到四边形，
四边形是平行四边形，
，
∽，
，
，
由知时，，，
，即四边形ADBF沿直线DE向上平移个单位得到四边形，
，，
，，
直线为，
设，，而，，
①以PQ、为对角线，则PQ、的中点重合，
，解得或与B重合，舍去，
此时点P的横坐标为0；
②以PB、为对角线，
，解得不在B左侧，舍去或，
此时点P的横坐标为；
③以、QB为对角线，
，解得或舍去，
此时点P的横坐标为0；
综上所述，点P的横坐标为0或 【解析】将和代入即可得抛物线的表达式为；
由得，即得直线BC为，根据点D的横坐标为，轴于点E，交线段BC于点F，，，有，故，可知时，最大为；
由，得，即有，由知时，，，故，即四边形ADBF沿直线DE向上平移个单位得到四边形，即得，，直线为，设，，①以PQ、为对角线，则PQ、的中点重合，可得，解得此时点P的横坐标为0；②以PB、为对角线，同理可得点P的横坐标为；③以、QB为对角线，点P的横坐标为
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、平行四边形性质等知识，解题的关键是应用平行四边形对角线的中点重合列方程组解决问题．