（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第56讲 参数方程（讲+练）原卷版+解析

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1．将圆x2＋y2＝4上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的eq \f(1,2)，得曲线C.
(1)写出曲线C的参数方程；
(2)设直线l：2x＋y＋2＝0与曲线C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．
2．已知曲线C1，C2的参数方程分别为C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs2θ，,y＝4sin2θ))(θ为参数)，C2：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t＋\f(1,t)，,y＝t－\f(1,t)))(t为参数)．
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．设C1，C2的交点为P，求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程．
3．已知直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t＋4\r(2)))(t是参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝4cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4))).
(1)求圆心C的直角坐标；
(2)由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs α，,y＝2＋sin α))(α为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＝eq \f(4,1＋3sin2θ).
(1)写出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；
(2)已知P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的切线，切点为A，求|PA|的最大值．
5．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a＋\f(1,2)t，,y＝\f(\r(3),2)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq \f(3,1＋2cs2θ).
(1)求直线l的普通方程以及曲线C的参数方程；
(2)当a＝1时，P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．
6．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2＋\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))
(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2acs θ(a>0)．
(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；
(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．
7．已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3csα，,y＝sinα))(α为参数)，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2).
(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求|eq \(EA,\s\up6(→))|＋|eq \(EB,\s\up6(→))|的值．
8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，过点(0，－eq \r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
【练提升】
1．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－5＋\r(2)cs t，,y＝3＋\r(2)sin t))(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝－eq \r(2).
(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；
(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和△PAB面积的最小值．
2．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋tcsα，,y＝tsinα))(t是参数)．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4csθ.
(1)当m＝－1，α＝30°时，判断直线l与曲线C的位置关系；
(2)当m＝1时，若直线l与曲线C相交于A，B两点，设P(1,0)，且||PA|－|PB||＝1，求直线l的倾斜角．
3．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋tcs α，,y＝1＋tsin α))(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6cs θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(2,1)，求|PA|＋|PB|的最小值．
4．平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcsα，,y＝tsinα))(其中t为参数，且00得a>4，
设M，N对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝2eq \r(2)a，t1t2＝8a，
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|t1－t2|2＝|t1t2|，∴(2eq \r(2)a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.
7．已知曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3csα，,y＝sinα))(α为参数)，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2).
(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C上的动点P到坐标原点O的距离|OP|的最大值；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且与x轴相交于点E，求|eq \(EA,\s\up6(→))|＋|eq \(EB,\s\up6(→))|的值．
【解析】(1)由ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，得ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)csθ－\f(\r(2),2)sinθ))＝eq \r(2)，所以直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.
根据题意，得|OP|＝eq \r(9cs2α＋sin2α)＝eq \r(8cs2α＋1)，
因此曲线C上的动点P到原点O的距离|OP|的最大值为3.
(2)由(1)知直线l：x－y－2＝0与x轴的交点E的坐标为(2,0)，得直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(\r(2),2)t＋2，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,9)＋y2＝1，联立得5t2＋2eq \r(2)t－5＝0，则t1＋t2＝－eq \f(2\r(2),5)，t1t2＝－1，
所以|eq \(EA,\s\up6(→))|＋|eq \(EB,\s\up6(→))|＝|t1－t2|＝ eq \r(t1＋t22－4t1t2)
＝eq \f(6\r(3),5).
8．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，过点(0，－eq \r(2))且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
(1)求α的取值范围；
(2)求AB中点P的轨迹的参数方程．
【解析】(1)⊙O的直角坐标方程为x2＋y2＝1.
当α＝eq \f(π,2)时，l与⊙O交于两点．
当α≠eq \f(π,2)时，记tan α＝k，则l的方程为y＝kx－eq \r(2).
l与⊙O交于两点需满足eq \f(\r(2),\r(1＋k2))