上海高一上学期期中【压轴42题专练】-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修一）

上海高一上学期期中【压轴42题专练】

一、单选题

1．（2020·上海中学高一期中）已知非空集合满足以下两个条件：

（ⅰ），；

（ⅱ）的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，

则有序集合对的个数为 （     ）

A． B． C． D．

2．（2020·上海市金山中学高一期中）已知，，若，则对此不等式描述正

确的是

A．若，则至少存在一个以为边长的等边三角形

B．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形

C．若，则对任意满足不等式的都存在以为边长的三角形

D．若，则对满足不等式的不存在以为边长的直角三角形

3．（2021·上海·华师大二附中高一期中）已知实数，关于的不等式的解集为，则实数a、b、、从小到大的排列是(    )

A． B．

C． D．

4．（2021·上海·高一期中）已知的面积为，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

5．（2020·上海市新川中学高一期中）定义区间、、、的长度均为，已知实数，则满足的构成的区间的长度之和为（    ）

A． B． C．4 D．2

6．（2020·上海·复旦附中高一期中）设，，其中为实数，则下列命题中，正确的是（    ）

A．若函数的值域为，则.

B．若函数的值域为，则.

C．存在实数且，使函数的值域为.

D．存在实数且，使函数的值域为.

7．（2021·上海交大附中高一期中）已知x∈R，则“成立”是“成立”的（   ）条件．

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充分必要 D．既不充分也不必要

8．（2021·上海·位育中学高一期中）十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数时，关于的方程没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数学家安德鲁怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是

A．存在至少一组正整数组使方程有解

B．关于的方程有正有理数解

C．关于的方程没有正有理数解

D．当整数时，关于的方程没有正实数解

二、填空题

9．（2021·上海市进才中学高一期中）若实数、满足，则的取值范围是_______．

10．（2021·上海·位育中学高一期中）已知集合和，使得，，并且的元素乘积等于的元素和，写出所有满足条件的集合___________.

11．（2020·上海·华师大二附中高一期中）已知、、与、、是个不同的实数，若关于的方程的解集是有限集，则集合中最多有________个元素

12．（2021·上海·复旦附中高一期中）对于实数a，，函数在区间上的最大值记为，的最小值为______．

13．（2020·上海市晋元高级中学高一期中）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．

14．（2021·上海·格致中学高一期中）定义：为实数x，y中较小的数已知，其中a，b均为正实数，则h的最大值是_____________.

15．（2021·上海市建平中学高一期中）已知a为奇数且，则关于x的不等式的解集为___________．

16．（2021·上海·复旦附中高一期中）函数的值域为______．

17．（2021·上海·复旦附中高一期中）设函数，当函数的零点个数达到最大值时，实数k的取值范围为______．

18．（2020·上海·复旦附中高一期中）若函数的最大值为0，则实数a的取值范围是___________.

19．（2020·上海·曹杨二中高一期中）设则取到最小值时_______

20．（2021·上海市建平中学高一期中）设，若，则的取值范围为___________

三、解答题

21．（2021·上海市建平中学高一期中）对于任意有限集S，T，定义集合，表示S的元素个数．已知集合A，B为实数集R的非空有限子集，设集合．

(1)若，求集合C及其元素个数；

(2)若，求的值；

(3)已知D为有限集，若，证明：．

22．（2019·上海市金山中学高一期中）对于函数，若，则称为的“不动点”；若，则称为的“稳定点”．函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，．

（）设函数，求集合和．

（）求证：．

（）设函数，且，求证：．

23．（2019·上海·上外附中高一期中）已知集合，对于A的子集S若存在不大于的正整数，使得对于S中的任意一对元素、，都有，则称具有性质.

（1）当时，判断集合和是否具有性质P？并说明理由；

（2）若时，

①如果集合S具有性质P，那么集合是否一定具有性质P？并说明理由；

②如果集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值.

24．（2021·上海·位育中学高一期中）已知集合为非空数集，定义：，.

(1)若集合，求证：，并直接写出集合；

(2)若集合，，且，求证：；

(3)若集合，，记为集合中元素的个数，求的最大值.

25．（2021·上海市大同中学高一期中）设集合为非空数集，定义，、，，、．

(1)若，，写出集合、；

(2)若，，，，，且，求证：；

(3)若，且，求集合元素个数的最大值．

26．（2021·上海市控江中学高一期中）定理（三角不等式），对于任意的、，恒有.定义:已知且，对于有序数组、、、，称为有序数组、、、的波动距离，记作，即，请根据上述俼息解决以下几个问题:

(1)求函数的最小值，并指出函数取到最小值时的取值范围；

(2)①求有序数组、、、的波动距离；

②求证：若、、、且，则；题（注：该命题无需证明，需要时可直接使用）.设两两不相等的四个实数、、、，求有序数组、、、的波动距离的最大值.

27．（2020·上海市嘉定区第二中学高一期中）已知，，

（1）求的最小值.

（2）求的最大值.

（3）若不等式对任意及条件中的任意、恒成立，求实数的取值范围.

28．（2020·上海崇明·高一期中）若实数、、满足，则称比远离．

（1）若比远离1且，求实数的取值范围；

（2）设，其中，求证：比更远离；

（3）若，试问：与哪一个更远离，并说明理由．

29．（2021·上海交大附中高一期中）已知不等式，其中x，k∈R．

(1)若x＝4，解上述关于k的不等式；

(2)若不等式对任意k∈R恒成立，求x的最大值．

30．（2020·上海·古美高中高一期中）（1）解不等式：的解集

（2）若关于的不等式的解集为R，求的取值范围.

31．（2020·上海市川沙中学高一期中）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”．同时点是点的“下位点”；

（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

（2）已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论；

（3）设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，总存在正整数，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值．

32．（2020·上海市南洋模范中学高一期中）（1）关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围；

（2）解关于x的不等式；

（3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若中有且只有三个元素，求实数m的取值范围.

33．（2020·上海市松江一中高一期中）设函数,

（1）若不等式的解集为，求的值；

（2）若，求的最小值．

（3）若 求不等式的解集.

34．（2021·上海市复兴高级中学高一期中）（1）当时，解关于x的方程；

（2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围；

（3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围

35．（2021·上海中学高一期中）已知实数不全为0，给定函数，．记方程的解集为，方程的解集为，若满足，则称为一对“太极函数”．问：

(1)当，时，验证是否为一对“太极函救”；

(2)若为一对“太极函数”，求的值；

(3)已知为一对“太极函数”，若，，方程存在正根，求的取值范围（用含有的代数式表示）．

36．（2021·上海·复旦附中高一期中）设的定义域是，在区间上是严格减函数；且对任意，，若，则．

(1)求证：函数是一个偶函数；

(2)求证：对于任意的，．

(3)若，解不等式．

37．（2021·上海·复旦附中高一期中）双十一期间，商户为揽客拟定商品按y（元/斤）销售，售价随时间变化的关系为，且在上是严格减函数．

(1)姚女士需要在和两个时刻分两批屯商品，两次总共屯5斤.得知了商家的销售方案后，姚女士咨询了两位平台主播，主播小佳表示应该选择每次买相同重量的商品，主播小琦认为还是每次买相同总价的商品，请问到底哪种更划算？说明理由．

(2)商家决定售价按照来销售，而姚女士考虑在x时刻买200元，在时刻购买300元，请问她至多买多少斤？（答案精确到1斤）

38．（2020·上海市行知中学高一期中）若函数在定义域内的某个区间上是增函数，而在区间上是减函数，则称函数在区间上是“弱增函数”.

（1）分别判断，在区间上是否是“弱增函数”（不必证明）；

（2）若函数（、是常数）在区间上是“弱增函数”，求、应满足的条件；

（3）已知（是常数且），若存在区间使得在区间上是“弱增函数”，求的取值范围.

39．（2020·上海市行知中学高一期中）已知函数.

（1）若关于的不等式的解集是，求、的值

（2）若，与的定义域都是，使得恒成立，求实数的取值范围.

（3）若方程在区间上有两个不同的实根，求的取值范围.

40．（2021·上海·高一期中）已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）证明：在上单调递增.

（2）设，函数，如果总存在，对任意，都成立，求实数的取值范围.

41．（2020·上海市复兴高级中学高一期中）给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是：首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的，称为第一组余差；然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为）、第四组（余差为）、…，直至第N组（余差为）把这些数全部分完为止．

（1）判断，，…的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数；

（2）当构成第组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证；

（3）对任何满足条件T的有限个正数，证明：．

42．（2020·上海市进才中学高一期中）已知函数，，.

（1）若，求在上的最小值；

（2）若对于任意的实数恒成立，求a的取值范围；

（3）当时，求函数在上的最小值.