上海高一上学期期中【常考60题考点专练】-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修一）

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上海高一上学期期中【常考60题考点专练】
一．元素与集合关系的判断（共2小题）
1．（2021秋•浦东新区校级期中）若1∈{a，a2}，则a的值是　﹣1　．
【分析】根据元素和集合的关系即可得到结论．
【解答】解：∵1∈{a，a2}，
∴a＝1，或a2＝1，
解得a＝1或a＝﹣1，
当a＝1时，集合为{1，1}不成立，
∴a＝﹣1，
故答案为：﹣1
【点评】本题主要考查元素和集合关系的应用，注意求解之后要进行检验，比较基础．
2．（2021秋•黄浦区校级期中）若集合A＝{x|x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0，x∈Z}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是　　．
【分析】因为集合A中的条件是含参数的一元二次不等式，首先想到的是十字相乘法，但此题行不通；应该把此不等式等价转化为f（x）＜g（x）的形式，然后数形结合来解答，需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数．
【解答】解：∵x2﹣（a+2）x+2﹣a＜0 且a＞0
∴x2﹣2x+2＜a（x+1）
令f（x）＝x2﹣2x+2；g（x）＝a（x+1）
∴A＝{x|f（x）＜g（x），x∈Z}
∴y＝f（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；
而y＝g（x）一次函数，图象是过一定点（﹣1，0）的动直线．
又∵x∈Z，a＞0．数形结合，可得：．
故答案为：（，]

【点评】此题主要考查集合A的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题．
二．集合的确定性、互异性、无序性（共1小题）
3．（2021秋•黄浦区校级期中）若集合M＝{a，b，c}中的元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是（　　）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【分析】根据集合元素的互异性，在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，则△ABC不会是等腰三角形．
【解答】解：根据集合元素的互异性，
在集合M＝{a，b，c}中，必有a、b、c互不相等，
故△ABC一定不是等腰三角形；
故选：D．
【点评】本题较简单，注意到集合的元素特征即可．
三．集合的表示法（共1小题）
4．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则B＝　{2，4，6}　．
【分析】根据A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，从而得出x＝1时，y＝2；x＝2时，y＝4；x＝3时，y＝6，从而得出集合B．
【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，
∴B＝{2，4，6}．
故答案为：{2，4，6}．
【点评】考查列举法、描述法的定义，以及元素与集合的关系．
四．集合的包含关系判断及应用（共5小题）
5．（2021秋•嘉定区校级期中）满足{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}的集合A有　8　个．
【分析】由已知中{1，2}⊆A，可得1∈A，2∈A，又由A⊆{1，2，3，4，5}，可得A中元素只能从1，2，3，4，5中取，逐一列出满足条件的集合A，即可得到答案．
【解答】解：∵{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}
∴满足条件的集合A有：
{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，
{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
共8个
故答案为：8
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用，其中当元素个数不多时，用列举法表示出所有满足条件的集合A是解答的关键．
6．（2021秋•普陀区校级期中）已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|mx＝1}，且B⊆A，则m的值为　0或1或﹣1　．
【分析】根据集合B中的方程，可得B中至多一个元素，再由集合A中的元素可得B＝∅或B＝{﹣1}或B＝{1}．因此分三种情况讨论，分别解方程，即可得到实数m的值．
【解答】解：∵B⊆A，而A＝{﹣1，1}
∴B＝∅或B＝{﹣1}或B＝{1}
①当m＝0时，B＝{x|mx＝1}＝∅，符合题意；
②当B＝{﹣1}时，B＝{x|mx＝1}＝{﹣1}，可得m＝﹣1
③当B＝{1}时，B＝{x|mx＝1}＝{1}，可得m＝1
综上所述，m的值为0或1或﹣1
故答案为：0或1或﹣1
【点评】本题给出含有字母参数的一次方程，在已知集合包含关系的情况下求实数m的取值范围，着重考查了方程根的个数和集合包含关系等知识点，属于基础题．
7．（2021秋•黄浦区校级期中）设集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|2k﹣1≤x≤2k+1}，且A⊇B，则实数k的取值范围是　　．
【分析】由集合的包含关系，B中所有元素都在A中，结合数轴得到关于k的不等式组，解出即可．
【解答】解：2k﹣1≤2k+1恒成立，∴B≠∅，
因为A⊇B，
∴，
解得
故答案为：．
【点评】本题考查集合的关系问题，考查数形结合思想．
8．（2021秋•闵行区校级期中）已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|ax+1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为　{﹣1，0，1}　．
【分析】根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．
【解答】解：当a＝0时，B＝∅，B⊆A；
当a≠0时，B＝{﹣}⊆A，﹣＝1或﹣＝﹣1⇒a＝1或﹣1，
综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．
故答案是{﹣1，0，1}．
【点评】本题考查集合的包含关系及应用．
9．（2021秋•上海期中）已知集合A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝　1　．
【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2＝2m﹣1，而m2＝﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．
【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，
∴m2＝2m﹣1．解得m＝1．
验证可得符合集合元素的互异性，
此时B＝{3，1}，A＝{﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．
故答案为：1
【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．
五．子集与真子集（共1小题）
10．（2021秋•崇明区校级期中）若集合A＝{x|ax2+（a﹣6）x+2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝　0或2或18　．
【分析】推导出ax2+（a﹣6）x+2＝0只有一个实数解，从而a＝0或，由此能求出实数a的值．
【解答】解：∵集合A＝{x|ax2+（a﹣6）x+2＝0}有且仅有两个子集，
∴ax2+（a﹣6）x+2＝0只有一个实数解，
∴a＝0或，
解得实数a＝0或a＝2或a＝18．
故答案为：0或2或18．
【点评】本题考查实数值的求法，考查子集定义、一元二次方程等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
六．集合关系中的参数取值问题（共1小题）
11．（2021秋•虹口区校级期中）已知集合，B＝{x|（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0}，其中a＜1
（1）求集合A、B；
（2）若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
【分析】（1）解分式不等式求出集合A，解一元二次不等式求出集合B．
（2）由B⊆A，可得2a≥1或a+1≤﹣1，再由a＜1，求出实数a的取值范围．
【解答】解：（1）2﹣≥0，得≥0，x＜﹣1或x≥1，即A＝（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）．
由（x﹣a﹣1）（2a﹣x）＞0，得（x﹣a﹣1）（x﹣2a）＜0．
∵a＜1，∴a+1＞2a，∴B＝（2a，a+1）．
（2）若A∪B＝A，则有 B⊆A，∴2a≥1或a+1≤﹣1，即a≥或a≤﹣2．
而a＜1，∴≤a＜1或a≤﹣2，
故当B⊆A时，实数a的取值范围是．
【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，一元二次不等式和分式不等式的解法，属于中档题．
七．并集及其运算（共2小题）
12．（2021秋•普陀区校级期中）已知集合A＝{1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则A∪B＝　{1，2，3，4}　．
【分析】由已知中两个集合，我们根据集合并集运算的定义，A∪B中的元素属于A或属于B，直接可能得到结果，但要注意集合元素的互异性，不可出现有重复元素的情况．
【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，
∴A∪B＝{1，2，3，4}
故答案为：{1，2，3，4}
【点评】本题考查的知识点是集合的并集及其运算，集合有不同的表示方法，当一个集合为元素个数不多的有限数集，宜用列举法，属于基本题型．
13．（2021秋•奉贤区校级期中）已知关于x的不等式（a﹣x）（x+1）≥0的解集为A，不等式|x﹣1|＜1的解集为B．
（1）若a＝3，求A；
（2）若A∪B＝A，求正数a的取值范围．
【分析】（1）当a＝3时，可得不等式（3﹣x）（x+1）≥0，解不等式即可得到集合A；
（2）由A∪B＝A，得B⊆A，所以a＞0，此时A＝{x|﹣1≤x≤a}．由B是A的子集，得a≥2．
【解答】解：（1）a＝3，由（3﹣x）（x+1）≥0，得（x﹣3）（x+1）≤0，解得﹣1≤x≤3，
所以A＝{x|﹣1≤x≤3}．
（2）B＝{x||x﹣1|＜1}＝{x|0＜x＜2}．
由A∪B＝A，得B⊆A，所以a＞0，
此时A＝{x|﹣1≤x≤a}，所以a≥2，
即a的取值范围为[2，+∞）．
【点评】本题考查解一元二次不等式及绝对值不等式，集合的运算及包含关系，属于基础题．
八．交集及其运算（共4小题）
14．（2021秋•徐汇区校级期中）若集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q＝　{0，2}　．
【分析】运用集合的交集的定义，即可得到所求集合．
【解答】解：集合P＝{﹣1，0，1，2}，
Q＝{0，2，3}，
则P∩Q＝{﹣1，0，1，2}∩{0，2，3}
＝{0，2}．
故答案为：{0，2}．
【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．
15．（2021秋•黄浦区校级期中）若集合A＝{（x，y）|x+y＝3}，B＝{（x，y）|x﹣y＝1}，则A∩B＝　{（2，1）}　．
【分析】利用交集的性质求解．
【解答】解：∵集合A＝{（x，y）|x+y＝3}，B＝{（x，y）|x﹣y＝1}，
∴A∩B＝{（x，y）|}＝{（2，1）}．
故答案为：{（2，1）}．
【点评】利用求题考查交集的求法，是基础题，解题时要注意交集的性质的合理运用．
16．（2021秋•浦东新区校级期中）已知集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，则A∩B＝　{3，4}　．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝{1，2，3，4}，集合B＝{3，4，5}，
∴A∩B＝{3，4}．
故答案为：{3，4}．
【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．
17．（2021秋•黄浦区校级期中）设A＝{﹣4，2a﹣1，a2}，B＝{a﹣5，1﹣a，9}，已知A∩B＝{9}，求a的值．
【分析】由交集的定义可得9∈A且9∈B，有2a﹣1＝9或a2＝9，解得a，代入检验即可得到所求值．
【解答】解：∵A∩B＝{9}，∴9∈A且9∈B，
有2a﹣1＝9或a2＝9，
解得：a＝5，或a＝±3，
当a＝5时，A＝{﹣4，9，25}，B＝{0，﹣4，9}，
则有A∩B＝{﹣4，9}，与题意不相符，a＝5舍去．
当a＝3时，A＝{﹣4，9，5}，a﹣5＝1﹣a＝﹣2，
则与B中有3个元素不相符，∴a＝3舍去．
当a＝﹣3时，A＝{﹣4，﹣7，9}，B＝{﹣8，4，9}，
A∩B＝{9}，符合题意．
∴a＝﹣3．
【点评】本题考查集合的交集的运算，考查分类讨论思想方法，注意运用集合的元素互异性，考查运算能力，属于基础题和易错题．
九．充分条件与必要条件（共3小题）
18．（2021秋•奉贤区校级期中）已知a，b∈R，且ab≠0，则“a＞b”是“”成立的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】对a与b进行赋值，然后说明a＞b是否推出，以及能否推出a＞b，从而可得结论．
【解答】解：当a＝1＞b＝﹣1，＝1＞＝﹣1，故a＞b不能推出；
满足条件，取a＝﹣1，b＝1，不能推出a＞b
∴a＞b是的既不充分又不必要
故选：D．
【点评】本题主要考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，以及赋值法的应用，同时考查了分析问题的能力，属于基础题．
19．（2021秋•杨浦区校级期中）设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“”的　必要不充分　条件．
【分析】先利用一元二次不等式以及分式不等式的解法进行等价转化，然后利用充分条件与必要条件的定义判断即可．
【解答】解：因为x2﹣5x＜0等价于0＜x＜5，等价于1＜x＜2，
又（1，2）⫋（0，5），
所以“x2﹣5x＜0”是“”的必要不充分条件．
故答案为：必要不充分．
【点评】本题考查了充分条件与必要条件的判断，涉及了一元二次不等式以及分式不等式的解法，解题的关键是掌握充分条件与必要条件的判断方法，属于基础题．
20．（2021秋•黄浦区校级期中）设a∈R，则a＞1是＜1的　充分不必要　条件．
【分析】根据 由a＞1，一定能得到 ＜1．但当 ＜1．不能推出a＞1 （如 a＝﹣1时），从而得到结论．
【解答】解：由a＞1，一定能得到 ＜1，
但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a＝﹣1时），
故a＞1是 ＜1 的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
一十．等式与不等式的性质（共3小题）
21．（2021秋•崇明区校级期中）设a，b∈R，则下列命题正确的是（　　）
A．若x＞y，a＞b，则a﹣x＞b﹣y B．若a＞b，则
C．若x＞y，a＞b，则ax＞by D．若a＞|b|，则a2＞b2
【分析】由不等式的性质逐一判断即可．
【解答】解：对于A，若x＞y，a＞b，取x＝3，y＝2，a＝1，b＝0，可得a﹣x＝b﹣y，故A不正确；
对于B，若a＞0＞b，则＞，故B不正确；
对于C，若x＞y，a＞b，取x＝﹣1，y＝﹣2，a＝﹣2，b＝﹣4，则ax＜by，故C不正确；
对于D，若a＞|b|，则a＞|b|＞0，所以a2＞b2，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
22．（2021秋•长宁区校级期中）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．a2＞b2
C．a|c|＞b|c| D．
【分析】本题中a，b，c∈R，a＞b，三个参数的关系不定，故可以采用排除法对四个选项依次判断，排除错误的，得出正确选项．
【解答】解：A选项不对，当a＞0＞b时不等式不成立，故排除；
B选项不对，当a＝0，b＝﹣1时不等式不成立，故排除；
C选项不对，当c＝0时，不等式不成立，故排除；
D选项正确，由于，又a＞b故
故选：D．
【点评】本题考查不等式与不等式关系，考查不等式的性质，根据不等式的性质作出正确判断得出正确选项，本题易因考虑不全面选错答案，如武断认为a＞b得出致使出错．
23．（2021秋•徐汇区校级期中）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a2＜b2 B．ab2＜a2b
C． D．
【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项
【解答】解：A选项不正确，因为a＝﹣2，b＝1时，不等式就不成立；
B选项不正确，因为a＝1，b＝2时，不等式就不成立；
C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；
D选项不正确，因为a＝1，b＝2时，不等式就不成立；
故选：C．
【点评】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．
一十一．不等关系与不等式（共2小题）
24．（2021秋•嘉定区校级期中）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（　　）
A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ac（a﹣c）＞0
【分析】先研究a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可
【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，
∴c＜0＜a
由此知A选项ab＞ac正确，
由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，
由于b2可能为0，故C选项不正确，
由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确
故选：A．
【点评】本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．
25．（2021秋•上海期中）bg糖水中有ag糖（b＞a＞0），若再添mg糖（m＞0），则糖水变甜了．试根据这一事实，提炼出一个不等式　＜　．
【分析】b g糖水中有a g糖（b＞a＞0），若再添m g糖（m＞0），浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．
【解答】解：∵b g糖水中有a g糖，
糖水的浓度为：；
b g糖水中有a g糖（b＞a＞0），若再添m g糖（m＞0），
则糖水的浓度为：；
又糖水变甜了，说明浓度变大了，
∴＜．
故答案为：＜．
【点评】本小题主要考查不等式、不等式的应用等基础知识，考查运算理解能力，建模能力、化归与转化思想．属于基础题．
一十二．基本不等式及其应用（共8小题）
26．（2021秋•虹口区校级期中）若x＞0，y＞0，且x+y≤4，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】对于A、C、D举出反例即可，利用基本不等式即可证明B是正确的．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y≤4，∴，∴＝＝1，当且仅当x＝y，x+y＝4，即x＝y＝2时取等号．
故选：B．
【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．
27．（2021秋•徐汇区校级期中）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦﹣秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足a+b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意，p＝10，S＝＝，利用基本不等式，即可得出结论．
【解答】解：由题意，p＝10，S＝＝≤＝8，
∴此三角形面积的最大值为8．
故选：B．
【点评】本题考查面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．
28．（2021秋•徐汇区校级期中）已知x＞0，则的最小值为 　4　．
【分析】因为x＞0，直接利用基本不等式求出其最小值．
【解答】解：∵x＞0，则≥2＝4，当且仅当x＝ 时，等号成立，
故答案为 4．
【点评】本题主要考查基本不等式的应用，注意基本不等式的使用条件，并注意检验等号成立的条件，属于基础题．
29．（2021秋•徐汇区校级期中）已知正实数a，b满足，则（a+1）（b+9）的最小值是 　16　．
【分析】先根据基本不等式的性质得到ab≥1，再由题意得到9a+b＝6ab，即可求出（a+1）（b+9）的最小值．
【解答】解：正实数a，b满足足，
∴6＝+≥2，
即≥1，当且仅当＝时，即a＝，b＝3时取等号，
∵，
∴b+9a＝6ab，
∴（a+1）（b+9）＝9a+b+ab+9＝7ab+9≥7+9＝16，
故（a+1）（b+9）的最小值是16，
故答案为：16．
【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于中档题．
30．（2021秋•浦东新区校级期中）已知a＞0，b＞0且a+b＝3．式子的最小值是　2　．
【分析】令a+2019＝x，b+2020＝y，则x＞2019，y＞2020且x+y＝4042，然后利用乘1法，结合基本不等式可求．
【解答】解：令a+2019＝x，b+2020＝y，则x＞2019，y＞2020且x+y＝4042，
∴，
∴，
＝，
当且仅当且x+y＝4042，即x＝y＝2021，a＝2，b＝1时成立．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，换元法的应用是求解问题的关键．
31．（2021秋•上海期中）已知a＞1，则不等式a+的最小值为　1+2．　．
【分析】由基本不等式可得a+＝a﹣1++1≥1+2，检验取等号的条件．
【解答】解：a+＝a﹣1++1≥1+2，
当且仅当a﹣1＝，即a＝1+时等号成立．
∴不等式a+的最小值为1+2．
故答案为1+2．
【点评】本题考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键．基本不等式使用的条件：一正、二定、三相等．
32．（2021秋•闵行区校级期中）设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是　27　．
【分析】首先分析题目由实数x，y满足条件3≤xy2≤8，4≤≤9．求的最大值的问题．根据不等式的等价转换思想可得到：，，代入求解最大值即可得到答案．
【解答】解：因为实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，
则有：，，
再根据 ，即当且仅当x＝3，y＝1取得等号，
即有的最大值是27．
故答案为：27．
【点评】此题主要考查不等式的基本性质和等价转化思想，等价转换思想在考试中应用不是很广泛，但是对于特殊题目能使解答更简便，也需要注意，属于中档题．
33．（2018•上海二模）若实数x、y满足4x+4y＝2x+1+2y+1，则S＝2x+2y的取值范围是　（2，4]　．
【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于s的不等关系式，进而可求出s的取值范围．
【解答】解：∵4x+4y＝（2x+2y）2﹣2••2x2y＝s2﹣2•2x2y，2x+1+2y+1＝2（2x+2y）＝2s，
故原式变形为s2﹣2•2x2y＝2s，即2•2x2y＝s2﹣2s，
∵0＜2•2x2y≤2•（）2，即0＜s2﹣2s≤，当且仅当2x＝2y，即x＝y时取等号；
解得2＜s≤4，
故答案为（2，4]．
【点评】利用基本不等式，构造关于某个变量的不等式，解此不等式便可求出该变量的取值范围，再验证等号是否成立，便可确定该变量的最值，这是解决最值问题或范围问题的常用方法，应熟练掌握．
一十三．其他不等式的解法（共6小题）
34．（2021秋•长宁区校级期中）若关于x的不等式（1+k2）x≤k4+4的解集是M，则对任意实常数k，总有（　　）
A．2∈M，0∈M B．2∉M，0∉M C．2∈M，0∉M D．2∉M，0∈M
【分析】本题考虑2、0是否在不等式的解集中，可以代入验证，也可以求出不等式的解集再进行判断．原不等式是关于x的一次不等式
【解答】解：方法1：代入判断法，将x＝2，x＝0分别代入不等式中，判断关于k的不等式解集是
否为R；
方法2：求出不等式的解集：（1+k2）x≤k4+4；
故选：A．
【点评】本题考查含参数的不等式的解集问题，难度一般．
35．（2021秋•徐汇区校级期中）若不等式ax2+5x+1≤0的解集为，则不等式的解集为 　{x|x＞3}　．
【分析】直接利用不等式和方程的关系及一元二次方程根和系数关系式，进一步求出分式不等式的解．
【解答】解：不等式ax2+5x+1≤0的解集为，
所以是方程ax2+5x+1＝0的两根，
故，解得a＝6；
所以，
整理得，
所以x＞3；
故不等式的解集为：{x|x＞3}．
故答案为：{x|x＞3}．
【点评】本题考查的知识要点：不等式和方程的关系，一元二次方程根和系数关系式的应用，分式不等式的解法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
36．（2021秋•金山区校级期中）不等式≤0的解集为　（﹣2，1]　．
【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可得到结论，
【解答】解：不等式≤0等价为，
即，
即﹣2＜x≤1，
故不等式的解集为（﹣2，1]，
故答案为：（﹣2，1]
【点评】本题主要考查分式不等式的解法，将分式不等式转化为整式不等式是解决本题的关键．
37．（2021秋•虹口区校级期中）解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．
【分析】对a进行分类讨论，结合二次不等式和一次不等式的解法，可得答案．
【解答】解：当a＝0时，不等式的解为{x|x＞1}；
当a≠0时，分解因式a（x﹣）（x﹣1）＜0
当a＜0时，原不等式整理得：x2﹣x+＞0，即（x﹣）（x﹣1）＞0，
不等式的解为{x|x＞1或x＜}；
当a＞0时，原不等式整理得：x2﹣x+＜0，即（x﹣）（x﹣1）＜0，
当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为{x|1＜x＜}；
当a＞1时，＜1，不等式的解为{x|＜x＜1}；
当a＝1时，不等式的解为∅，
综上所述，当a＜0时，不等式的解为{x|x＞1或x＜}，
当a＝0时，不等式的解为{x|x＞1}，
当0＜a＜1时，不等式的解为{x|1＜x＜}，
当a＝1时，不等式的解为∅，
当a＞1时，不等式的解为{x|＜x＜1}．
【点评】本题考查的知识点是分类讨论思想，二次不等式和一次不等式的解法，难度中档．
38．（2021秋•徐汇区校级期中）已知函数f（x）＝（m+1）x2﹣mx+m﹣1（m∈R）．
（1）若不等式f（x）＜0的解集是空集，求m的取值范围；
（2）当m＞﹣2时，解不等式f（x）≥m；
（3）若不等式f（x）≥0的解集为D，若[﹣1，1]⊆D，求m的取值范围．
【分析】（1）不等式f（x）＜0的解集是空集，分m＝﹣1和m+1≠0两种情况求解；
（2）分m＝﹣1，m＞﹣1和﹣2＜m＜﹣1三种情况解不等式；
（3）由条件知对任意的x∈[﹣1，1]，不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥0恒成立，即恒成立，然后解出y＝的最大值可得m的范围．
【解答】解：（1）①当m+1＝0，即m＝﹣1时，f（x）＝x﹣2，不合题意；
②当m+1≠0，即m≠﹣1时，，
解得，∴m的取值范围是；
（2）∵f（x）≥m，∴（m+1）x2﹣mx﹣1≥0，即[（m+1）x+1]（x﹣1）≥0，
①当m+1＝0即m＝﹣1时，不等式的解集为[1，+∞）；
②当m+1＞0即m＞﹣1时，，
∵，∴不等式的解集为；
③当m+1＜0即﹣2＜m＜﹣1时，，
∵﹣2＜m＜﹣1，∴﹣1＜m+1＜0，∴，
∴不等式的解集为；
（3）不等式f（x）≥0的解集为D，若[﹣1，1]⊆D，
即对任意的x∈[﹣1，1]，不等式（m+1）x2﹣mx+m﹣1≥0恒成立，
即m（x2﹣x+1）≥﹣x2+1恒成立，
∵x2﹣x+1＞0恒成立，∴恒成立，
设t＝2﹣x，则t∈[1，3]，x＝2﹣t，
∴，，
∵，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当时取等号，
∴当时，的最大值为，
∴m的取值范围是．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，集合与集合间的关系和基本不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．
39．（2021秋•徐汇区校级期中）若不等式5﹣x＞7|x+1|与不等式ax2+bx﹣2＞0同解，而|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解集为空集，求实数k的取值范围．
【分析】先将“不等式5﹣x＞7|x+1|”转化为和两种情况求解，最后取并集，再由“与不等式ax2+bx﹣2＞0同解”，利用韦达定理求得a，b，最后由“|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解集为空集”求得“|x﹣a|+|x﹣b|”最小值即可．
【解答】解：得
或得﹣2＜x＜﹣1 （3分）
综上不等式的解集为，
又由已知与不等式ax2+bx﹣2＞0同解，
所以解得（7分）
则|x﹣a|+|x﹣b|≥|x﹣a﹣x+b|＝|b﹣a|＝5，
所以当|x﹣a|+|x﹣b|≤k的解为空集时，k＜5． （10分）
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解集与相应方程根的关系，以及不等式恒成立问题．
一十四．一元二次不等式及其应用（共6小题）
40．（2021秋•崇明区校级期中）已知关于x的不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），则的最大值是（　　）
A． B．﹣ C． D．
【分析】根据不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），利用韦达定理求出，x1+x2＝4a，代入利用基本不等式的性质求解．
【解答】解：不等式x2﹣4ax+3a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），
根据韦达定理，可得：，x1+x2＝4a，
那么：＝4a+．
∵a＜0，
∴﹣（4a+）≥2＝，即4a+≤﹣
故的最大值为．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了基本不等式的性质的运用的能力和计算能力，属于中档题．
41．（2021秋•黄浦区校级期中）已知使不等式x2+（a+1）x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x﹣1≤0，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意知不等式x2+（a+1）x+a≤0的解集是不等式3x﹣1≤0的解集的子集，由此列不等式求出实数a的取值范围．
【解答】解：解不等式3x﹣1≤0，得x≤，解集为（﹣∞，]．
由不等式x2+（a+1）x+a≤0，得（x+1）（x+a）≤0，
因为使不等式x2+（a+1）x+a≤0成立的任意一个x，都满足不等式3x﹣1≤0，
若a＝1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为{﹣1}，满足{﹣1}⊆（﹣∞，]，符合题意．
若a＜1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣1，﹣a]，则[﹣1，﹣a]⊆（﹣∞，]，所以﹣a≤，解得﹣≤a＜1．
若a＞1，则不等式（x+1）（x+a）≤0的解集为[﹣a，﹣1]，则[﹣a，﹣1]⊆（﹣∞，]，所以a＞1．
综上知，实数a的取值范围是[﹣，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力与分类讨论思想，是中档题．
42．（2021秋•普陀区校级期中）已知a1＞a2＞a3＞0，则使得（1﹣aix）2＜1（i＝1，2，3）都成立的x取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先解出不等式（1﹣aix）2＜1的解集，再由a1＞a2＞a3＞0确定x的范围．
【解答】解：，
所以解集为，又，
故选：B．
【点评】本题主要考查解一元二次不等式．属基础题．
43．（2021秋•奉贤区校级期中）设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是　6　．
【分析】对原不等式进行等价变形，利用根与系数的关系求出a、b的值，即可得出ab的值．
【解答】解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，
∴a＜0，
∴原不等式等价于﹣ax2﹣bx﹣1＜0，
由根与系数的关系，得﹣1+＝﹣，﹣1×3＝，
∴a＝﹣3，b＝﹣2，
∴ab＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和应用问题，也考查了根与系数的应用问题，是基础题目．
44．（2021秋•金山区校级期中）设[x]表示不超过x的最大整数，则不等式[x]2﹣5[x]+6≤0解集为　{x|2≤x＜4}　．
【分析】利用不等式[x]2﹣5[x]+6≤0求出[x]的范围，然后根据新定义[x]表示不超过x的最大整数，得到x的范围．
【解答】解：不等式[x]2﹣5[x]+6≤0化为（[x]﹣2）（[x]﹣3）≤0即或
解得：2≤[x]≤3或无解，所以解集为2≤[x]≤3，根据[x]表示不超过x的最大整数得不等式的解集为：2≤x＜4
故答案为：{x|2≤x＜4}
【点评】考查学生理解新定义的能力，会求一元二次不等式的解集．
45．（2021秋•崇明区校级期中）若关于x的不等式mx2﹣mx+1＜0的解集不是空集，则m的取值范围是　（﹣∞，0）∪（4，+∞）　．
【分析】分别讨论m＝0和m≠0，利用不等式mx2﹣mx+1＜0的解集不是空集，解出m的取值范围．
【解答】解：若m＝0，则原不等式等价为1＜0，此时不等式的解集为空集．所以不成立，即m≠0．
若m≠0，要使不等式mx2﹣mx+1＜0的解集不是空集，则
①m＞0时，有Δ＝m2﹣4m＞0，解得m＞4．
②若m＜0，则满足条件．
综上满足条件的m的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0）∪（4，+∞）．
【点评】本题主要考查一元二次不等式的基本解法，要注意分类讨论．
一十五．函数的最值及其几何意义（共2小题）
46．（2021秋•黄浦区校级期中）对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界，若a，b∈R+，且a+b＝1，则的上确界为（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣4
【分析】由题意可得﹣﹣＝﹣（a+b）（+）＝﹣（+2++），展开后，运用基本不等式可得所求值．
【解答】解：若a，b∈（0，+∞），且a+b＝1，
则﹣﹣＝﹣（a+b）（+）＝﹣（+2++）
≤﹣（+2）＝﹣，
当且仅当b＝2a＝时，上式取得等号，
则﹣﹣的上确界为﹣．
故选：B．
【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题．
47．（2021秋•奉贤区校级期中）设ave{a，b，c}表示实数a，b，c的平均数，max{a，b，c}表示实数a，b，c的最大值．设A＝ave{﹣x+2，x，x+1}，M＝max{﹣x+2，x，x+1}，若M＝3|A﹣1|，则x的取值范围是　{x|x＝﹣4或x≥2}　．
【分析】由已知中max{a，b，c}表示a，b，c三个实数中的最大数，若M＝3|A﹣1|＝|x|，M是一个分段函数，所以要对x的取值进行讨论，从而求出满足条件的x范围．
【解答】解：由题意易得A＝，故3|A﹣1|＝|x|＝，
∵M＝3|A﹣1|，
∴当x＜0时，﹣x＝，得x＝﹣4；
当0≤x＜1时，x＝，得x＝，舍去；
当1≤x＜2时，x＝，得x＝2，舍去；
当x≥2时，x＝x，恒成立，
综上所述，x＝﹣4或x≥2．
故答案为：{x|x＝﹣4或x≥2}．

【点评】点评：本题考查的知识点是分段函数的最值，运用了分类讨论思想和数形结合思想，结合函数的图象会更好理解．
一十六．有理数指数幂及根式（共1小题）
48．（2021秋•黄浦区校级期中）设a2x＝2，a＞0，则＝　　．
【分析】根据立方和公式即可求出．
【解答】解：a2x＝2，a＞0，
则ax＝2，
原式＝＝a2x﹣1+a﹣2x＝2﹣1+＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了指数幂的运算，考查了运算能力，属于基础题．
一十七．指数函数的图象与性质（共1小题）
49．（2021秋•徐汇区校级期中）函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值比最小值大，则a的值为　或　．
【分析】当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，由f（2）﹣f（1）＝，解得a的值．当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，由f（1）﹣f（2）＝，
解得a的值，综合可得结论．
【解答】解：由题意可得：
∵当a＞1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递增，
∴f（2）﹣f（1）＝a2﹣a＝，解得a＝0（舍去），或a＝．
∵当 0＜a＜1时，函数f（x）在区间[1，2]上单调递减，
∴f（1）﹣f（2）＝a﹣a2＝，解得a＝0（舍去），或a＝．
综上可得，a＝，或 a＝．
【点评】本题主要考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
一十八．指数函数的单调性与特殊点（共1小题）
50．（2021秋•浦东新区校级期中）函数y＝ax+1（a＞0且a≠1）的图象过定点　（﹣1，1）　．
【分析】根据指数函数恒过定点（0，1）以及图象的平移变换的知识解决问题．
【解答】解：因为函数y＝ax的图象过点定（0，1），而y＝ax+1的图象是由y＝ax的图象沿x轴向左平移一个单位得到的．故图象过点（﹣1，1）．
故答案为（﹣1，1）．
【点评】本题考查了指数函数过定点的知识以及图象的平移变换即左加右减的知识，属于基础题．
一十九．指数函数的实际应用（共1小题）
51．（2021秋•黄浦区校级期中）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（　　）（ln19≈3）
A．60 B．63 C．66 D．69
【分析】根据所给材料的公式列出方程＝0.95K，解出t即可．
【解答】解：由已知可得＝0.95K，解得e﹣0.23（t*﹣53）＝，
两边取对数有﹣0.23（t*﹣53）＝﹣ln19，
解得t*≈66，
故选：C．
【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于中档题
二十．对数的运算性质（共2小题）
52．（2021秋•普陀区校级期中）已知3a＝2，那么log38﹣2log36用a表示是（　　）
A．a﹣2 B．5a﹣2 C．3a﹣（1+a）2 D．3a﹣a2
【分析】先表示出a＝，结合对数的运算性质，从而得到答案．
【解答】解：∵3a＝2，∴a＝，
∴﹣2＝3﹣2（+1）＝3a﹣2（a+1）＝a﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了对数函数的性质，考查了导数的运算，是一道基础题．
53．（2021秋•金山区校级期中）若log2[log3（log4x）]＝0，则x＝　64　．
【分析】利用对数的运算性质：loga1＝0，logaa＝1（a＞0，a≠1），对数式化为指数式即可得出．
【解答】解：∵log2[log3（log4x）]＝0，
∴log3（log4x）＝1，
∴log4x＝3，
∴x＝43＝64．
故答案为：64．
【点评】本题考查了对数的运算性质、对数式化为指数式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二十一．换底公式的应用（共2小题）
54．（2021秋•普陀区校级期中）已知log189＝a，18b＝5．则log3645等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用对数的换底公式即可得出，．对再利用对数的换底公式即可得出．
【解答】解：∵18b＝5，∴＝，又，联立解得．
∴＝＝＝＝．
故选：B．
【点评】熟练掌握对数的换底公式和对数的运算法则是解题的关键．
55．（2021秋•虹口区校级期中）已知log189＝a，18b＝5，则log3645＝　　（用a，b表示）．
【分析】利用对数的换底公式即可求出．
【解答】解：∵log189＝a，b＝log185，
∴a+b＝log189+log185＝log18（9×5）＝log1845，log1836＝log18（2×18）＝1+log182＝＝2﹣log189＝2﹣a；
∴log3645＝＝．
故答案为．
【点评】熟练掌握对数的换底公式是解题的关键．要善于观察恰当找出底数．
二十二．反证法（共2小题）
56．（2021秋•黄浦区校级期中）用反证法证明命题：“已知a、b∈N+，如果ab可被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（　　）
A．a、b都能被5整除 B．a、b都不能被5整除
C．a、b不都能被5整除 D．a不能被5整除
【分析】反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．
【解答】解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．
命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能被5整除”．
故选：B．
【点评】反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．
57．（2021秋•徐汇区校级期中）著名的哥德巴赫猜想指出：“任何大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，用反证法研究该猜想，应假设的内容是 　存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和　．
【分析】根据反证法的定义对结论进行假设即可．
【解答】解：由反证法的定义得假设的内容为存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和，
故答案为：存在一个大于2的偶数不可以表示为两个素数的和
【点评】本题主要考查反证法的应用，结合反证法的定义和步骤是解决本题的关键．比较基础．
二十三．绝对值不等式（共2小题）
58．（2021秋•浦东新区校级期中）若关于x的不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a在R上恒成立，则实数a的取值范围是　（﹣∞，1]　．
【分析】根据绝对值的意义|x﹣2|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到2和a对应点的距离之和，它的最小值等于|a﹣2|，可得答案．
【解答】解：|x﹣2|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到2和a对应点的距离之和，它的最小值等于|a﹣2|，
由不等式|x﹣2|+|x﹣a|≥a恒成立知，a≤|a﹣2|，
解得：a≤1
故答案为：（﹣∞，1]．
【点评】本题考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，求出|x﹣2|+|x﹣a|的最小值，是解题的关键．
59．（2021秋•奉贤区校级期中）如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是　（1，+∞）　．
【分析】先求表达式|x﹣3|+|x﹣4|的最小值，要求解集不是空集时实数a的取值范围，只要a大于表达式|x﹣3|+|x﹣4|的最小值即可．
【解答】解：|x﹣3|+|x﹣4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和，
当x在3、4之间时，这个距离和最小，是1．其它情况都大于1，
所以|x﹣3|+|x﹣4|≥1，
如果不是空集，所以a＞1，
故答案为：（1，+∞）．
【点评】本题考查绝对值不等式的几何意义，是基础题．
二十四．绝对值不等式的解法（共1小题）
60．（2021秋•徐汇区校级期中）设关于x的不等式|x2﹣4x+m|≤x+4的解集为A，且0∈A，2∉A，则实数m的取值范围是　[﹣4，﹣2）　．
【分析】由题意得|0﹣0+m|≤4 ①，且|4﹣8+m|＞6 ②分别求出①②的解集，最后把它们的解集取交集．
【解答】解：∵0∈A，2∉A，
∴|0﹣0+m|≤4 ①，且|4﹣8+m|＞6 ②，
由①得﹣4≤m≤4，
由②得 m＞10，或 m＜﹣2．
①和②的解集取交集得﹣4≤m＜﹣2，故实数m的取值范围是[﹣4，﹣2），
故答案为[﹣4，﹣2）．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，关键是却掉绝对值符号，转化为不带绝对值号的不等式来解．