（课标全国版）高考数学第一轮复习讲练 第55讲 坐标系（讲+练）原卷版+解析

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1．在极坐标系中，已知圆C经过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))，圆心C为直线ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝－eq \r(3)与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
2.如图，在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cs θ，以极点O为旋转中心，将曲线C逆时针旋转eq \f(π,3)得到曲线C′.
(1)求曲线C′的极坐标方程；
(2)求曲线C与曲线C′公共部分围成图形的面积．
3．设M，N分别是曲线ρ＋2sinθ＝0和ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)上的动点，求M，N的最小距离．
4．在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sin θ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0＝eq \f(π,3)时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
5．在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝t，,y＝\r(3)t))(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cs2θ＋ρ2sin2θ－2ρsinθ－3＝0.
(1)求直线l的极坐标方程；
(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求AB的长．
6．以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，将曲线C1绕极点逆时针旋转eq \f(2π,3)后得到曲线C2.
(1)求曲线C2的极坐标方程；
(2)若直线l：θ＝α(ρ∈R)与C1，C2分别相交于异于极点的A，B两点，求|AB|的最大值．
7．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m－mcsα，,y＝msinα))
(m>0，α为参数)，直线C2：y＝eq \f(\r(3),3)x，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C1，直线C2的极坐标方程；
(2)直线C3：θ＝eq \f(5π,6)(ρ∈R)，设曲线C1与直线C2交于点O，A，曲线C1与直线C3交于点O，B，△OAB的面积为6eq \r(3)，求实数m的值．
8．在平面直角坐标系xOy中，由x2＋y2＝1经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝y))得到曲线C1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
(1)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；
(2)若直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，l与曲线C1，曲线C2在第一象限分别交于P，Q两点，且|OP|＝|PQ|，点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))，求△PMQ的面积．
【练提升】
9.在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.,(1)当θ0＝eq \f(π,3)时，求ρ0及l的极坐标方程；,(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
10．在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，0≤α0)，以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)说明C2是哪一种曲线，并将C2的方程化为极坐标方程；
(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝α0(ρ>0)，其中tanα0＝2，α0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点．若|OB|＝3|OA|＋eq \r(5)，求a的值．
12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，直线C2的方程为y＝eq \r(3)x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|).
13.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3π,4)))，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝eq \r(3)，求P的极坐标．
14．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，曲线C2：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且A，B均异于原点O)，当00，α为参数)，直线C2：y＝eq \f(\r(3),3)x，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出曲线C1，直线C2的极坐标方程；
(2)直线C3：θ＝eq \f(5π,6)(ρ∈R)，设曲线C1与直线C2交于点O，A，曲线C1与直线C3交于点O，B，△OAB的面积为6eq \r(3)，求实数m的值．
【解析】(1)由题意消去曲线C1的参数α，得曲线C1的普通方程为(x－m)2＋y2＝m2.
∵x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，
∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝2mcsθ.
直线C2的极坐标方程为θ＝eq \f(π,6)(ρ∈R)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θ＝\f(π,6)，,ρ＝2mcsθ，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρA＝\r(3)m，,θ＝\f(π,6)，))∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)m，\f(π,6))).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θ＝\f(5π,6)，,ρ＝2mcsθ，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρB＝－\r(3)m，,θ＝－\f(π,6)，))∴Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(3)m，－\f(π,6))).
∴S△OAB＝eq \f(1,2)ρA·|ρB |·sin∠AOB＝6eq \r(3)，
即eq \f(1,2)·eq \r(3)m·eq \r(3)m·sineq \f(π,3)＝6eq \r(3)，解得m2＝8.
又m>0，∴m＝2eq \r(2).
8．在平面直角坐标系xOy中，由x2＋y2＝1经过伸缩变换eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝y))得到曲线C1，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cs θ.
(1)求曲线C1的极坐标方程以及曲线C2的直角坐标方程；
(2)若直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)，l与曲线C1，曲线C2在第一象限分别交于P，Q两点，且|OP|＝|PQ|，点M的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))，求△PMQ的面积．
【解析】(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2x，,y′＝y))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,2)x′，,y＝y′，))代入x2＋y2＝1得到曲线C1的直角坐标方程为eq \f(x′2,4)＋y′2＝1，即eq \f(x2,4)＋y2＝1，
又x＝ρcs θ，y＝ρsin θ，
所以曲线C1的极坐标方程为ρ2＝eq \f(4,1＋3sin2θ).
C2：ρ＝4cs θ⇒ρ2＝4ρcs θ，又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcs θ，
所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θ＝α，,ρ2＝\f(4,1＋3sin2θ)，))解得ρP＝eq \r(\f(4,1＋3sin2α))，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(θ＝α，,ρ＝4cs θ，))解得ρQ＝4cs α.
由于|OP|＝|PQ|，所以ρQ＝2ρP，
故4cs α＝2eq \r(\f(4,1＋3sin2α))，解得sin2α＝eq \f(2,3)，cs2α＝eq \f(1,3)，
所以ρP＝eq \r(\f(4,1＋3sin2α))＝eq \f(2\r(3),3)，ρQ＝4cs α＝eq \f(4\r(3),3).
S△PQM＝S△OQM－S△OPM
＝eq \f(1,2)|OQ|·|OM|sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))－eq \f(1,2)|OP|·|OM|sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))
＝eq \f(1,2)×(ρQ－ρP)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－α))
＝eq \f(1,2)×(ρQ－ρP)cs α
＝eq \f(1,3).
【练提升】
9.在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.,(1)当θ0＝eq \f(π,3)时，求ρ0及l的极坐标方程；,(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
【解析】(1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C上，,所以当θ0＝eq \f(π,3)时，ρ0＝4sineq \f(π,3)＝2eq \r(3).,由已知得|OP|＝|OA|cseq \f(π,3)＝2.,设Q(ρ，θ)为l上除P外的任意一点．,在Rt△OPQ中，ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝|OP|＝2.
经检验，点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3)))在曲线ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2上，
所以，l的极坐标方程为ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝2.
(2)设P(ρ，θ)，在Rt△OAP中，|OP|＝|OA|csθ＝4csθ，
即ρ＝4csθ.
因为P在线段OM上，且AP⊥OM，
所以θ的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
所以，P点轨迹的极坐标方程为ρ＝4csθ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).
10．在平面直角坐标系中，直线m的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数，0≤α0)，以坐标原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．
(1)说明C2是哪一种曲线，并将C2的方程化为极坐标方程；
(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝α0(ρ>0)，其中tanα0＝2，α0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点．若|OB|＝3|OA|＋eq \r(5)，求a的值．
【解析】(1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝acsφ，,y＝1＋asinφ))消去参数φ，
得C2的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2.
∴C2是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．
∵x＝ρcsθ，y＝ρsinθ，
∴C2的极坐标方程为(ρcsθ)2＋(ρsinθ－1)2＝a2，
即C2的极坐标方程为ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.
(2)曲线C3的极坐标方程为θ＝α0(ρ>0)，tanα0＝2，α0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴曲线C3的直角坐标方程为y＝2x(x>0)，sinα0＝eq \f(2\r(5),5).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,y＝2x，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(1,3)，,y＝\f(2,3)，))∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))).
∴|OA|＝eq \f(\r(5),3).
∵|OB|＝3|OA|＋eq \r(5)，∴|OB|＝2eq \r(5).
故点B的极坐标为(2eq \r(5)，α0)，
代入ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0，得a＝eq \r(13).
12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，直线C2的方程为y＝eq \r(3)x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|).
【解析】(1)曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，
则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcs θ－4ρsin θ＋7＝0.
由于直线C2过原点，且倾斜角为eq \f(π,3)，
故其极坐标方程为θ＝eq \f(π,3)(ρ∈R)．
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2－4ρcs θ－4ρsin θ＋7＝0，,θ＝\f(π,3)，))
得ρ2－(2eq \r(3)＋2)ρ＋7＝0，
设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，
则ρ1＋ρ2＝2eq \r(3)＋2，ρ1ρ2＝7，
∴eq \f(1,|OA|)＋eq \f(1,|OB|)＝eq \f(|OA|＋|OB|,|OA|·|OB|)＝eq \f(ρ1＋ρ2,ρ1ρ2)＝eq \f(2\r(3)＋2,7).
13.如图，在极坐标系Ox中，A(2,0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(π,4)))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(2)，\f(3π,4)))，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2)))，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，曲线M3是弧.
(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；
(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝eq \r(3)，求P的极坐标．
【解析】(1)由题设可得，弧，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cs θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cs θ，
所以M1的极坐标方程为ρ＝2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,4)))，
M2的极坐标方程为ρ＝2sin θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)≤θ≤\f(3π,4)))，
M3的极坐标方程为ρ＝－2cs θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)≤θ≤π)).
(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：
若0≤θ≤eq \f(π,4)，则2cs θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(π,6)；
若eq \f(π,4)≤θ≤eq \f(3π,4)，则2sin θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(π,3)或θ＝eq \f(2π,3)；
若eq \f(3π,4)≤θ≤π，则－2cs θ＝eq \r(3)，解得θ＝eq \f(5π,6).
综上，P的极坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,6)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(π,3)))或eq \r(3)，eq \f(2π,3)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)，\f(5π,6))).
14．在直角坐标系xOy中，曲线C1：(x－1)2＋y2＝1，曲线C2：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；
(2)射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(且A，B均异于原点O)，当0