2021-2022学年山西省大同市九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年山西省大同市九年级（上）期末数学试卷

1.     下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.     下列事件中，属于必然事件的是(    )

A. 任意购买一张电影票，座位号是奇数
B. 抛一枚硬币，正面朝上
C. 五个人分成四组，这四组中有一组必有2人
D. 打开电视，正在播放动画片

3.     抛物线的对称轴为直线(    )

A.  B.  C.  D.

4.     方程的根的情况是(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 有一个实数根 D. 没有实数根

5.     古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线利用数学原理，来测量金字塔的高度．如图，在某一时刻，测得木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，同时测得OA为201m，求金字塔的高度在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是(    )
    

A. 图形的轴对称 B. 图形的平移 C. 图形的旋转 D. 图形的相似

6.     如图，已知太原南站某自动扶梯AB的倾斜角为，自动扶梯AB的长为15m，则大厅两层之间的高度BC为(    )
    

A.  B.  C.  D.

7.     已知点在反比例函数的图象上，则下列说法正确的是(    )

A. 图象位于第一、三象限 B. 点在该函数图象上
C. 当时，y随x的增大而增大 D. 当时，

8.     如图，D是的BC边上一点，，，如果的面积为15，那么的面积为(    )

A. 5 B.  C. 10 D. 15

9.     如图，AB是的直径，的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P，于点E，，，则阴影部分的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

11. 在中，，，则的度数是______.
12. 如图，某小区地下停车场的栏杆短臂OA长1m，长臂OB长当短臂外端A下降时，长臂外端B升高______

13. 合作小组的4位同学坐在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，则学生B坐在2号座位的概率是______.

14. 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将绕顶点A旋转，在旋转过程中，当时，的大小可以是______.

15. 如图，点O是的AB边上一点，，以OB长为半径作，与AC相切于点若，，则的半径长为______.

16. 计算：；
    解方程：
17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与两坐标轴分别相交于点P，Q，过点B作于点C，连接
    求一次函数和反比例函数的解析式；
    求四边形ABCO的面积．

18. 如图1是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图2是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部BC垂直于墙面CD，且当导风板所在的直线AE与竖直直线AB的夹角为时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，于点D，于点若，，床铺，求空调机的底部位置距离床的高度结果精确到，参考数据：，，
     
19. 小军准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形，设其中一个正方形的边长为x cm，这两个正方形的面积之和为请解答下列问题：
    另一个正方形的边长为______用含x的代数式表示；
    要使这两个正方形的面积之和等于，小军应怎么剪？
    小华对小军说：“这两个正方形的面积之和的最小值为”他的说法正确吗？请说明理由．
20. 太原是国家历史文化名城，有很多旅游的好去处，周末哥哥计划带弟弟出去玩，放假前他收集了太原动物园、晋祠公园、森林公园、汾河湿地公园四个景点的旅游宣传卡片，这些卡片的大小、形状及背面完全相同，分别用D，J，S，F表示，如图所示，请用列表或画树状图的方法，求下列事件发生的概率．
    
    把这四张卡片背面朝上洗匀后，弟弟从中随机抽取一张，作好记录后，将卡片放回洗匀，哥哥再抽取一张，求两人抽到同一景点的概率；
    把这四张卡片背面朝上洗匀后，弟弟和哥哥从中各随机抽取一张不放回，求两人抽到动物园和森林公园的概率．
21. 请阅读下面材料，并完成相应的任务；
    阿基米德折弦定理
    阿基米德公元前公元前212年，古希腊是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
    阿拉伯年年的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
    阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是的两条弦即折线ABC是圆的一条折弦，，M是的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即
    这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明的部分证明过程．
    
    证明：如图2，过点M作射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，
    是的中点，
    
    …
    任务：
    请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
    如图3，已知等边三角形ABC内接于，D为上一点，，于点E，，连接AD，则的周长是______.

22. 问题情境：
    数学活动课上，同学们将绕点A顺时针旋转得到，点落在边AB上，连接，过点作于点
    特例分析：
    如图1，若点D与点A重合，请判断线段AC与BC之间的数量关系，并说明理由；
    探索发现：
    如图2，若点D在线段CA的延长线上．且，请判断线段AD与之间的数量关系，并说明理由．
     
23. 如图，已知抛物线与x轴相交于点A，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C，其顶点为点D，连接AC，
    求点A，B，D的坐标；
    设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；
    设点M是线段BC上的一个动点，过点M作，交AC于点点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为秒，直接写出当t为何值时，为等腰直角三角形．
    
    

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
 

2.【答案】C 

【解析】解：A、任意购买一张电影票，座位号是奇数是随机事件；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件；
C、五个人分成四组，这四组中有一组必有2人是必然事件；
D、打开电视，正在播放动画片是随机事件；
故选
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

3.【答案】A 

【解析】解：抛物线的对称轴的公式为，
的对称轴为直线，
故选：
根据二次函数的对称轴的公式即可得出答案．
本题主要考查二次函数的对称轴公式，关键是要牢记二次函数的对称轴的公式．
 

4.【答案】D 

【解析】解：，，，
，
方程没有实数根．
故选：
要判断方程的根的情况首先要求出其判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．
此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，关键是掌握方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
 

5.【答案】D 

【解析】解：在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是图形的相似，
故选：
在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
本题主要考查相似三角形的应用，解答时要了解：同一时刻物高和影长成正比．
 

6.【答案】B 

【解析】解：在中，，
则，
，，
，
故选：
根据正弦的定义计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度和坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

7.【答案】C 

【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
A、，
此函数的图象位于二、四象限，故本选项错误；
B、，
点、不在此函数的图象上，故本选项错误；
C、，
在每一象限内y随x的增大而增大，
当时，y随x的增大而增大，故本选项正确；
D、当时，即，
解得或，故本选项错误；
故选：
先根据点、是反比例函数图象上一点求出k的值，求出函数的解析式，由此函数的特点对四个选项进行逐一分析．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，根据题意求出反比例函数的解析式是解答此题的关键．
 

8.【答案】A 

【解析】解：如图，，，
∽，

，，即，
，
，
，
，
，
，
，
故选：
先根据，证明∽，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出与的比，其中，列方程求出的值即可．
此题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”证明∽，并且根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”列方程，求出的面积．
 

9.【答案】B 

【解析】解：连接OC，
，，
，
，
≌，
，，
阴影部分的面积，
，，
，
阴影部分的面积，
故选：
连接OC，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到阴影部分的面积，根据三角形的内角和定理得到，由扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

10.【答案】D 

【解析】解：由图象可知，抛物线的开口向下，
，
图象与y轴的交点在x轴的上方，
，
图象的对称轴在y轴的左侧，
，
，
，
选项不合题意，
由图象可知，当时，，
选项不合题意，
当时，，
选项不合题意，
，
，
选项符合题意，
故选：
根据图象可判断a，b，c的符号，根据时和时的函数值可判断和的符号，即可得出答案．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要能根据图象得出各个系数的符号和各系数之间的关系．
 

11.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故答案为：
根据特殊角的三角函数值先求出的度数，然后再利用三角形的内角和定理进行计算即可．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
 

12.【答案】4 

【解析】解：设长臂端点升高x米，
则，

经检验是分式方程的解．
故答案为：
栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应边成比例解题．
此题是相似三角形在实际生活中的运用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形，比较简单．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据题意得：

所有可能的结果有6种，其中学生B坐在2号座位的情况有2种，
则
故答案为：
根据题意画出树状图，找出所有可能的情况数，找出学生B坐在2号座位的情况数，即可求出所求的概率．
此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

14.【答案】或 

【解析】解：①当正三角形AEF在正方形ABCD的内部时，如图1，

正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
当时，
，
≌，
，
，
，
；
②当正三角形AEF在正方形ABCD的外部时．

正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，
当时，
，，，
≌，
，
，
，

故答案为：或
利用正方形的性质和等边三角形的性质证明≌，即可得解.应该注意的是，正三角形AEF可以再正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分别求解．
本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定和全等三角形的性质和分类讨论的数学思想，题目的综合性不小．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接OD，

与AC相切于点D，
，
在中，，，
，
设的半径为r，则，
则，
在中，，
，
解得，
故答案为：
由切线的性质得出，求出，设的半径为r，得出，利用求得r的值．
本题考查了切线的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

16.【答案】解：原式

；

，
，
，
或，
， 

【解析】原式利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，绝对值的意义计算即可得到结果．
因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力和实数的混合运算，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

17.【答案】解：反比例函数的图象过，
，
反比例函数的解析式为，
把点代入得，，
，
把，代入得，解得，
一次函数的解析式为；
作轴于M，则，
，
 

【解析】把A的坐标代入即可求得反比例函数的解析式，进而即可求得B的坐标，然后根据待定系数法即可求得一次函数的解析式；
利用三角形的面积以及梯形的面积即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，三角形的面积，正确求出函数的解析式是解题的关键．
 

18.【答案】解：由题知，四边形BCDF是矩形，
，，
，
，，
，
，
答：空调机的底部位置距离床的高度CD长约为 

【解析】根据题意求出EF，再利用三角函数求出AF，根据求出CD即可．
本题主要考查解直角三角形的知识，熟练运用三角函数的知识是解题的关键．
 

19.【答案】 

【解析】解：依题意得：另一个正方形的边长为
故答案为：
依题意得：，
整理得：，
解得：，
当时，；
当时，
又，，
小军应该将铁丝剪成8cm和32cm的两段．
小华的说法正确，理由如下：
依题意得：，
，
当时，y取得最小值，最小值为50，
即这两个正方形的面积之和的最小值为，
小华的说法正确．
利用另一个正方形的边长铁丝的长度-正方形的周长，即可用含x的代数式表示出另一个正方形的边长；
由这两个正方形的面积之和等于，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，进而可得出的长，再利用正方形的周长计算公式，即可求出剪成两段铁丝的长度；
小华的说法正确，利用正方形的面积计算公式，即可找出y关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可得出这两个正方形的面积之和的最小值为
本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及二次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出另一个正方形的边长；找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式．
 

20.【答案】解：画树状图如下：

共有16种等可能的结果，弟弟和哥哥两人抽到同一景点的结果有4种，
两人抽到同一景点的概率为；
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，弟弟和哥哥两人抽到动物园和森林公园的结果有2种，
两人抽到动物园和森林公园的概率为 

【解析】画树状图，共有16种等可能的结果，两人抽到同一景点的结果有4种，再由概率公式求解即可；
画树状图，共有12种等可能的结果，两人抽到动物园和森林公园的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】 

【解析】证明：如图2中，

，
，
，，
，
，
≌，
，，
，，
≌，
，
；

解：如图3中，

是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
由的结论得，，
的周长是
故答案为：
证明≌，推出，，再证明≌，推出，可得结论；
证明是等腰直角三角形，求出，利用中结论，可得结论．
本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】证明：由旋转得，，
，
，
，
，
，
；
解：，
理由如下：由旋转得，，
，
，
，
，
，
，
由旋转得，，
，
是等边三角形，
，
在和中，

≌
 

【解析】由旋转的性质得到，根据垂直的定义得到，求得，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，推出是等边三角形，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了几何变换综合题，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，灵活运用旋转的性质是本题的关键．
 

23.【答案】解：令，则，
，
令，则，
或，
，，
，
对称轴为直线，顶点；
设直线BC的解析式为，
，
，
，
，
，
，四边形DEFP为平行四边形，
，
设，则，
，
，
舍或，
；
由题可知，
设直线AC的解析式为，
，
，
，
①如图1，当，时，
，
点横坐标为，
，
，
轴，
，
，
；
②当，时，
，
，
，
轴，
，
，
；
③如图3，当，时，
过点M作轴交于H点，过点N作轴交于点G，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
轴，
点纵坐标为，
，
，
，
，
；
综上所述：t的值为或或 

【解析】令则可求A、B点坐标，再由，即可求D点坐标；
先求直线BC的解析式为，则，可求，则，设，则，，即可求；
求出直线AC的解析式为，分三种情况讨论：①当，时，，，将N点代入解析式即可求t；②当，时，，，将M点代入解析式即可求t③当，时，过点M作轴交于H点，过点N作轴交于点G，由，可得，，则，，将N点代入解析式即可求
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，分类讨论，数形结合是解题的关键．