2021-2022学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级（上）期末数学试卷（含答案解析）

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2021-2022学年辽宁省沈阳市沈北新区九年级（上）期末数学试卷     二次函数的顶点是(    )A.  B.  C.  D.     点在反比例函数的图象上，则下列各点在该函数图象上的是(    )A.  B.  C.  D.     在中，，，，则(    )A.  B.  C.  D.     菱形ABCD的周长是8cm，，那么这个菱形的对角线BD的长是(    )A.  B.  C. 1cm D. 2cm    如图，，若，，则DF的长为(    )A. 2
B. 4
C. 6
D. 8    将分别标有“中”“国”“加”“油”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率是(    )A.  B.  C.  D.     如图，在中，点D，E分别是边AB，AC的中点，，垂足为点F，，，则BF的长为(    )
 A. 4 B. 8 C.  D.     如图，在平面直角坐标系中，与位似，点O是它们的位似中心，已知，，则与的面积之比为(    )A. 1：1
B. 2：1
C. 3：1
D. 4：1    下列各组中两个图形不一定相似的是(    )A. 有一个角是的两个等腰三角形 B. 两个等腰直角三角形
C. 有一个角是的两个等腰三角形 D. 两个等边三角形已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中错误是(    )A.
B.
C.
D. 如图，已知菱形ABCD的边长为2，，若，垂足为点E，则DE的长为______.
 如图，中，，，，则的面积是______ .
 如图，直线与双曲线交于点A，过点A作轴，垂足为点P，连接若B的坐标为，则______.
 在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度米与水平距离米之间的关系为，由此可知该生此次实心球训练的成绩为______米．如图，是一块锐角三角形的材料，边，高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是______
 如图，在矩形ABCD中，，，点P是对角线AC上一点，若点P、A、B组成一个等腰三角形时，的面积为______.
 解方程．

计算：在一个不透明的口袋中装有4个依次写有数字1，2，3，4的小球，它们除数字外都相同，每次摸球前都将小球摇匀.
从中随机摸出一个小球，上面的数字不小于2的概率为______ .
从中随机摸出一球不放回，再随机摸出一球，请用列表或画树状图的方法，求两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的概率.如图某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东方向，船航行了10海里后到达点这时测得小岛O在北偏东方向，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．结果保留根号
2019年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2021年该县计划投入“扶贫工程”144万元．
求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
若2022年保持从2019年到2021年的年平均增长率不变，求2022年该县将投入“扶贫工程”多少万元？如图，边长为4的正方形ABCD，点E在AD边上，点F在CD边上，且，
求BE的长；
请判断的形状，并说明理由．
如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，点B在点A的右侧，反比例函数在第一象限内的图象与直线交于点D，且反比例函数交BC于点E，
求D点的坐标及反比例函数的关系式；
若矩形的面积是24，求出的面积．
直接写出当时，的取值范围______.
如图，点E是平行四边形ABCD对角线AC上一点，点F在BE延长线上，且，EF与CD交于点
求证：；
连接DE、CF，若，若G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形；
在的条件下，若四边形CFDE是正方形，且，求AB的长．
如图，已知点P在矩形ABCD外，，，点E，F分别在AD，BC上运动，且，连接
求证：∽
当，时，
①求AB的长；
②直接写出EF的长；
直接写出线段AE、BF、EF之间的数量关系．
如图，抛物线交x轴于点和点，交y轴于点
求该抛物线的解析式；
点D的坐标为，点P为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形ADCP面积的最大值；
抛物线对称轴上是否存在点M，使是以AB为斜边的直角三角形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，并说明理由；
在对称轴上是否存在点N，使为直角三角形，若存在，直接写出N点坐标，若不存在，说明理由．

答案和解析 1.【答案】C 【解析】解：二次函数，
该函数图象的顶点坐标为，
故选：
根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
 2.【答案】A 【解析】解：点在反比例函数的图象上，
，
A、，此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意；
B、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；
C、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意；
D、，此点不在反比例函数的图象上，故本选项不合题意．
故选：
先根据点在反比例函数的图象上，求出k的值，再对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 3.【答案】B 【解析】解：
由勾股定理得：，
所以，，，，
即只有选项B正确，选项A、选项C、选项D都错误；
故选：
根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义求出，，和即可．
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．
 4.【答案】B 【解析】解：菱形ABCD的周长为8cm，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
在中，由勾股定理得，

故选
由菱形的性质得，，，，再证是等边三角形，得，则，然后由勾股定理求出，即可求解．
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用．
 5.【答案】C 【解析】解：，
，
，，
，
解得：，
故选：
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
 6.【答案】B 【解析】解：画树状图如下：

共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的结果有2种，
两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的概率为，
故选：
画树状图，共有12种等可能的结果，两次摸出的球上的汉字能组成“加油”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
 7.【答案】D 【解析】【分析】
本题考查三角形中位线性质、含30度角的直角三角形性质、直角三角形斜边中线性质、勾股定理等知识．
先利用直角三角形斜边中线性质求出AB，再在中，利用30角所对的直角边等于斜边的一半，求出AF即可解决问题．
【解答】
解：在中，，，，
，
，，
，
，
，

故选：  8.【答案】D 【解析】解：与位似，点O是它们的位似中心，，，
与的位似比为：6：：1，
则与的面积之比为：：：
故选：
直接利用位似图形的性质结合对应点坐标得出位似比，进而得出面积比．
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
 9.【答案】C 【解析】解：A、有一个角是的两个等腰的三组角分别对应相等，所以这两个三角形相似，不符合题意；
B、两个等腰直角的三组角分别对应相等，所以两个等腰直角三角形相似，不符合题意；
C、各有一个角是的两个等腰三角形，若一个等腰三角形的底角是，而另一个等腰三角形的顶角是，则两个三角形一定不相似，符合题意；
D、两个等边三角形的各内角都为，所以两等边三角形相似，不符合题意；
故选：
根据相似三角形的判定及各图形的性质对各个选项进行分析，从而得到答案．
本题考查了相似图形的判断，严格按照定义，对应边成比例，对应角相等进行判断即可，另外，熟悉等腰三角形，等腰直角三角形，等边三角形的性质对解题也很关键．
 10.【答案】C 【解析】解：由图象可知，当时，，故A项正确，不符合题意；
抛物线开口向下，，与y轴的交点为，
，，，
，，故B、D项正确，不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在原点和点之间，
另一个交点在与之间，
当时，，故C项错误，符合题意，
故选：
根据二次函数图象判断出a，b，c的正负关系，对称轴，顶点坐标等，再进行判断即可．
本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
在中，，，
，
则
故答案为：
由已知的，根据垂直的定义得到，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据锐角三角函数的定义得到，将的度数以及AD的值代入，利用特殊角的三角函数值，化简即可求出
此题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，以及锐角三角函数，锐角三角函数很好的建立了三角形的边角关系，要求学生找出已知与未知的联系，选择合适的三角函数来解决问题．
 12.【答案】 【解析】解：过点A作，
中，，，，
，
，
，
，
，
，
则的面积是：
故答案为：
根据已知作出三角形的高线AD，进而得出AD，BD，CD，的长，即可得出三角形的面积．
此题主要考查了解直角三角形的知识，作出，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．
 13.【答案】3 【解析】解：的坐标为，
，
过点A作轴，垂足为点P，
，
，
故答案为
根据反比例函数的中心对称性，由B的坐标，即可求得，然后根据三角形面积公式即可求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数和正比例函数的中心对称性，三角形的面积，求得A的坐标是解题的关键．
 14.【答案】10 【解析】【分析】
本题考查了二次函数的应用即函数式中的自变量与函数表达式的实际意义的有关知识.
根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求x的值即可.
【解答】
解：当时，，
解得，舍去或
故答案为  15.【答案】48 【解析】【分析】
利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出边长．
此题主要考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的对应高的比等于相似比是解决问题的关键．
【解答】
解：正方形PQMN的QM边在BC上，
，
∽，

设，
，
，
解得：，
这个正方形零件的边长是
故答案为：  16.【答案】或或3 【解析】解：四边形ABCD是矩形，
，
由勾股定理得：，
有三种情况：
①当时，如图1，过B作于M，
，
，
解得：，

，，
，
，
的面积；
②当时，如图2，

，
的面积

；
③作AB的垂直平分线NQ，交AB于N，交AC于P，如图3，则，，

四边形ABCD是矩形，，
，
，
，
，
的面积

；
即的面积为或或3，
故答案为：或或
过B作于M，根据矩形的性质得出，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出高BM，分为三种情况：①，②，③，分别画出图形，再求出面积即可．
本题考查了矩形的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识点，能化成符合的所有情况是解此题的关键．
 17.【答案】解：，
，
，，，
，

，；
原式

 【解析】利用公式法求解可得；
将特殊锐角的三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减可得．
此题主要考查了公式法解方程以及特殊角的三角函数值，正确应用解方程的方法是解题关键．
 18.【答案】 
根据题意列表得： 12341---2---3---4---所有等可能的数有12种，两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况有8种，
则两次摸出小球上的数字和恰好是奇数 【解析】解：从中随机摸出一个小球，小球上写的数字所有等可能情况有：1，2，3，4，共4种，
其中数字不小于2的情况有：2，3，4，共3种，
则小球上写的数字不小于；
故答案为：；
列表确定出所有等可能的情况数，找出小球上写的数字不小于2的情况数，即可求出所求概率；
列表确定出所有等可能的情况数，找出两次摸出小球上的数字和恰好是奇数的情况数，即可求出所求概率．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
 19.【答案】解：设海里，
依题意得海里，海里，
，即，
，
答：船与小岛的距离是海里． 【解析】设海里，依题意得海里，海里，再根据海里，即可得到关于x的一元一次方程，求出x的值即可．
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，根据题意得出关于x的一元一次方程是解答此题的关键．
 20.【答案】解：设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，
依题意得，
解得，不合题意，舍去，
答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为；
万元，
答：预计2022年该县将投入“扶贫工程”万元． 【解析】设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x，利用2021年该县计划投入“扶贫工程”的资金年该县投入“扶贫工程”的资金增长率，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出该县投入“扶贫工程”的年平均增长率；
利用2022年该县将投入“扶贫工程”的资金年该县投入“扶贫工程”的资金增长率，即可求出2022年该县将投入“扶贫工程”的资金．
本题考查一元二次方程的应用．
 21.【答案】解：四边形ABCD是正方形，
，，
；
是直角三角形，理由如下：
，，
，，
，，
，
，即是直角三角形． 【解析】由勾股定理可求BE的长；
利用勾股定理可求EF，BF的长，由勾股定理的逆定理可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理求线段的长是解题的关键．
 22.【答案】 【解析】解：根据题意得：点D的纵坐标为3，
把代入得：，
解得：，
即点D的坐标为：，
把点代入得：，
解得：，
即反比例函数的关系式为：，
设线段AB，线段CD的长度为m，
根据题意得：，
解得：，
即点B，点C的横坐标为：，
把代入得：，
点E的坐标为：，
，
；
观察图象，当时，的取值范围是，
故答案为
根据，得到点D的纵坐标为3，代入，解之，求得点D的坐标，再代入，得到k的值，即可得到反比例函数的关系式；
根据“矩形的面积是24”，结合，求得线段AB，线段CD的长度，得到点B，点C的横坐标，代入反比例函数的解析式，得到点E的坐标，根据“”，代入求值即可得到答案；
根据图象，结合D的坐标即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键：正确掌握代入法和待定系数法，正确掌握矩形和三角形的面积公式，数形结合．
 23.【答案】证明：连接BD，交AC于点O，如图所示：

四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
即；
证明：如图所示：

由得：，
，，
是CD的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形CFDE是平行四边形，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
又，
，
平行四边形CFDE是矩形；
解：设，则，，
四边形ABCD是平行四边形，
，，
四边形CFDE是正方形，
，，，
，是等腰直角三角形，
，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
 【解析】连接BD，交AC于点O，证出OE是的中位线，得即可；
先证≌，得，则四边形CFDE是平行四边形，再证，即可得出结论；
设，则，，证是等腰直角三角形，得，再证是等腰直角三角形，得，然后在中，由勾股定理得出方程，解得，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
 24.【答案】证明：四边形ABCD是矩形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
∽；
解：①，，
是等腰直角三角形，
，
∽，
，
，
是等腰直角三角形，
；
②作于H，

，
，
在中，由勾股定理得，
；
解：，理由如下：
如图，延长AB到G，使，连接PG，FG，

，
，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
，
由勾股定理得：
，
即 【解析】利用，，从而得出，即可证明结论；
①由是等腰直角三角形，得，由知∽，从而，求出BP的长，即可得出答案；
②作于H，利用相似三角形的性质得，则，再运用勾股定理求出EF即可；
延长AB到G，使，连接PG，FG，利用SAS证明≌，得，，再证明≌，得，从而证明结论．
本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 25.【答案】解：把点点代入得：，
解得：；
故抛物线的表达式为：；
连接OP，如图：

设点，
；
，





，
，
当时，S有最大值，，S的最大值为；
存在，
抛物线对称轴为直线，
设M点坐标为，
则，，且，
当为以AB为斜边的直角三角形时，可得，
，解得或，
即M点坐标为或，
综上可知存在满足条件的M点，其坐标为或；
存在，
设，则，，，
①当BN为斜边时，
，即，
解得，
；
②当CN为斜边时，
，即，
解得，
；
③当BC为斜边时，
，即，
方程无解，
综上所述，N的坐标为或 【解析】把A、B坐标，代入抛物线解析式可求得a、b的值；
连接OP，设出点P的坐标，根据表达S，利用二次函数的最值问题表达求出S的最大值；
可设M点坐标为，可分别表示出AB、AM、BM的长，由勾股定理可得到关于m的方程，可求得M点坐标；
分三种情况，用勾股定理列方程即可得到答案．
本题主要考查二次函数的应用，涉及待定系数法、轴对称的性质、勾股定理等知识点．在中求得A、B两点的坐标是解题的关键，在中设出M点坐标，利用勾股定理得到方程是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度适中．