上海高二上学期期中【易错、好题、压轴60题考点专练】（空间向量与立体几何、数列）-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）

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上海高二上学期期中【易错、好题、压轴60题考点专练】
（空间向量与立体几何、数列）
一．等差数列的性质（共1小题）
1．（2021秋•宝山区校级期中）若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝　 　时，{an}的前n项和最大．
二．等比数列的通项公式（共4小题）
2．（2020秋•黄浦区校级期中）已知数列{an}是等比数列，则方程组的解的情况为（　　）
A．唯一解 B．无解 C．无穷多组解 D．不能确定
3．（2020秋•普陀区校级期中）《算法统宗》中有一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”，问第二天走了（　　）
A．192里 B．96里 C．48里 D．24里
4．（2020秋•普陀区校级期中）等比数列{an}的公比q∈（0，1），且a152＝a26，则使a1+a2+⋯+an＞成立的正整数n的取值范围为 　 　．
5．（2020秋•嘉定区校级期中）在等比数列{an}中，已知a3a9＝7，则a6＝　 　．
三．数列的极限（共6小题）
6．（2020秋•杨浦区校级期中）已知是互相垂直的单位向量，向量满足：是向量与夹角的正切值，则数列{bn}是（　　）
A．单调递增数列且bn＝
B．单调递减数列且bn＝
C．单调递增数列且bn＝3
D．单调递减数列且 bn＝3
7．（2020秋•嘉定区期中）数列通项an＝（1﹣2x）n，若存在，则x的取值范围是（　　）
A． B． C．[0，1] D．[0，1）

8．（2020秋•嘉定区期中）设函数，点A0表示坐标原点，点An（n，f（n））（n∈N*），若向量＝++…+，θn是与的夹角，（其中），设Sn＝tanθ1+tanθ2+…+tanθn，则＝　 　．
9．（2020秋•普陀区校级期中）在无穷等比数列{an}中，若，则a1的取值范围是　 　．
10．（2020秋•黄浦区校级期中）若无穷等比数列{an}的各项和为3，则首项a1的取值范围为　 　．
11．（2020秋•普陀区校级期中）已知数列{log2（an﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1＝3，a2＝5，则＝　 　．
四．数学归纳法（共1小题）
12．（2020秋•黄浦区校级期中）用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”，第二步归纳假设应写成（　　）
A．假设n＝2k+1（k∈N*）正确，再推n＝2k+3正确
B．假设n＝2k﹣1（k∈N*）正确，再推n＝2k+1正确
C．假设n＝k（k∈N*）正确，再推n＝k+1正确
D．假设n＝k（k≥1）正确，再推n＝k+2正确
五．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积（共3小题）
13．（2021秋•徐汇区校级期中）已知长方体的表面积是24cm2，过同一顶点的三条棱长之和是6cm，则它的对角线长是　 　．
14．（2021秋•松江区校级期中）若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于　 　．
15．（2021秋•徐汇区校级期中）水管或煤气管的外部经常需要包扎，以便对管道起保护作用，包扎时用很长的带子缠绕在管道外部．若需要使带子全部包住管道且没有重叠的部分（不考虑管子两端的情况，如图所示），这就要精确计算带子的“缠绕角度α”（α指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分）．若带子宽度为1，水管直径为2，则“缠绕角度”α的余弦值为　 　．

六．棱柱、棱锥、棱台的体积（共9小题）
16．（2021秋•长宁区校级期中）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图1所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图2所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米．

（1）求该蒙古包的侧面积；
（2）求该蒙古包的体积．










17．（2021秋•杨浦区校级期中）如图，在三棱锥D﹣ABC中，AD⊥BC，BC＝1，AD＝1，且AB+BD＝AC+CD＝2，且△DBA≌△DCA，则四面体ABCD的体积的最大值为 　 　．

18．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，已知半径为2的球O的直径AB垂直于平面α，垂足为B，△BCD是平面α内边长为2的正三角形，线段AC，AD分别与球面交于点M，N，则三棱锥A﹣BMN的体积为 　 　．

19．（2021秋•徐汇区校级期中）△ABC的三边AB＝10，BC＝12，CA＝14，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，沿DF、EF、ED将△ADF，△CEF，△BED折起，使得A、B、C重合于P，则四面体P﹣DEF的体积为 　 　．
20．（2021秋•徐汇区校级期中）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为2，侧棱AA1到平面B1BCC1的距离不小于1，从此三棱柱中去掉以此侧棱AA1为直径的球所占的部分，余下的几何体的表面积与原三棱柱的表面积相等，则所剩几何体的体积最小值为 　 　．
21．（2021秋•浦东新区校级期中）已知三棱柱的底面△ABC的三边长分别是AB＝8，BC＝6，AC＝10，侧棱AA1＝5且与底面所成角为45°，则此三棱柱的体积为 　 　．
22．（2021秋•杨浦区校级期中）已知三棱锥P﹣ABC中，
（1）若PB＝PC＝BC＝AB＝AC＝2，且二面角P﹣BC﹣A为60°，求三棱锥P﹣ABC体积．
（2）若AB＝1，BC＝2，∠ABC＝，△PBA≌△CBA，面ABP⊥面ABC，D是BC的中点，设Q是线段PA上的动点，当PC与DQ所成角取得最小值时，求线段AQ的长度．





23．（2021秋•奉贤区校级期中）如图1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2，且AA1⊥平面ABC，过A1，C1，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）．
（1）求异面直线BC1与AA1所成角的大小（结果用反三角函数表示）；
（2）求四棱锥B﹣ACC1A1的体积和表面积．















24．（2021秋•杨浦区校级期中）向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x（0＜x＜1）的液体，旋转容器，若液面恰好经过正方体的某条对角线，则液面边界周长的最小值为　 　．
七．球的体积和表面积（共4小题）
25．（2021秋•奉贤区校级期中）两个球的体积之比为8：27，那么这两个球的表面积的比为　 　．
26．（2021秋•黄浦区校级期中）棱长为2的正方体外接球的表面积是　 　．
27．（2021秋•黄浦区校级期中）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 　 　．

28．（2021秋•杨浦区校级期中）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，AB⊥BC，AB＝1，，AA1＝4，则球O的体积是 　 　．
八．平面的基本性质及推论（共3小题）
29．（2021秋•杨浦区校级期中）在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱AB的中点，过E，D，C1作正方体的截面，则该截面的面积是 　 　．
30．（2021秋•闵行区期中）在空间四点中，三点共线是四点共面的 　 　条件．
31．（2021秋•杨浦区校级期中）设E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是 　 　．
九．异面直线的判定（共2小题）
32．（2021秋•徐汇区校级期中）设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和a，且长为a的棱与长为的棱异面，则a的取值范围是（　　）
A．（0，） B．（0，） C．（1，） D．（1，）
33．（2021秋•浦东新区期中）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合．已知两个相交平面α，β与两直线l1，l2，又知l1，l2在α内的射影为s1，s2，在β内的射影为t1，t2．试写出s1，s2与t1，t2满足的条件，使之一定能成为l1，l2是异面直线的充分条件　 　．
一十．空间中直线与直线之间的位置关系（共2小题）
34．（2021秋•金山区校级期中）若a，b是异面直线，则下列命题中的假命题为（　　）
A．过直线a有且仅有一个平面α与直线b平行
B．可能存在平面α与直线a，b都垂直
C．唯一存在一个平面α与直线a，b等距
D．过直线a至多可以作一个平面α与直线b垂直
35．（2021秋•浦东新区校级期中）在棱长为a的正方体中，与AD成异面直线且距离等于a的棱共有 　 　条．
一十一．直线与平面平行（共1小题）
36．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
（Ⅰ）求证：AM∥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角A﹣DF﹣B的大小．








一十二．直线与平面垂直（共1小题）
37．（2021秋•宝山区校级期中）已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是（　　）
A．α⊥β，m⊂β B．α∥β，n⊥β C．α⊥β，n∥β D．m∥α，n⊥m
一十三．平面与平面垂直（共1小题）
38．（2021秋•杨浦区校级期中）在三棱锥A﹣BCD中，若AD⊥BC，AD⊥BD，那么必有（　　）

A．平面ADC⊥平面BCD B．平面ABC⊥平面BCD
C．平面ABD⊥平面ADC D．平面ABD⊥平面ABC
一十四．共线向量与共面向量（共1小题）
39．（2020秋•徐汇区校级期中）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝+λ（+），λ＞0，则直线AP一定通过△ABC的（　　）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
一十五．空间向量的夹角与距离求解公式（共1小题）
40．（2021秋•松江区校级期中）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设，，．
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．












一十六．直线与平面所成的角（共5小题）
41．（2021秋•浦东新区校级期中）正三棱台侧面与底面所成角为，侧棱与底面所成角的余弦值为（　　）
A． B． C． D．
42．（2021秋•下城区校级期中）如图，平面OAB⊥平面α，OA⊂α，OA＝AB，∠OAB＝120°．平面α内一点P满足PA⊥PB，记直线OP与平面OAB所成角为θ，则tanθ的最大值是（　　）

A． B． C． D．
43．（2021秋•徐汇区校级期中）正方体中ABCD﹣A1B1C1D1，过D1作直线l，若直线l与平面ABCD中的直线所成角的最小值为，且直线l与直线BC1所成角为，则满足条件的直线l的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
44．（2021秋•闵行区校级期中）PA、PB、PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（　　）

A． B． C． D．
45．（2021秋•浦东新区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是矩形，且AD＝2，AB＝PA＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点．
（1）证明：PF⊥FD；
（2）求四棱锥P﹣ABCD的表面积；
（3）求直线PE与平面PFD所成角的大小．

一十七．二面角的平面角及求法（共6小题）
46．（2021秋•浦东新区校级期中）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；
（2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．




47．（2021秋•松江区校级期中）如图是一个直三棱柱（以A1B1C1为底面）被一平面所截得到的几何体，截面为ABC．已知A1B1＝B1C1＝1，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝2，CC1＝3．
（1）设点O是AB的中点，证明：OC∥平面A1B1C1；
（2）求二面角B﹣AC﹣A1的大小；
（3）求此几何体的体积．



48．（2021秋•金山区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且CD＝2AB．
（1）若AB＝AD，直线PB与CD所成的角为45°，求二面角P﹣CD﹣B的大小
（2）若E为线段PC上一点，试确定点E的位置，使得平面EBD⊥平面ABCD，并说明理由．





49．（2021秋•闵行区校级期中）如图，某人沿山坡PQB的直行道AB向上行走，直行道AB与坡脚（直）线PQ成60°角，山坡与地平面所成二面角B﹣PQ﹣M的大小为30°．
求：（1）直行道AB与地平面PQMN所成的角的大小；
（2）若此人沿直行道AB向上行走了200米，那么此时离地平面的高度为多少？









50．（2021秋•闵行区期中）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠ABC＝45°．
（1）求点A到平面A1BC的距离；
（2）求二面角A﹣A1C﹣B的大小．





51．（2021秋•闵行区校级期中）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝2，∠PAB＝60°．
（Ⅰ）证明：AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求异面直线PC与AD所成的角的大小；
（Ⅲ）求二面角P﹣BD﹣A的大小．









一十八．点、线、面间的距离计算（共9小题）
52．（2021秋•杨浦区校级期中）已知菱形ABCD的边长为a，．将菱形ABCD沿对角线折成二面角θ，若，则异面直线AC与BD距离的最大值为（　　）
A． B． C． D．
53．（2021秋•杨浦区校级期中）已知正四棱锥P﹣ABCD的底面边长为1，PA＝2，则顶点P到底面ABCD的距离为 　 　．
54．（2021秋•松江区校级期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝6，点P在平面AB1D1内，，则点P到BC1距离的最大值为 　 　．
55．（2021秋•闵行区校级期中）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，C1到平面B1BD的距离为 　 　．
56．（2021秋•宝山区校级期中）如图，在平行六面体ABCD﹣A'B'C'D中，||＝||＝1，||＝，∠BAA1＝∠DAA1＝45°，∠BAD＝60°，则||＝　 　．

57．（2021秋•虹口区校级期中）我们知道，在平面几何中，已知△ABC三边边长分别为a、b、c，面积为S，在△ABC内一点到三条边的距离相等设为r，则有r（a+b+c）＝S．现有三棱锥A﹣BCD的两条棱AB＝CD＝6，其余各棱长均为5，三棱锥A﹣BCD内有一点O到四个面的距离相等，则此距离等于 　 　．

58．（2021秋•普陀区校级期中）正四面体ABCD中，棱长为a，异面直线AB与CD之间的距离为 　 　．



59．（2021秋•浦东新区校级期中）在Rt△ABC中，已知BC＝12，AC＝5，D是斜边AB上任意一点（如图沿直线CD将△ABC折成直二面角B﹣CD﹣A）．若折叠后A，B两点间的距离为d，则d的最小值为 　 　．

60．（2021秋•松江区校级期中）如图，在棱长均为的正四面体ABCD中，M为AC中点，E为AB中点，P是DM上的动点，Q是平面ECD上的动点，则AP+PQ的最小值是 　 　．