高考第一轮复习第53讲创新型问题

   第五十三讲创新型问题

A组

一、选择题

1. 在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“”如下： 

当时，； 当时，。

 则函数的最大值等于（    ）

 （“·”和“－”仍为通常的乘法和减法）

A.   B. 1  C. 6  D. 12

解析： A中1－2＝－1不是自然数，即自然数集不满足条件；B中12＝0.5不是整数，即整数集不满足条件；C中有理数集满足条件；D中不是无理数，即无理数集不满足条件，故选择答案C。

2.对于函数f(x)，若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f(x)＝f(2a－x)，则称f(x)为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是(　　)

A．f(x)＝  B．f(x)＝x2  C．f(x)＝tan x  D．f(x)＝cos(x＋1)

解析：对于函数f（x），若存在常数a≠0，使得x取定义域内的每一个值，都有f（x）=f（2a-x），则称f（x）为准偶函数，∴函数的对称轴是x=a，a≠0，
选项A函数没有对称轴；选项B、函数的对称轴是x=0，选项C，函数没有对称轴．
函数f（x）=cos（x+1），有对称轴，且x=0不是对称轴，选项D正确．
故选： D　

3、给出函数的一条性质：“存在常数M，使得对于定义域中的一切实数均成立。”则下列函数中具有这条性质的函数是                            （    ）

 A．  B．

 C．  D．

解析：看函数是否有最大值，只有D正确

4、设，都是定义在实数集上的函数，定义函数：，

．若，，则

A．B．

C．D．

解析：对于A，因为，所以当x＞0时，f（f（x））=f（x）=x；当x≤0时，f（x）=x2≥0，特别的，x=0时x=x2，此时f（x2）=x2，

所以，故A正确；

对于B，由已知得（f•g）（x）=f（g（x））=，0<x显然不等于f（x），故B错误；

对于C，由已知得（g•f）（x）=g（f（x））=，显然不等于g（x），故C错误；

对于D，由已知得（g•g）（x）=，显然不等于g（x），故D错误．

故选A．

5、x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　)

A．奇函数   B．偶函数

C．增函数   D．周期函数

解析：本题主要考查函数的图像和性质．当x∈[0,1)时，画出函数图像(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数．故选D.

二、填空题

6、现定义一种运算“”：  对任意实数，   。设，若函数的图象与轴恰有三个公共点，则实数的取值范围是_________．

【解析】=，

∵函数f(x)的图象与轴恰有三个交点，的图像与y=-k的图像有三个交点，∴的图像如图所示，

根据图像得：，∴.实数的取值范围是

7、若直线l与曲线C满足下列两个条件：

(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C.

下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；

②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；

③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin x；

④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x；

⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln x.

解析：对于①，由，得则y′|x=0=0，直线y=0是过点P（0，0）的曲线C的切线，又当x＞0时y＞0，当x＜0时y＜0，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=0两侧，∴命题①正确；
对于②，由，得，则y′|x=-1=0，而直线l：x=-1的斜率不存在，在点P（-1，0）处不与曲线C相切，∴命题②错误；
对于③，由y=sinx，得y′=cosx，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，
又时x＜sinx，时x＞sinx，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，∴命题③正确；
对于④，由y=tanx，得y′＝1cos2x，则y′|x=0=1，直线y=x是过点P（0，0）的曲线的切线，又时tanx＜x，时tanx＞x，满足曲线C在P（0，0）附近位于直线y=x两侧，∴命题④正确；
对于⑤，由y=lnx，得，则y′|x=1=1，曲线在P（1，0）处的切线为y=x-1，
由g（x）=x-1-lnx，得，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在（0，+∞）上有极小值也是最小值，为g（1）=0．∴y=x-1恒在y=lnx的上方，不满足曲线C在点P附近位于直线l的两侧，命题⑤错误．∴正确的命题是①③④．
8. 对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。给定函数，请你根据上面探究结果，计算            

试题分析：由题意，，所以，

令，解得，又所以函数的对称中心为，
所以

三、解答题

9、先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：

    已知，，求证，

    证明：构造函数

    因为对一切xR，恒有≥0，所以≤0,

    从而得，

   （1）若，，请写出上述结论的推广式；

   （2）参考上述解法，对你推广的结论加以证明。

解：（1）若，，

求证： (4)

（2）证明：构造函数  (6)

                          (9)

  (11)

               因为对一切xR，都有≥0，所以△=≤0,

               从而证得：.  (14)

10、设函数        a  为 常数且a∈(0,1).

(1) 当a=时,求f(f());      

(2) 若x0满足f(f(x0))= x0,但f(x0)≠x0,则称x0为f(x)的二阶周期点,证明函数有且仅有两个二阶周期点,并求二阶周期点x1,x2;

(3) 对于(2)中x1,x2,设A(x1,f(f(x1))),B(x2,f(f(x2))),C(a2,0),记△ABC的面积为s(a),求s(a)在区间[,]上的最大值和最小值.

【答案】解:(1)当时,

(

当时,由解得x=0,由于f(0)=0,故x=0不是f(x)的二阶周期点;

当时由解得

因

故是f(x)的二阶周期点;

当时,由解得

因故不是f(x)的二阶周期点;

当时,解得

因

故是f(x)的二阶周期点.

因此,函数有且仅有两个二阶周期点,,.

(3)由(2)得

则

因为a在[,]内,故,则

故

B组

一、选择题

1、对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为

A．      B．

C．       D．

解析：选项A中，区间都可以是“等可域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与不可能有两个交点；选项B中，“等可域区间”为．故选B.

2、定义集合A、B的一种运算：，若，，则中的所有元素数字之和为                （    ）

 A．9             B．14              C．18             D．21

解析; 中的元素数为2,3,4,5, 则中的所有元素数字之和为14 . 选B

3、(2015届湖北省黄冈中学等八校高三第二次模拟考试）对于函数，若存在区间，使得，则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．下列函数中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为

A．      B．

C．       D．

【答案】B解析：选项A中，区间都可以是“等可域区间”；选项C，D中，函数均为增函数且与不可能有两个交点；选项B中，“等可域区间”为．故选B.

4、若函数在实数集上的图象是连续不断的，且对任意实数存在常数使得恒成立，则称是一个“关于函数”．现有下列“关于函数”的结论：①常数函数是“关于函数”；②“关于2函数”至少有一个零点；③是一个“关于函数”．其中正确结论的个数是  (      ).

A．1            B．2              C．3               D．0

【答案】B解析：①对任一常数函数，存在,有

所以有，所以常数函数是“关于函数”②“关于2函数”为

，当函数不恒为0时有与同号

定义在实数集上的函数的图象是连续不断的，图象与轴无交点，即无零点。③对于设存在使得，即存在使得，也就是存在使得，也就是存在使得，此方程有解，所以③正确。故正确是①③，故选：B

5、某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(　　)

A．y＝[]　　　　　　　　　　　 B．y＝[]

C．y＝[]   D．y＝[]

解析：当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，可以看作先用该班人数除以10再用这个余数与3相加，若和大于等于10就增选一名代表，将二者合并便得到推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系，用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为y＝[]．

答案：B

二、填空题

6、若集合具有以下性质：①，；②若，则；且时，，

则称集合是“完美集”．给出以下结论：

①集合是“完美集”；②有理数集是“完美集”；

③设集合是“完美集”，若,，则；

④设集合是“完美集”，若,，则必有；

⑤对任意的一个“完美集”，若，且，则必有．

其中正确结论的序号是　　　　　　　．

【答案】②③④⑤解析：①－1，1，但是，不是“完美集”；②有理数集肯定满足“完美集”的定义；

③0，，0－=－，那么；

④对任意一个“完美集”A，任取，若中有0或1时，显然；下设均不为0，1，而

，那么，所以，进而，结合前面的算式，；

⑤，若，那么，那么由(4)得到：．

故答案为②③④⑤。

7、给定min= ，已知函数f(x) = min+ 4，若动直线y=与函数y= f(x)的图象有3个交点，它们的横坐标分别为x1，x2，x3，则x1+x2+x3的范围为　　　　　

（4,5）

8、已知

（1）, 求的最小值

（2）P、Q关于点（1，2）对称，若点P在曲线C上移动时，点Q的轨迹是函数的图象，求曲线C的轨迹方程。

（3）在中学数学中，从特殊到一般，从具体到抽象是常见的一种思维形式。如从可抽象出的性质，试分别写出一个具体的函数，抽象出下列相应的性质

由        可抽象出

由        可抽象出

解析：(1)

等号当x=2时成立，

(2)设P(x,y)则Q(2-x,4-y)

由4－y=lg(2－x)可得：y=4－lg(2－x)

(3) h(x)=_______y=2x等_______, ９’     φ(x)=____y=lgx等__11’

三、解答题

9、将连续正整数1，2，…，n(n∈N*)从小到大排列构成一个数123…n，F(n)为这个数的位数(如n＝12时，此数为123456789101112，共有15个数字，F(12)＝15)，现从这个数中随机取一个数字，p(n)为恰好取到0的概率．

(1)求p(100)；

(2)当n≤2014时，求F(n)的表达式；

(3)令g(n)为这个数中数字0的个数，f(n)为这个数中数字9的个数，h(n)＝f(n)－g(n)，S＝{n|h(n)＝1，n≤100，n∈N*}，求当n∈S时p(n)的最大值．

解：(1)当n＝100时，这个数中总共有192个数字，其中数字0的个数为11，所以恰好取到0的概率为p(100)＝.

(2)F(n)＝

(3)当n＝b(1≤b≤9，b∈N*)，g(n)＝0；

当n＝10k＋b(1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N)时，g(n)＝k；

当n＝100时，g(n)＝11，即g(n)＝

1≤k≤9，0≤b≤9，k∈N*，b∈N，

同理有f(n)＝

由h(n)＝f(n)－g(n)＝1，可知n＝9，19，29，39，49，59，69，79，89，90，

所以当n≤100时，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79，89，90}．

当n＝9时，p(9)＝0.

当n＝90时，p(90)＝＝＝.

当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)＝＝＝，由y＝关于k单调递增，故当n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*)时，p(n)的最大值为p(89)＝.

又<，所以当n∈S时，p(n)的最大值为.

C组

一、选择题

1、　定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝；④f(x)＝ln |x|.

则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为(　　)

A．①②  B．③④  C．①③  D．②④

答案　C

解析　等比数列性质，anan＋2＝a，①f(an)f(an＋2)＝aa＝(a)2＝f2(an＋1)；

②f(an)f(an＋2)＝＝≠f2(an＋1)；③f(an)f(an＋2)＝＝2

＝f2(an＋1)；④f(an)f(an＋2)＝ln |an|ln |an＋2|≠(ln |an＋1|)2＝f2(an＋1)．

2．对于函数f(x)，若任意的a，b，c∈R，f(a)，f(b)，f(c)为某一三角形的三边长，则称f(x)为“可构造三角形函数”．已知函数f(x)＝是“可构造三角形函数”，则实数t的取值范围是(　　)

A．[，2]   B．[0,1]  C．[1,2]   D．(0，＋∞)

答案　A解析　因为对任意的实数x1，x2，x3∈R，都存在以f(x1)，f(x2)，f(x3)为三边长的三角形，故f(x1)＋f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立．由f(x)＝＝1＋，

设ex＋1＝m(m>1)，则原函数可化为f(m)＝1＋(m>1)，当t>1时，函数f(m)在(1，＋∞)上单调递减，所以f(m)∈(1，t)，此时2<f(x1)＋f(x2)<2t,1<f(x3)<t，要使f(x1)＋f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需t≤2，所以1<t≤2；

当t＝1时，f(x)＝1，显然满足题意；当t<1时，函数f(m)在(1，＋∞)上单调递增，

所以y∈(t,1)，此时2t<f(x1)＋f(x2)<2，t<f(x3)<1，要使f(x1)＋f(x2)>f(x3)对任意的x1，x2，x3∈R恒成立，需满足2t≥1，所以≤t<1.综上t∈[，2]，故选A.

3. 定义：区间的长度等于，函数的定义域为，值域为，若区间的长度的最小值为，则实数的值为D

     A．            B．2            C．          D．4

二、填空题

4．若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出四个函数：f1(x)＝2log2 x，f2(x)＝log2 (x＋2)，f3(x)＝(log2 x)2，f4(x)＝log2(2x)．则“同形”函数是________．

答案　f2(x)与f4(x)解析　f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，将其向下平移1个单位得到f(x)＝log2x，再向左平移2个单位，即得到f2(x)＝log2(x＋2)的图象．故根据新定义得，f2(x)＝log2 (x＋2)与f4(x)＝log2 (2x)为“同形”函数．

5.定义函数那么下列命题中正确的序号是_________.（把所有可能的图的序号都填上）.

①函数为偶函数；②函数为周期函数，且任何非零实数均为其周期；

③方程有两个不同的根.

5.【答案】①

【命题立意】本题考查了新定义的概念的理解，函数的性质及推理能力.

【解析】由题意可知成立，所以函数为偶函数，①正确；②不是周期函数，所以错误；时，为有理数，所以在此处没有根，，是有理数，所以只有一个根，③错误.

6．下图展示了由区间(0,4)到实数集R的一个映射过程：区间(0,4)中的实数m对应数轴上的点M(如图1)，将线段AB围成一个正方形，使两端点A，B恰好重合(如图2)，再将这个正方形放在平面直角坐标系中，使其中两个顶点在y轴上(如图3)，点A的坐标为(0,4)，若图3中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)＝n.现给出以下命题：

①f(2)＝0；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)在区间(3,4)上为常数函数；

④f(x)为偶函数．其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．

答案　①②③解析　如图所示．

①由定义可知2的象为0.即f(2)＝0；②由图象可知关于点(2,0)对称的两点的象互为相反数，即其图象关于点(2,0)对称；③结合图形可知m∈(3,4)时其象为定值，即函数在此区间上为常数函数；④因为函数的定义域为[0,4]，不关于原点对称，故函数不是偶函数．综上可知命题①②③是正确的．

7．已知函数y＝f(x)(x∈R)．对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称．若h(x)是g(x)＝关于f(x)＝3x＋b的“对称函数”，且h(x)>g(x)恒成立，则实数b的取值范围是________．

答案　(2，＋∞)解析　由已知得＝3x＋b，所以h(x)＝6x＋2b－.h(x)>g(x)恒成立，即6x＋2b－>，3x＋b>恒成立．

在同一坐标系内，画出直线y＝3x＋b及半圆y＝(如图所示)，可得>2，即b>2，故答案为(2，＋∞)．

8．、以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M，使得函数φ(x)的值域包含于区间[－M，M]．例如，当φ1(x)＝x3，φ2(x)＝sin x时，φ1(x)∈A，φ2(x)∈B.现有如下命题：

①设函数f(x)的定义域为D，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b”；

②函数f(x)∈B的充要条件是f(x)有最大值和最小值；

③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A，g(x)∈B，则f(x)＋g(x)∉B；

④若函数f(x)＝aln(x＋2)＋(x>－2，a∈R)有最大值，则f(x)∈B.

其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)

解析：对于①，根据题中定义，f(x)∈A⇔函数y＝f(x)，x∈D的值域为R，由函数值域的概念知，函数y＝f(x)，x∈D的值域为R⇔∀b∈R，∃a∈D，f(a)＝b，所以①正确；对于②，例如函数f(x)＝|x|的值域(0,1]包含于区间[－1,1]，所以f(x)∈B，但f(x)有最大值1，没有最小值，所以②错误；对于③，若f(x)＋g(x)∈B，则存在一个正数M1，使得函数f(x)＋g(x)的值域包含于区间[－M1，M1]，所以－M1≤f(x)＋g(x)≤M1，由g(x)∈B知，存在一个正数M2，使得函数g(x)的值域包含于区间[－M2，M2]，所以－M2≤g(x)≤M2，亦有－M2≤－g(x)≤M2，两式相加得－(M1＋M2)≤f(x)≤M1＋M2，于是f(x)∈B，与已知“f(x)∈A”矛盾，故f(x)＋g(x)∉B，即③正确；对于④，如果a>0，那么x→＋∞，f(x)→＋∞，如果a<0，那么x→－2，f(x)→＋∞，所以f(x)有最大值，必须a＝0，此时f(x)＝在区间(－2，＋∞)上，有－≤f(x)≤，所以f(x)∈B，即④正确，故填①③④.

答案：①③④

三、解答题

9、，，┅，，，，┅，分别表示实数，，┅，中的最小者和最大者．

（1）作出函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的图像；

（2）在求函数＝｜＋3｜＋2｜－1｜（∈R）的最小值时，有如下结论：

＝，＝4．请说明此结论成立的理由；

（3）仿照（2）中的结论，讨论当，，┅，为实数时，

函数＝＋＋┅＋∈R，＜＜┅＜∈R的最值．

解：（1）图略；

（2）当∈（－∞，－3）时，是减函数，

当∈－3，1）时，是减函数，

当∈1，＋∞）时，是增函数，

∴＝，＝4．

（3）当＋＋┅＋＜0时，＝，，┅，；

当＋＋┅＋＞0时，＝，，┅，；

当＋＋┅＋＝0时，＝，，

＝，．

10、已知真命题:“函数的图像关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数 是奇函数”.

(1)将函数的图像向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图像对称中心的坐标;

(2)求函数 图像对称中心的坐标;

(3)已知命题:“函数 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b,使得函数 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明).

【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为,
整理得, 由于函数是奇函数,
由题设真命题知,函数图像对称中心的坐标是.
(2)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数.
设则,即.
由不等式的解集关于原点对称,得.
此时.
任取,由,得,
所以函数图像对称中心的坐标是.
(3)此命题是假命题.
举反例说明:函数的图像关于直线成轴对称图像,但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数.
修改后的真命题:
函数的图像关于直线成轴对称图像”的充要条件是“函数是偶函数”.