2022-2023学年辽宁省沈阳市新民市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省沈阳市新民市九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    一元二次方程根的判别式的值是(    )

A.  B.  C.  D.

2.    同时投掷三枚质地均匀的硬币，至少两枚硬币正面朝上的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    正方形、矩形、菱形都具有的特征是(    )

A. 对角线互相平分 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分一组对角

4.    关于的一元二次方程，则的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    关于平行四边形的叙述，正确的是(    )

A. 若，则平行四边形是菱形
B. 若，则平行四边形是正方形
C. 若，则平行四边形是矩形
D. 若，则平行四边形是正方形

6.    用公式法解一元二次方程时，首先要确定，，的值，下列叙述中，正确的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

7.    如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的处．若，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.    在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的概率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    若，是两个实数，定义一种运算“”，，则方程的实数根是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10. 如图，是矩形的一条对角线，点，分别是，的中点．若，，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 掷一枚均匀的硬币，前五次抛掷结果都是正面朝上，那么第六次抛掷的结果为正面朝上的概率为______．
12. 如图，在中，，为边上的中线，若，则的度数为______用含的代数式表示

13. 若某两位数的十位数字是方程的根，则它的十位数字是______．
14. 如图所示，菱形的对角线、相交于点若，，，垂足为，则的长为______．
     

15. 已知，则的值是______．
16. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，使点与点重合，则折痕的长为______．
     

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解方程：
    ；
    ．
18. 本小题分
    已知是关于的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边．求的值及的周长．
19. 本小题分
    如图，在矩形中，是上一点，，．
    求证：四边形是正方形．

20. 本小题分
    某超市为了答谢顾客，凡在本超市购物的顾客，均可凭购物小票参与抽奖活动，奖品是三种瓶装饮料，它们分别是：绿茶、红茶和可乐，抽奖规则如下：一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”当转动转盘，转盘停止后，可获得指针所指区域的字样，我们称这次转动为一次“有效随机转动”；假设顾客转动转盘，转盘停止后，指针指向两区域的边界，顾客可以再转动转盘，直到转动为一次“有效随机转动”；当顾客完成一次抽奖活动后，记下两次指针所指区域的两个字，只要这两个字和奖品名称的两个字相同与字的顺序无关，便可获得相应奖品一瓶：不相同时，不能获得任何奖品．
    根据以上规则，回答下列问题：
    求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率；
    有一名顾客凭本超市的购物小票，参与了一次抽奖活动，请你用列表或树状图等方法，求该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率．
21. 本小题分
    某农场去年种植了亩地的南瓜，亩产量为，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜．已知南瓜种植面积的增长率是亩产量增长率的倍，今年南瓜的总产量为，求南瓜亩产量的增长率．
22. 本小题分
    如图，在四边形中，，，分别是，的中点．
    求证：；
    若，，求的度数．

23. 本小题分
    如图，中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，问：
    经过几秒，的面积等于？
    的面积会等于的面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由．

24. 本小题分
    某校数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形中，，将三角尺放在正方形上，使三角尺的直角顶点与重合三角尺的一边交于点，另一边交的延长线于点．
    兴趣小组发现，请你证明这个结论；
    如图，小明在图的基础上作的平分线交于点，连接，他发现和存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明；
    在的条件下，若，求的长．
     
25. 本小题分
    如图，在正方形中，点在上，连接，过点，分别作的垂线，垂足分别为，，点是正方形对角线交点，连接，；
    求证：；
    请判定的形状，并证明．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，，
．
故选：．
根据方程的系数，结合根的判别式，即可求出的值．
本题考查了根的判别式，牢记“根的判别式”是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：画树状图如下：

由图知，共有种等可能结果，其中至少两枚硬币正面朝上的有种结果，
所以至少两枚硬币正面朝上的概率为，
故选：．
画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查列表法或树状图法求概率，解题的关键是根据题意画树状图或列表得出所有等可能结果数．
 

3.【答案】 

【解析】解：、三者均具有此性质，故正确；
B、菱形不具有此性质，故不正确；
C、矩形不具有此性质，故不正确；
D、矩形不具有此性质，故不正确；
故选：．
根据正方形的性质，菱形的性质及矩形的性质进行分析，从而得到答案．
主要考查正方形、矩形、菱形的性质．
 

4.【答案】 

【解析】解：是关于的一元二次方程，
，
即，
故选：．
由一元二次方程的定义，可知，再解即可得出答案．
本题考查一元二次方程的定义，二次项系数不为解题时须注意，此为易错点．
 

5.【答案】 

【解析】解：错误．若，则平行四边形是矩形；
B.错误．若，则平行四边形是菱形；
C.正确．
D.错误．若，则平行四边形是菱形；
故选C．
根据菱形、矩形、正方形的判定方法即可判断；
本题考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
移项，得，
这里，，，
故选：．
先根据等式的性质进行变形，再得出、、的值即可．
本题考查了解一元二次方程和一元二次方程的一般形式，能正确化成一元二次方程的一般形式是解此题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，，
，
由折叠的性质可得，
．
故选：．
根据直角三角形的性质可求，根据折叠的性质可求，再根据直角三角形的性质可求．
本题考查翻折变换、三角形内角和定理以及角平分线的性质，解题关键是结合图形以及折叠的性质、角平分线的性质进行角的转化和计算．
 

8.【答案】 

【解析】解：袋子中黄球的个数最有可能是：个，
故选：．
根据摸出红球的频率稳定在左右知摸出黄球的概率约为，再乘以球的总个数，从而得出答案．
此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
方程整理为，
，
或，
所以，．
故选：．
先根据新定义得到，再把方程整理为一般式，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．
 

10.【答案】 

【解析】解：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，，，
，
又是的中点，
中，，
，
故选：．
先根据三角形中位线定理得到的长，再根据直角三角形斜边上中线的性质，即可得到的长，进而得出计算结果．
本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线定理的运用，解题时注意：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

11.【答案】 

【解析】解：掷一枚均匀的硬币，前五次抛掷结果都是正面朝上，那么第六次抛掷的结果为正面朝上的概率为，
故答案为：．
根据概率的意义，概率公式，即可解答．
本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，为边上的中线，
，
，
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等腰三角形的性质解答即可．
本题考查的是直角三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
，，
它的十位数字是，
故答案为：．
利用因式分解法求解可得．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于中考常考题型．
利用菱形的面积公式：，即可解决问题；
【解答】
解：四边形是菱形，
，，，
由勾股定理得：，
，
，
故答案为．  

15.【答案】或 

【解析】解：，
，
则或，
解得或，
当时，；
当时，；
综上，的值是或；
故答案为：或．
由知，据此得或，即或，再分别代入即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程因式分解法，解题的关键是根据已知等式利用因式分解得方程得出或．
 

16.【答案】 

【解析】解：设，则，
沿翻折后点与点重合，
，
在中，，
即，
解得，
，
由翻折的性质得，，
矩形的对边，
，
，
，
过点作于，则四边形是矩形，
，
，
，
在中，．
故答案为：．
设，表示出，根据翻折的性质可得，然后在中，利用勾股定理列出方程求出，再根据翻折的性质可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，根据等角对等边可得，过点作于，可得四边形是矩形，根据矩形的性质求出、，然后求出，再利用勾股定理列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出的长度是解题的关键，也是本题的突破口．
 

17.【答案】解：，
，
，
解得，；
，
，，，
，
，
解得，． 

【解析】方程利用直接开平方法求解即可；
方程利用公式法求解即可．
本题考查了一元二次方程，掌握求根公式是解答本题的关键．
 

18.【答案】解：把代入方程得，
解得；
方程为，解得，，
，
等腰三角形的腰长为，底边长为，
的周长为． 

【解析】把代入方程得，然后解关于的方程即可求得的值，从而得到方程，解方程得，，根据三角形三边的关系得到等腰三角形的腰长为，底边长为，然后计算的周长．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了三角形三边的关系．
 

19.【答案】方法一：
证明：连接交于点，如图，
在与中，
，
≌，
，
为等腰三角形，
四边形是矩形，
，
，
即，
和互相垂直平分，
四边形为菱形，
而，
四边形是正方形．
方法二：
在和中，
，
≌，
，
四边形是矩形，
四边形是正方形． 

【解析】方法一：连接交于点，根据证明≌，根据全等三角形的性质可得，根据矩形的性质得，由，则可判断为等腰三角形，所以，然后根据对角线互相垂直的矩形为正方形得到结论．
方法二：易证≌，由此可得，再根据邻边相等的矩形是正方形即可得证．
本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．
 

20.【答案】解：转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；
一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率为：；

画树状图得：

共有种等可能的结果，该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的有种情况，
该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的概率为：． 

【解析】由转盘被等分成五个扇形区域，每个区域上分别写有“可”、“绿”、“乐”、“茶”、“红”字样；直接利用概率公式求解即可求得答案；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与该顾客经过两次“有效随机转动”后，获得一瓶可乐的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查了列表法或树状图法求概率．注意此题是放回实验；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

21.【答案】解：设南瓜亩产量的增长率为，则南瓜种植面积的增长率为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去．
答：南瓜亩产量的增长率为． 

【解析】设南瓜亩产量的增长率为，则南瓜种植面积的增长率为，利用今年南瓜的总产量今年南瓜的亩产量种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，是的中点，
，，
，
又是的中点，
；
，是的中点，
，，．
，，
． 

【解析】根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的三线合一证明即可；
根据直角三角形的性质得到，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
 

23.【答案】解：设经过秒的面积等于，由题意，得
，
解得：，
答：当运动秒或秒时，的面积等于；
设经过秒的面积等于的面积的一半，由题意，得
，
，
，
，
方程无实根，因此的面积不会等于的面积的一半． 

【解析】设经过秒的面积等于，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；
设经过秒的面积等于的面积的一半，根据三角形之间的面积关系建立方程求出其解即可．
本题考查了三角形的面积公式的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答时建立一元二次方程是关键．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
；

解；结论：，理由如下：
由得：≌，
，
平分，
，
在和中，
，
≌，
；

解：由得：，由得：，
，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为． 

【解析】由正方形的性质得出，，证出，由证明≌，得出对应边相等即可；
由全等三角形的性质得出，证出，由证明≌，得出对应边相等即可；
由和得出，，求出，，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
 

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
≌，
；
是等腰直角三角形，
理由如下：如图，连接，

点是正方形的中心，
，，，
，
，
，
又，，
≌，
，，
，
，
，
是等腰直角三角形． 

【解析】由“”可证≌，可得；
连接，由“”可证≌，可得，，由余角的性质可得，可得结论．
此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，根据证明≌是本题的关键．