初中数学苏科版七年级上册4.3 用一元一次方程解决问题课时训练

4.3 用一元一次方程解决问题

培优第一阶——基础过关练

1．某村原有林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地面积占林地面积的20%．设把x公顷旱地改为林地，则可列方程(     )

A．  B． 

C．  D．

【答案】B

【详解】解：设把x公顷旱地改为林地，根据题意可得方程：．

故选：B．

2．中国古代人们很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是今有若干人乘车，若每3人共乘1车，最终剩余2辆车；若每2人共乘1车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x人，则可列方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】解：设有x辆车，则可列方程：

3（x﹣2）＝2x＋9．

故选：B．

3．某商品的标价为200元，9折销售仍赚40元，则该商品的进价为（          ）

A．140 B．120 C．100 D．160

【答案】A

【详解】解：设商品的进价为x元，售价为每件0.9×200元，由题意得

0.9×200=x+40，

解得：x=140，

答：商品进价为140元．

故选：A．

4．已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了180元，其中一件盈利50%，另一件亏损40%，在这次买卖中这家商店（       ）

A．不盈不亏 B．盈利20元 C．亏损60元 D．亏损20元

【答案】C

【详解】解：设盈利50%的运动衫的进价是a元，亏损40%的运动衫的进价是b元．则有

①a（1+50%）=180，解得，a=120，

②b（1-40%）=180，解得，b=300，

∴总售价是180+180=360（元），总进价是120+300=420（元），

420-360=60（元），

∴这次买卖中商家亏损60元．

故选：C．

5．把一些课外书分给若干学生阅读，若每人分3本，则剩余27本，若每人分5本，则还差35本，设这个班共有学生x人，则可列方程为（       ）

A．3x+27=5x+35 B．3x－27=5x+35 C．3x+27=5x－35 D．27+3x=35－5x

【答案】C

【详解】由题意得，

每人分3本时，总分发的数量为，剩余27本，则总数为；

每人分5本时，总分发数量为，还差35本，则总数为；

列方程为．

故选:C．

6．李华和赵亮从相距30千米的A、B两地同时出发，李华每小时走4千米，3小时后两个人相遇，设赵亮的速度为千米/时，所列方程正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】解：由题意，所列方程为，故选：A．

7．为响应国家号召，某单位组织所有员工分x组去接种新冠疫苗加强针．若每组50人，则只有一组缺15人；若每组45人，则余下10人，根据题意，可列方程为___________．

【答案】

【详解】解：由题意，可列方程为，

故答案为：．

8．“双十一”期间，某电商决定对网上销售的某种蓝牙耳机按成本价提高后标价，又以8折优惠卖出，结果每个耳机仍可获利6.6元，若设这种耳机每件的成本为a元，则可列方程为______________．

【答案】

【详解】解：根据题意，得：，

故答案为：．

9．某车间有20名工人，生产一种特殊的螺栓和螺母，每人每天能生产螺栓12个或螺母16个．如果分配x名工人生产螺栓，其余的工人生产螺母，且每天生产的螺母恰好是螺栓的2倍．则可列方程为 _____．

【答案】

【详解】解：∵分配x名工人生产螺栓，则分配名工人生产螺母，

∴由题意可列方程为．

故答案为：．

10．《九章算术》是我国古代数学名著，书中记载：“今有人合伙买羊，每人出5钱，还差45钱；每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？”设合伙人数为x人，根据题意可列一元一次方程为__________________．

【答案】

【详解】解：根据题意列方程5x+45=7x+3；

故答案为：5x+45=7x+3．

培优第二阶——拓展培优练

1．某种手机卡的市话费上次已按原收费标准降低了元/分钟，现在又下调25%，使收费标准为元/分钟，那么原收费标准为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：设原收费标准为x元，由题意得：

，

 ，

，

；

故选：D．

2．如图，在一个三阶幻方中，填写了一些数、式子和汉字（其中每个式子或汉字都表示一个数），若处于每一横行、每一竖列，以及两条斜对角线上的3个数之和都相等，则这个幻方中m的值为（       ）

A．3 B．1 C．-8 D．-10

【答案】A

【详解】解：根据题意知m+1-9=-5+0，

解得：m=3，

故选A．

3．解决实际问题“某班原分成两个小组进行课外体育活动，第一小组26人，第二小组22人，根据学校活动器材的数量，要将第一小组的人数调整为第二小组的一半，应从第一小组调多少人到第二小组？”时，若设应从第一小组调人到第二小组，依题意可得的方程为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：设应从第一小组调x人到第二小组，依题意可得的方程为：

2（26−x）＝22＋x．

故选：A．

4．某项工程由甲队单独做需要20天完成，由乙队单独做只需甲队的一半时间就能完成．设两队合作需要x天完成，则可列方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】两队合作需要x天完成，由题意得，，即（）x=1．

故选：B．

5．小江去商店购买签字笔和笔记本（其中签字笔和笔记本的单价相同）．若购买20支签字笔和15本笔记本，则他身上的钱还缺25元；若购买19支签字笔和12本笔记本，则他身上的钱会剩下15元．若小江购买17支签字笔和9本笔记本，则（       ）

A．他身上的钱还缺65元 B．他身上的钱会剩下65元

C．他身上的钱还缺115元 D．他身上的钱会剩下115元

【答案】B

【详解】解：设签字笔的单价为x元，则笔记本的单价为x元，

根据题意得：20x+15x﹣25＝19x+12x+15，

整理得：4x＝40，

解得：x＝10，

∵小江购买17支签字笔和9本笔记本的钱为17x+9x＝26x，

∴19x+12 x +15﹣26x

＝5x+15

∵x＝10，

∴5x+15＝5×10+15

＝65，

即小江身上的钱会剩下65元；

故选：B．

6．某校手工社团30名学生制作纸飞机模型，每人每小时可做20个机身或60个机翼，一个飞机模型要一个机身配两个机翼，为了使每小时制作的成品刚好配套，应该分配多少名学生做机身，多少名学生做机翼？设分配x名学生做机身，则可列方程为（          ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】设分配x名学生做机身，则可列方程为,

故选C．

7．小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学．一天，小明以80m/min的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追赶小明，并且在途中追上了他．则爸爸追上小明用了___________min．

【答案】4

【详解】解：设爸爸追上小明用了x min，

依题意有（180−80）x＝80×5，

解得x＝4．

即：爸爸追上小明用了4min长时间．

故答案是：4．

8．用一根80cm的绳子围成一个长方形，且这个长方形的长比宽多10cm，则围成长方形的面积为______．

【答案】375

【详解】解：设长方形的长为x，则宽为x-10

由题意得：2（x+x-10）=80，解得x=25

则长方形的宽为25-10=15

所以围成长方形的面积为15×25=375．

故答案为：375．

9．（2022·陕西渭南·七年级期末）某运输公司要将300吨的货物运往某地，现有A、B两种型号的货车可调用，已知A型货车每辆可装货物20吨，B型货车每辆可装货物15吨．在每辆汽车不超载的情况下，要把这300吨货物一次性装运完成，并且A型货车确定要用7辆，则至少调用B型货车______辆．

【答案】11

【详解】解：设调用B型汽车的辆数为x，由题意得：

7×20＋15x≥300

解得：x≥，

因为x取整数，所以至少应该调用B型汽车11辆．

故答案为：11．

10．今年端午节前某超市分两次购进蛋黄、鲜肉、腊肉三种馅的粽子，第一次购进三种粽子数量之比为 3∶ 2∶ 1．根据销量，超市调整进货方案， 第一次与第二次购进蛋黄粽数量之比为 3∶ 4，且第二次购进蛋黄粽数量为第二次购进总量的 ．为使两次购进鲜肉粽和腊肉粽数量之比为 ，则第二次购进鲜肉粽和腊肉粽数量之比为__________．

【答案】

【详解】解：设第一次购进蛋黄粽子3x个，则购进鲜肉粽子2x个，腊肉粽子x个，第二次购进蛋黄粽子4x个，

∵第二次购进蛋黄粽子数量为第二次购进总量的，

∴第二次的购进总量为4x÷＝9x个，

∴第二次购进鲜肉粽子和腊肉粽子共5x个，

设第二次购进鲜肉粽子mx个，则购进腊肉粽子（5－m）x个，

由题意得：，

解得：，

∴5－m＝，

∴第二次购进鲜肉粽和腊肉粽数量之比为：，

故答案为：．

11．小强（递上10元钱）：爷爷，我买一枝钢笔和一个笔记本．

售货员（爷爷）：今天是“六一”儿童节，钢笔九折优惠，笔记本按标价卖给你，但如果你钢笔和笔记本都买，钱可不够了．

小军：小强，钢笔的标价是笔记本的3倍．我借给你1.1元钱，就可以买这两样东西了．

请你根据上述对话内容，算出钢笔和笔记本的标价．

【答案】钢笔标价为9元，笔记本标价为3元

【详解】解：设笔记本的标价为x元，则钢笔的标价为3x元

x＋0.93x＝10＋1.1

解得：x＝3

故钢笔的标价为：33＝9（元）答：钢笔标价为9元，笔记本标价为3元．

12．超市先后两次共进货板栗1000kg，进货价依次为10元/kg和8元/kg，第二次比第一次多付款800元．（利润＝销售总收入﹣进货总成本）(1)该超市这两次购进的板栗分别是多少kg？

(2)超市对这1000kg板栗以14元/kg的标价销售了700kg后，把剩下的板栗全部打折售出，合计获得利润不少于4570元，问超市对剩下的板栗至多打几折销售？

【答案】(1)400kg，600kg；(2)八五折

【分析】（1）设第一次进货板栗xkg，则第二次进货板栗（1000-x）kg，

由题意可得：8（1000-x）-10x=800，

解得：x=400．

答：第一次进货400kg，第二次进货600kg．

（2）设超市对剩下的板栗打y折销售，由题意可得：

14×700+14××300-10×400-8×600≥4570，

整理，得9800+420y-4000-4800≥4570

所以420y≥3570

解得：y≥8.5．

答：超市对剩下的板栗至多打八五折销售．

13．某商店购进甲、乙两种型号的节能灯共100只，购进100只节能灯的进货款恰好为2600元，这两种节能灯的进价、预售价如下表：（利润=售价-进价）

(1)求该商店购进甲、乙两种型号的节能灯各多少只？

(2)在实际销售过程中，商店按预售价将购进的甲型号节能灯全部售出，购进的乙型号节能灯部分售出后，决定将乙型号节能灯打九折销售，全部售完后，两种节能灯共获得利润380元，求乙型号节能灯按预售价售出了多少只？

【答案】(1)购进甲型号的节能灯60只，购进乙型号的节能灯40只；(2)10只

【分析】（1）解：设该商店购进甲种型号的节能灯只，则可以购进乙种型号的节能灯只，

由题意可得：，

解得：，

（只，

答：该商店购进甲种型号的节能灯60只，可以购进乙种型号的节能灯40只；

（2）解：设乙型节能灯按预售价售出的数量是只，

由题意得，

解得：，

答：乙型节能灯按预售价售出的数量是10只．

14．2022年是共青团建团100周年．1922年5月5日，中国社会主义青年团第一次全国代表大会在广州召开，标志中国青年团组织的正式成立．从此，青年团作为中国共产党的助手和后备军，在党的领导下团结带领全国各族青年，积极投身到振兴中华，实现中华民族伟大复兴的事业中．在5月日历表上随意用一个正方形方框圈出4个数（如图所示），若圈出的这四个数的和是64，求这个最小数（请用方程知识解答）．

【答案】这个最小数是12

【详解】解：设这个最小的数是.

根据题意，得.

解，得.

答：这个最小数是12.

15．某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．

(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？

(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？

(3)已知甲工程队每天施工费用为元，乙工程队每天施工费用为元，若该工程总费用政府拨款元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？

【答案】(1)30天

(2)9天

(3)甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是10天和15天

【分析】（1）解：天，

答：乙工程队单独完成需要30天；

（2）解：天，

答：还需要9天才能完成；

（3）解：设甲工程队需要施工x天，

，

解得：，

乙工程队需要施工=15天．

答：甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是10天和15天．

16．阅读下列材料，完成相应任务．

学习了一元一次方程之后，数学兴趣小组了解到如下信息：

我国的铁路旅客列车，按不同的进行速度、运行范围、设备配置、作业特征等，分为不同的级别，列车的级别由车次开头的字母来表示（部分是纯数字）．如G字头，表示高速动车组旅客列车；D字动，表示动车组旅客列车；C字头，表示城际旅客列车；K学头，表示快速旅客列年，等等．随着交通的发展吕梁站至太原南站已并通了多次列车，其中“C150”次列车的平均速度是120km/h，“K1334”次列车的平均速度是90km/h，并且“C150”次列车从吕梁站至太原南站所时间比“K1334”次列车少用30分钟（两列车中途停留时间均除外）．

兴趣小组提出了以下两个问题：

(1)“C150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时同分别是多少？

(2)吕梁站至太原南站的路程为多少km？

小彬列的方程是“”

任务一：①小彬同学所列方程中的x表示                         ，

②小彬同学列方程所用的数量关系为                         （“路程÷速度＝时间“除外）；

任务二：小亮的做法是：设“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为y小时，请你帮助小亮解决上述两个问题，写出解答过程．

【答案】(1)“C150”次列车和“K1334”次列车从吕梁站至太原南站所用时间分别是小时和2小时

(2)任务一：①吕梁站至太原南站的路程，②“C150”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“K1334”次列车少用30分钟；任务二：见解析

【分析】(1)设“”次列车从吕梁站至太原南站所用时间是小时，则“”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为小时，

根据题意得：，

解得，

，

答：“”次列车从吕梁站至太原南站所用时间是1.5小时，“”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为2小时；

(2)任务一：①在中，表示吕梁站至太原南站的路程，

故答案为：吕梁站至太原南站的路程；

②在中，列方程所用的数量关系为“”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“”次列车少用30分钟，

故答案为：“”次列车从吕梁站至太原南站所用时间比“”次列车少用30分钟；

任务二：设“”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为小时，则“”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为小时，

根据题意得：，

解得，

，

答：“”次列车从吕梁站至太原南站所用时间为2小时，“”次列车从吕梁站至太原南站所用时间是1.5小时．

培优第三阶——中考沙场点兵

1．（2022·江苏苏州·中考真题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是其最高的代数成就．《九章算术》中有这样一个问题：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”译文：“相同时间内，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步．若走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？（注：步为长度单位）”设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可列出的方程是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】解：令在相同时间内走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，从而得到走路快的人的速度，走路慢的人的速度，

设走路快的人要走x步才能追上，根据题意可得，

根据题意可列出的方程是，

故选：B．

2．（2022·辽宁营口·中考真题）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【详解】解：设快马x天可以追上慢马，

依题意，得： 240x-150x=150×12．

故选：D．

3．（2022·江苏南通·中考真题）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，余三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，多余3钱。问人数、羊价各是多少？若设人数为x，则可列方程为___________．

【答案】5x+45=7x-3

【详解】解：依题意，得：5x+45=7x-3．

故答案为：5x+45=7x-3．

4．（2022·江苏连云港·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：今有几个人共同出钱购买一件物品．每人出8钱，剩余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数、物品价格各是多少？请你求出以上问题中的人数和物品价格．

【答案】有7人，物品价格是53钱

【详解】解：设人数为人，由题意得

，

解得．

所以物品价格是．

答：有7人，物品价格是53钱．