高考第一轮复习第47讲 坐标系与参数方程

                   第四十七讲 坐标系与参数方程 

                         A组

一、选择题

1. 已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线

的距离最大时，k的值为(　　)

1.      B.     C．      D．

[解析]　⊙O的直角坐标方程为，∴圆心，又直线过定点，故当CA与直线垂直时，圆心C到直线距离最大，

2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)

A．直线、直线　　　 　　B．直线、圆

C．圆、圆              D．圆、直线

[解析]　由得，此方程所表示的图形是圆．

消去方程中的参数t可得，此方程所表示的图形是直线．

3.下列参数方程(t为参数)中，与方程表示同一曲线的是(　　)

A  B.C.  D.

[解析]　将代入得，，故A错，将代入中得，，，故B正确，C、D容易判断都是错的．

4.直线(t为参数)被圆(α为参数)截得的弦长为(　　)

A．  B. C．      D．2

[解析]　将直线化为普通方程得将圆化为普通方程得

圆心O到直线的距离所以弦长

二、填空题

5.极坐标方程分别为和的两个圆的圆心距为．

解析     同理：

6.在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值是1 .

解析： 圆可化为，直线化为，圆心到直线的距离，最短距离为

三、解答题

7.⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．

(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；

(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

解： (I)，，由得．所以．

即为⊙O1的直角坐标方程．同理为⊙O2的直角坐标方程

(II)解:由,两式相减得,即过交点的直线的直角坐标方程为．

8.以直角坐标系的原点为极点，轴非负半轴为极轴，在两种坐标系中取相同单位的长度. 已知直线的方程为，曲线的参数方程为，点是曲线上的一动点.

（Ⅰ）求线段的中点的轨迹方程； (Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最小值.

[解析]（Ⅰ）设中点的坐标为，依据中点公式有（为参数），

这是点轨迹的参数方程，消参得点的直角坐标方程为.

（Ⅱ）直线的普通方程为，曲线的普通方程为，

表示以为圆心，以2为半径的圆，故所求最小值为圆心到直线 的距离减去半径，设所求最小距离为d，则.因此曲线上的点到直线的距离的最小值为.

9. 在极坐标系下，已知圆和直线。

(1)求圆和直线的直角坐标方程；

(2)当时，求直线于圆公共点的极坐标。

解：（1）圆，即

圆的直角坐标方程为：，即

直线，即则直线的直角坐标方程为：，即。

（2）由得 故直线与圆公共点的一个极坐标为。

10.在直角坐标系中。直线:，圆：,以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I）    求，的极坐标方程；

（II）若直线的极坐标方程为，设与的交点为, ,求的面积

解：（Ⅰ）因为，所以的极坐标方程为，的极坐标方程为

（Ⅱ）将代入，得，解得，故，即

由于的半径为1，所以的面积为

11.在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t ≠ 0），其中0 ≤ α < π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：，C3：。

（1）求C2与C3交点的直角坐标；

（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求的最大值。

解：（Ⅰ）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.

联立     解得     或

所以与交点的直角坐标为和

（Ⅱ）曲线的极坐标方程为，其中

因此的极坐标为，的极坐标为

所以

当时，取得最大值，最大值为4

12．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.

（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.

【解析】（1）曲线的普通方程为.

当时，直线的普通方程为.

由解得或.

从而与的交点坐标为，.

（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为

.

当时，的最大值为.由题设得，所以；

当时，的最大值为.由题设得，所以.

综上，或.

                         B组

一、选择题

1.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标是(　　)

A．   B．    C．    D．

[解析]　由得：，即，

∴圆心直角坐标为，极坐标为，选B.

2.极坐标方程和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　)

A．圆、直线   B．直线、圆    C． 圆、圆    D．直线、直线

[解析]　将题中两个方程分别化为直角坐标方程为,它们分别表示圆和直线．

3.极坐标方程为表示的图形是(　　)

A．两个圆    B．两条直线   C．一个圆和一条射线  D．一条直线和一条射线

[解析]　由得或者，又，故该方程表示的图形是一个圆和一条射线．

4..曲线与曲线(关于直线l对称，则l的方程为(　　)

A．  B．  C．  D．

[解析]　圆的圆心

圆，的圆心

∵⊙O与⊙C关于直线l对称，∴l为线段OC的中垂线，

∵kOC＝－1，∴kl＝1，

∴l方程为：，即.

二、填空题

5.曲线与直线有两个公共点，

则实数的取值范围是

解析：由参数方程得标准方程为

6.已知两曲线参数方程分别为和，它们的交点坐标为       .

三、解答题

7.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为

（1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

（2）设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标.

[解析]（1）由曲线：  得两式两边平方相加得：即曲线的普通方程为：      由曲线：得：所以 即曲线的直角坐标方程为:

(2) 由（1）知椭圆与直线无公共点，椭圆上的点到直线的距离为      

所以当时，的最小值为，此时点的坐标为

8.、已知曲线的极坐标方程是，设直线的参数方程是（为参数）．

   （Ⅰ）将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程；

   （Ⅱ）设直线与轴的交点是，曲线上一动点，求的最大值.

解：（1）曲线的极坐标方程可化为：

又    .

所以，曲线的直角坐标方程为：

.

   （2）将直线的参数方程化为直角坐标方程得：

    令  得 即点的坐标为

    又曲线为圆，圆的圆心坐标为，半径，

则

    ∴

9. 在平面直角坐标系xOy中，已知M是椭圆上在第一象限的点，

是椭圆两个顶点，求四边形OAMB的面积的最大值．

解：设，．由题知   

∴四边形OAMB面积

所以当时，四边形OAMB的面积的最大值为

10.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是（为参数）；以 为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为．

（Ⅰ）写出直线的普通方程与圆的直角坐标方程；

（Ⅱ）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值.

【解析】: （Ⅰ） ,曲线C:        

（Ⅱ）因为圆极坐标方程，所以，

所以圆的直角坐标方程为，

圆心为,半径为1,

因为直线的参数方程为（为参数），所以直线上的点向圆C 引切线长是

所以直线上的点向圆C引的切线长的最小值是． 

11.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)，为直线与曲线的公共点，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（I）求点的极坐标；

（II）将曲线上所有点的纵坐标伸长为原来的倍(横坐标不变)后得到曲线，过点作直线，若直线被曲线截得的线段长为，求直线的极坐标方程.

解：（I）的普通方程为。将代入上式整理得，解得

故点的坐标为，其极坐标为.               

（II）坐标变换式为故的方程为，即

当直线的斜率存在时,设其方程为，即，

由圆心到直线距离得，，∴直线为，

当直线的斜率不存在时，其方程为，显然成立.

故直线的极坐标方程为或.

                       C组

一、选择题

1.方程表示的曲线是（   ）

A. 双曲线     B.双曲线的上支      C.双曲线的下支    D.圆

解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含的项，即有，又注意到    ，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B

2.下列在曲线上的点是（    ）

A．   B．   C．   D．

解析：  转化为普通方程：，当时，

3.极坐标方程表示的曲线是（   ）

     A. 圆  B. 椭圆  C. 双曲线的一支  D. 抛物线

分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.

解析：由，化为直角坐标系方程为，化简得.显然该方程表示抛物线，故选D.

4.直线被圆截得的弦长为（    ）

A．         B．   C．       D．

解析：  ，把直线代入

得

，弦长为

二、填空题

5.若直线(t为参数)被曲线(θ为参数)所截，则截得的弦的长度是________．

[解析]　直线化为；

圆化为圆心C(1,1)到直线距离半径r＝3，

∴弦长为

6.在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为________．

[答案]　

[解析]　解法一：圆的圆心极坐标(3,0)，

∴直线l方程为

解法二：由得，圆心C(3,0)，

∴过圆心垂直于极轴(即x轴)的直线方程为，其极坐标方程为

三、解答题

7.已知直线的参数方程为：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（Ⅰ）求曲线的参数方程；（Ⅱ）当时，求直线与曲线交点的极坐标.

[解析] （Ⅰ）由，可得

所以曲线的直角坐标方程为，标准方程为，

曲线的极坐标方程化为参数方程为

（Ⅱ）当时，直线的方程为，化成普通方程为，

由，解得或，所以直线与曲线交点的极坐标分别为，；, .

8. 已知在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 

（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.

[解析]（Ⅰ）直线的普通方程为，C直角坐标方程为.（Ⅱ）设点，则，

所以的取值范围是.

9.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）（Ⅰ）将的方程化为普通方程；（Ⅱ）以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 设曲线的极坐标方程是， 求曲线与交点的极坐标.

[解析]（Ⅰ）依题意，的普通方程为，（Ⅱ）由题意，的普通方程为，代入圆的普通方程后得，解得，，点、的直角坐标为，，从而，.    

10. 已知曲线 (t为参数) ， (为参数)

（Ⅰ）化，的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;

（Ⅱ）过曲线的左顶点且倾斜角为的直线交曲绒于A，B两点，求.

[解析] 

解（Ⅰ）曲线为圆心是，半径是1的圆.

曲线为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆.

（Ⅱ）曲线的左顶点为，则直线的参数方程为（为参数）

将其代入曲线整理可得：，设对应参数分别为，

则所以.         

11.在极坐标系中，已知圆C的圆心，半径r=．    （ I）求圆C的极坐标方程；

（Ⅱ）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．

解：（Ⅰ）直角坐标，所以圆的直角坐标方程为

由得，圆C的直角坐标方程为

（Ⅱ）将，代入的直角坐标方程，

得 ，则 ，设Ａ，Ｂ对应参数分别为，，则

，，

因为，所以所以，所以的取值范围为