高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）精品导学案及答案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）精品导学案及答案，共14页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，课堂小结，参考答案等内容，欢迎下载使用。
5.6　函数y＝Asin(ωx＋φ)【学习目标】课程标准学科素养1.理解参数A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响；能够将y＝sin x的图象进行变换得到y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象．2.能根据y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象，确定其解析式．3.会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象．4.会根据三角函数的图象与性质讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质． 1.直观想象2.逻辑推理3.数学运算【自主学习】一．参数A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响1.φ对函数y＝sin(x＋φ)，x∈R的图象的影响 2.ω(ω>0且ω≠1)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响3.A(A>0且A≠1)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响解读：A，ω，φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与A是正比例关系．(2)ω越大，函数图象的周期越小，ω越小，周期越大，周期与ω为反比例关系．(3)φ大于0时，函数图象向左平移，φ小于0时，函数图象向右平移，即“左加右减”．二．用五点法画y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－－＋－ωx＋φ0π2πy＝Asin(ωx＋φ)     三．y＝Asin(ωx＋φ) (A＞0，ω＞0)的性质1.定义域与值域：定义域为R，值域为           ．2.周期性：最小正周期T＝    .3.对称性：对称中心为              (k∈Z)，对称轴是              (k∈Z)．4.单调性：单调递增区间为                        (k∈Z)，单调递减区间为                       (k∈Z)．【小试牛刀】1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A的绝对值.(　　)(2)y＝sin 3x的图象向左平移个单位所得图象的解析式是y＝sin.(　　)(3)y＝sin x的图象上所有点的横坐标都变为原来的2倍所得图象解析式是y＝sin 2x.(　　)(4)在y＝Asin (ωx＋φ)的图象中，相邻的两条对称轴之间的距离为1个周期．(　　)2.函数f(x)＝sin的图象的一条对称轴是(　　)A．x＝　　　　B．x＝       C．x＝－      D．x＝－3.函数y＝sin＋1的对称中心为________．【经典例题】题型一  三角函数图象的变换点拨： 一般地,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)的图象可以由y=sin x的图象经过平移变换和伸缩变换得到.在图象变换中要注意变换的次序:可以先平移后伸缩,也可先伸缩后平移。两种变换次序中,平移的量是不同的：先平移后伸缩，平移|φ|个单位；先伸缩后平移，平移个单位。例1 (1)将函数y＝cos的图象向左平移个单位长度，再向下平移3个单位长度，则所得图象的解析式为        ．(2)将y＝sin x的图象怎样变换可得到函数y＝3sin(2x－)＋1的图象？     【跟踪训练】1 (1)要得到y＝cos的图象，只要将y＝sin 2x的图象(　　)A．向左平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位   D．向右平移个单位(2)把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<π)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)所得图象的函数解析式为y＝sinx，则(　　)A．ω＝2，φ＝   B．ω＝2，φ＝－   C．ω＝，φ＝   D．ω＝，φ＝－题型二  由图象求函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式点拨：给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法1.逐一定参法： (1)A：一般可由图象上的最高点、最低点的纵坐标来确定|A|.(2)ω：因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω.图象上相邻的两个对称中心间的距离为，相邻的两条对称轴之间的距离为，相邻的对称轴与对称中心之间距离为.(3)φ：从“五点法”中的第一个点(－，0)(也叫初始点)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置．2.待定系数法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．3.图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asinωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．例2 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．【跟踪训练】2如图是函数f(x)＝Asin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象，则下列说法正确的是(　　)A．ω＝2，φ＝      B．ω＝1，φ＝C．ω＝2，φ＝       D．ω＝2，φ＝题型三  三角函数图象与性质的综合应用例3-1　作出函数y＝2sin ()的一个周期内的简图．    例3-2 已知函数f(x)＝sin(ω＞0)，若f＝f，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝(　　)A.　　　　B．        C.　　   D．【跟踪训练】3 已知函数在一个周期内的图象如图所示.(1)求函数的最小正周期T及的解析式；(2)求函数的对称轴方程及单调递增区间；(3)将的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，若在上有两个解，求a的取值范围.     【当堂达标】1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A>0，ω>0)的最大值为5，则A＝(　　)A．5             B．－5             C．4             D．－42.把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，则所得函数的解析式为(　　)A．y＝sin(3x＋)　　B．y＝sin(6x＋)     C．y＝sin(x＋)    D．y＝sin(x＋)3.如图所示为函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，则函数的一个解析式为(　　)A．y＝2sin  B．y＝2sin     C．y＝2sin   D．y＝2sin4.(多选)将函数f(x)＝sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，则(　　)A．f(x)与g(x)的最小正周期都是π    B．g(x)的图象关于点(－，0)对称．C．f(x)的图象关于直线x＝对称     D．g(x)在区间[－]上单调递增5.在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________.6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈时，求f(x)的取值范围．7.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图象与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图象上一个最低点为M，求f(x)的解析式．     【课堂小结】1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T.(3)从寻找“五点法”中的第一零点(也叫初始点)作为突破口．以y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值；在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值.【参考答案】【自主学习】0    A   0  －A   0 [－A，A]      x＝＋  【小试牛刀】1.(1)×　 (2)√　 (3)×　(4)×　 (5)×2.C3.，k∈Z【经典例题】例1 (1)y＝－cos 2x－3  解析：y＝cos的图象向左平移个单位长度，得y＝cos＝cos(2x＋π)＝－cos 2x，再向下平移3个单位长度得y＝－cos 2x－3的图象．(2)解法一 ：先平移后伸缩：y＝sinxy＝sin(x－)y＝sin(2x－)y＝3sin(2x－)y＝3sin(2x－)＋1.解法二先伸缩后平移：y＝sinxy＝sin2xy＝sin2(x－)y＝3sin2(x－)＝3sin(2x－)y＝3sin(2x－)＋1.【跟踪训练】1  (1)A 解析：因为y＝cos＝sin＝sin＝sin 2，所以将y＝sin 2x的图象向左平移个单位，得到y＝cos的图象． (2)B 解析：将函数y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，得解析式为y＝sin2x的图象，再向右平移个单位长度，得解析式为y＝sin2＝sin的图象，所以ω＝2，φ＝－.故选B.例2 解：解法一：逐一定参法由图象知A＝3，T＝－＝π，∴ω＝＝2，∴y＝3sin(2x＋φ)．∵点在函数图象上，且是上升趋势的零点，∴－×2＋φ＝2kπ，得φ＝＋2kπ(k∈Z)．∵|φ|<，∴φ＝，∴y＝3sin.解法二：待定系数法由图象知A＝3.∵图象过点和，且由图象的上升及下降趋势，可得解得∴y＝3sin.解法三：图象变换法由A＝3，T＝π，点在图象上，可知函数图象由y＝3sin2x向左平移个单位长度而得，所以y＝3sin2，即y＝3sin.【跟踪训练】2  A　解析：由图象得A＝2，＝，则T＝π，∴＝π，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin (2x＋φ)，∴f()＝2sin (2×＋φ)＝2，得φ＝－＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜π，∴φ＝.例3-1　解：令t＝＋，列表如下：x－t0π2πy020－20描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图象：例3-2  B 解析：因为f＝f，所以直线x＝＝是函数f(x)图象的一条对称轴，又因为f(x)在区间上有最小值，无最大值，所以当x＝时，f(x)取得最小值．所以ω＋＝2kπ－，k∈Z，解得ω＝8k－，(k∈Z)又因为T＝≥－＝，所以ω≤12，又因为ω＞0，所以k＝1，即ω＝8－＝.【跟踪训练】3  解：(1)由题意A=1，，则，所以，又因为图象过点，所以，而，则，于是.(2)结合图象可知，函数的对称轴为：，令，即函数的增区间为：.(3)的图象向右平移个单位长度得到：，于是，如图所示：因为在上有两个解，所以.【当堂达标】1.C 解析：∵A>0，∴函数最大值A＋1＝5，∴A＝4.2.D 把函数y＝sin(3x－)的图象向左平移个单位长度，可得y＝sin[3(x＋)－]的图象，即函数解析式为y＝sin(3x＋)，再把所得图象上各点的横坐标扩大为原来的2倍，可得y＝sin(x＋)的图象．3.C 解析：由图象知A＝2，＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2，∵图象过，∴2＝2sin，∴sin＝1，∴＋φ＝＋2kπ，k∈Z，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，又∵0<|φ|<，∴φ＝.∴函数解析式y＝2sin.4.ABD 解析：由题知f(x)＝sin2x，g(x)＝sin [2(x＋)]＝sin (2x＋)，f(x)与g(x)的最小正周期均为T＝＝π，故A正确；g(－)＝sin [2×(－)＋]＝sin0＝0，故B正确；f()＝sin (2×)＝sin＝≠±1，所以x＝不是对称轴，故C错误；g(x)的单调递增区间为2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，当k＝0时，递增区间为[－]，故D正确．5. 2 解析：依题意知＝－＝，所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.6. 解：(1)由函数图象得A＝1，＝－＝，所以T＝2π，则ω＝1.将点代入得sin＝1，而－<φ<，所以φ＝，因此函数的解析式为f(x)＝sin.(2)由于－π≤x≤－，－≤x＋≤，所以－1≤sin≤，所以f(x)的取值范围是.7. 解：由最低点M，得A＝2.在x轴上两相邻交点之间的距离为，故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.由点M在图象上得2sin＝－2，即sin＝－1，故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)．又φ∈，∴φ＝.故f(x)＝2sin.