数学八年级上册15.2.3 整数指数幂第1课时教案设计

第十五章 分式

15.2  分式的运算

15.2.3  整数指数幂

第1课时   负整数指数幂

一、教学目标

1.探索负整数指数幂的意义，掌握整数指数幂的运算性质.

2.能熟练运用整数指数幂的运算性质进行计算.

二、教学重难点

重点：整数指数幂的运算性质.

难点：运用整数指数幂的运算性质进行计算.

三、教学过程

【新课导入】

[复习导入]

0指数幂：当a≠0时，a0=     1      .

教师带领学生复习旧知，并完成“练一练”，为这节课的学习做准备.

【新知探究】

知识点负整数指数幂

[提出问题]am中指数m可以是负整数吗？如果可以，那么负整数指数幂am表示什么？我们以“a3÷a5”为例，你是怎么计算的？

[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，教师点名学生回答,其他学生纠正，补充.学生的答案可能是：

[提出问题]我们能不能用公式“am÷an=am-n(a≠0,m,n是正整数，m＞n)”来计算呢？

[学生思考]学生很容易回答“不能”，因为该公式要求m＞n，而a3÷a5不符合.

[提出问题]假设把该运算性质中的m＞n这个条件去掉呢？大家试一试！

[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，教师点名学生回答,其他学生纠正，补充.学生的答案可能是：a3÷a5=a3-5=a-2.

[归纳总结]a-2与相等吗？为了使上述运算适用范围更广，同时也可以更简便地表示分式，数学中规定：

负整数指数幂：一般地，当n是正整数时，（a≠0）.这就是说a-n（a≠0）是an的倒数.    

[课件展示]教师利用多媒体展示如下做一做：

填空：（1）2-1=； 4-1=；

      （2）2-3=； 3-2=；

（3）（-4）-2=； -4-2=. 

[提出问题]引入负整数指数幂和0指数后，am·an=am+n（m，n是正整数）这条性质能否推广到m，n是任意整数的情形？以“a3·a-5、 a-3·a-5 、a0·a-5”为例.

[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，教师点名学生回答,其他学生纠正，补充.学生的答案可能是：a3·a-5=a-2;a-3·a-5=a-8;a0·a-5=a-5.

[提出问题]教师引导学生观察结果中的指数与原式中的指数，猜测他们之间存在什么关系？

[归纳总结]am·an=am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然使用.

[提出问题]你可以用负整数指数幂或0指数幂对于其他正整数指数幂的运算性质进行验证，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还使用.

[学生思考]学生独立思考，将自己的解题过程写在练习本上，进行验证，之后教师点名学生回答,其他学生纠正，补充.最终得到正整数指数幂的运算性质在整数指数幂范围内还能使用.

[归纳总结]

[课件展示]教师利用多媒体展示如下例题：

例1   计算：

（1）；           （2）；

（3）；           （4）.     

解：（1）;

(2)  ;

（3）；

（4）. 

[归纳总结]整数指数幂的运算结果一般要用正整数指数幂来表示.

[课件展示]

[课件展示]跟踪训练

1.若(a-1)-1有意义,则a的取值范围是(  D  )

A . a≠0     B. a≠2    c. a≠-l     D.a≠l

【解析】∵(a-1)-1有意义,∴a-1≠0，即a≠1.故选D.

提醒学生注意：当指数为负数和0时，一定要保证底数不是零.

2.计算：

(1)a2b－2·(a－2b)3；               (2)(3x2y－2)2÷(x－2y)3；   

(3)(3×10－5)3÷(3×10－6)2.

解：(1)原式＝a2b－2·a－6b3＝a－4b

（2）原式＝9x4y－4÷x－6y3＝9x4y－4·x6y－3＝9x10y－7

(3)原式＝(27×10－15)÷(9×10－12)＝3×10－3

3.求证：

(1)                    (2)

证明：(1)      （2）  

[归纳总结]负整数指数幂的三个常用结论：

（1）an与a-n互为倒数；（2）；（3）.

[归纳总结]分式混合运算应根据式子的特点，选择灵活简便的方法计算，注意使用运算律.

【课堂小结】

【课堂训练】

1.   下列各式的值最小的是(  C  )
   A.20B.|-2|         C.2-1D.-(-2)
2.   若a=-0.32, b=3-2,c=,则a、b、c的大小关系是( A  )
   A.a＜b＜cB.b＜a＜c
   C.a＜c＜bD.c＜a＜b

3.计算的结果为(   A   )
A.2-7B.27C.-48D.-4-8

4．定义一种新的运算：如果a≠0．则有a▲b＝a﹣2+ab+|﹣b|，那么（﹣）▲2的值是（　B　）

A．﹣3 B．5 C．﹣ D．

5.若3n=，则n=   -3    .

6．若4﹣3×4﹣1×40＝4p，则p的值为　﹣4　．

7.计算：

（1）=;       

（2）=；

（3）=;                     

（4）=.   

8.计算：-1-2022+（2022-π）0-(）-2+（-2）3.

解：原式=+1-+(-8)

=1+1-9-8=-15.

9.计算：（1） ；                   

        （2）.

解：（1）原式

（2）原式

【教学反思】

本节课是在学习过的正整数指数幂和零指数幂的基础上展开的,特别是正整数指数幂,我们已经学习了5条运算性质:同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法、商的乘方,其中对同底数幂的除法,要求被除式的指数要大于除式的指数.我们抓住这个条件,展开探索,从约分和同底数幂的除法两个角度"殊途同归”说明了定义负整数指数幂的合理性,这样,就在运算的需要之下,实现了指数的扩充.然后引导学生利用负指数幂以及零指数幂通过验证的方式,针对以前5条性质进行再探讨.这节课课堂气氛活跃，学生都能积极投入到探索中去，不足之处在于学生容易把原有的5条性质混淆,今后的学习中还需进一步强调，学生课下还需多加练习.