2021高考数学二轮复习专题八第1讲：坐标系与参数方程（选修4－4）

这是一份2021高考数学二轮复习专题八第1讲：坐标系与参数方程（选修4－4），共17页。试卷主要包含了直角坐标与极坐标的互化公式，几个特殊位置的圆的极坐标方程，几个特殊位置的直线的极坐标方程等内容，欢迎下载使用。

考点一 极坐标方程及应用
1．直角坐标与极坐标的互化公式
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcsθ，,y＝ρsinθ，))
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))
2．几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r.
(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acsθ.
(3)当圆心位于Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(π,2)))，半径为a：ρ＝2asinθ.
3．几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.
(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcsθ＝a.
(3)直线过Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b，\f(π,2)))且平行于极轴：ρsinθ＝b.
[解题指导] (1)eq \x(\a\al(设出P点的极,坐标ρ，θ))→eq \x(\a\al(用ρ，θ表示,|OM|，|OP|))→eq \x(由|OM|·|OP|＝16得极坐标方程)→eq \x(化直角坐标方程)
(2)eq \x(\a\al(设出B点极,坐标ρB，α))→eq \x(用α表示ρB)→eq \x(\a\al(用α表示,△OAB的面积))
→eq \x(确定结果)
[解] (1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq \f(4,csθ).
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程
ρ＝4csθ(ρ>0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．
由题设知|OA|＝2，ρB＝4csα，于是△OAB面积
S＝eq \f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4csα·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))
＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq \r(3).
当α＝－eq \f(π,12)时，S取得最大值2＋eq \r(3).
所以△OAB面积的最大值为2＋eq \r(3).
解决极坐标问题应关注的两点
(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．
(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．
[对点训练]
(2018·福建福州四校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋csα，,y＝2＋sinα))(α为参数)，直线C2的方程为y＝eq \r(3)x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|).
[解] (1)由曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋csα，,y＝2＋sinα))(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcsθ－4ρsinθ＋7＝0，
由于直线C2过原点，且倾斜角为eq \f(π,3)，故其极坐标方程为θ＝eq \f(π,3)(ρ∈R)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－4ρcsθ－4ρsinθ＋7＝0，,θ＝\f(π,3)))得ρ2－(2eq \r(3)＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2eq \r(3)＋2，ρ1ρ2＝7，
∴eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)＝eq \f(|OA|＋|OB|,|OA|·|OB|)＝eq \f(ρ1＋ρ2,ρ1ρ2)＝eq \f(2\r(3)＋2,7).
考点二 参数方程及应用
1．圆的参数方程
以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋rcsα，,y＝b＋rsinα，))其中α是参数．
2．椭圆的参数方程
椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acsφ，,y＝bsinφ，))其中φ是参数．
3．直线的参数方程
(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝x0＋tcsα，,y＝y0＋tsinα，))其中t是参数．
(2)若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中经常用到：
①t0＝eq \f(t1＋t2,2)；
②|PM|＝|t0|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(t1＋t2,2)))；
③|AB|＝|t2－t1|；
④|PA|·|PB|＝|t1·t2|.
角度1：参数方程与普通方程的互化
[解题指导] (1)
(2)eq \x(设出曲线C上点的坐标)→eq \x(表示出点到直线的距离)→eq \x(对参数a进行讨论从而确定a的值)
[解] (1)曲线C的普通方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1.
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋4y－3＝0，,\f(x2,9)＋y2＝1))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(21,25)，,y＝\f(24,25).))
从而C与l的交点坐标为(3,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(21,25)，\f(24,25))).
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点(3csθ，sinθ)到l的距离d＝eq \f(|3csθ＋4sinθ－a－4|,\r(17)).
当a≥－4时，d的最大值为eq \f(a＋9,\r(17)).由题设得eq \f(a＋9,\r(17))＝eq \r(17)，所以a＝8；
当a0，
即20sinαcsα>21cs2α，两边同除以20cs2α，得tanα>eq \f(21,20)，即直线l的斜率的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(21,20)，＋∞)).
2．[角度2](2018·郑州一模)已知直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2csθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程．
(2)设点M的直角坐标为(5，eq \r(3))，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．
[解] (1)∵ρ＝2csθ，∴ρ2＝2ρcsθ，
∴曲线C的直线坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.
(2)将直线l：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5＋\f(\r(3),2)t，,y＝\r(3)＋\f(1,2)t))(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程中，化简得t2＋5eq \r(3)t＋18＝0，且Δ>0.∴t1t2＝18.
∵点M(5，eq \r(3))在直线l上，根据直线参数方程中参数t的几何意义，得|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.
考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用
1．对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标方程，这样思路可能更加清晰．
2．对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷．
[解] (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cst，,y＝3＋\r(2)sint))消去参数t，得(x＋5)2＋(y－3)2＝2，
所以圆C的普通方程为(x＋5)2＋(y－3)2＝2.
由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \r(2)，得ρcsθ－ρsinθ＝－2.
可得直线l的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
(2)直线l与x轴，y轴的交点分别为A(－2,0)，B(0,2)，化为极坐标为A(2，π)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,2)))，
设点P的坐标为(－5＋eq \r(2)cst,3＋eq \r(2)sint)，则点P到直线l的距离为d＝eq \f(|－5＋\r(2)cst－3－\r(2)sint＋2|,\r(2))
＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－6＋2cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(π,4))))),\r(2))，
所以dmin＝eq \f(4,\r(2))＝2eq \r(2)，又|AB|＝2eq \r(2)，
所以△PAB面积的最小值＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)＝4.
解决极坐标与参数方程问题的关键
(1)会转化：把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式．
(2)懂技巧：合理选择直角坐标形式运算、极坐标形式运算、参数坐标形式运算，利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数．
[对点训练]
在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝rcsθ，,y＝rsinθ))(θ为参数，0