上海高一上学期期中【易错60题考点专练】-2022-2023学年高一数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修一）

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上海高一上学期期中【易错60题考点专练】
一．集合的表示法（共3小题）
1．（2021秋•浦东新区期中）已知集合M＝{x|（x﹣a）（x2﹣ax+a﹣1）＝0}中各元素之和为3，则实数a的值为　2或　．
【分析】先求出方程的解，x＝a，a﹣1，或1．由于集合中的元素要满足互异性，所以需讨论方程解的情况，分成a＝1，a﹣1＝1，a≠1且a﹣1≠1三种情况进行讨论，根据元素之和为3便可求出a．
【解答】解：x2﹣ax+a﹣1＝[x﹣（a﹣1）]（x﹣1）＝0；
∴方程（x﹣a）（x2﹣ax+a﹣1）＝0的解为：
x1＝a，x2＝a﹣1，x3＝1；
若a＝1，则A＝{1，0}，不满足A中元素之和为3；
若a﹣1＝1，则A＝{2，1}，元素和为3；
若a≠1，且a≠2，则A＝{a，a﹣1，1}，∴a+a﹣1+1＝3，解得a＝．
∴a＝2或a＝．
故答案为：2或．
【点评】注意需对方程解中是否有相等的情况进行讨论，不能直接让方程的解的和为3求a，并且讨论时不要漏了可能的情况．
2．（2021秋•徐汇区校级期中）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则B＝　{2，4，6}　．
【分析】根据A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，从而得出x＝1时，y＝2；x＝2时，y＝4；x＝3时，y＝6，从而得出集合B．
【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，
∴B＝{2，4，6}．
故答案为：{2，4，6}．
【点评】考查列举法、描述法的定义，以及元素与集合的关系．
3．用列举法表示方程x2+5x﹣6＝0的解集为 　{﹣6，1}　．
【分析】由方程x2+5x﹣6＝0解得x＝﹣6或1，然后写成集合形式．
【解答】解：由方程x2+5x﹣6＝0解得x＝﹣6或1，
∴方程x2+5x﹣6＝0的解集为{﹣6，1}．
故答案为：{﹣6，1}．
【点评】本题考查一元二次方程解法及集合表示，考查数学运算能力，属于基础题．
二．集合的包含关系判断及应用（共2小题）
4．（2021秋•上海期中）设A、B是非空集合，A＝{a|a具有性质α}，B＝{b|b具有性质β}，若β⇒α，则（　　）
A．A⊆B B．B⊆A C．A∩B＝∅ D．以上都不对
【分析】利用集合的子集的定义判断即可．
【解答】解：若x∈B＝{b|b具有性质β}，
则x具有性质β，
∵β⇒α，
∴x具有性质α，
∴x∈A＝{a|a具有性质α}，
故B⊆A，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的子集的定义，属于基础题．
5．（2021秋•上海期中）已知集合A＝{﹣1，3，2m﹣1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝　1　．
【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2＝2m﹣1，而m2＝﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．
【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，
∴m2＝2m﹣1．解得m＝1．
验证可得符合集合元素的互异性，
此时B＝{3，1}，A＝{﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．
故答案为：1
【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．
三．子集与真子集（共2小题）
6．（2021秋•虹口区校级期中）设A∪{1，2}＝{1，2，3，4}，则满足条件的集合A共有 　4　个．
【分析】化简可得{3，4}⊆A⊆{1，2，3，4}，从而求集合A的个数．
【解答】解：∵A∪{1，2}＝{1，2，3，4}，
∴{3，4}⊆A⊆{1，2，3，4}，
而{3，4}中有2个元素，
{1，2，3，4}中有4个元素，
故满足条件的集合A共有24﹣2＝4个，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有n个元素的集合，其子集个数为2n个，属于基础题．
7．（2021秋•浦东新区期中）集合{0，1，2}的子集个数为 　8　．
【分析】利用有限集合子集个数的结论直接写出答案即可．
【解答】解：∵集合{0，1，2}中有3个元素，
∴集合{0，1，2}有23＝8个子集，
故答案为：8．
【点评】本题考查了有限集合子集个数的结论，属于基础题．
四．交集及其运算（共6小题）
8．（2018秋•浦东新区校级期中）已知集合M＝{y|x+y＝1，x∈R}，N＝{y|x﹣y＝1，x∈R}，则M∩N＝（　　）
A．（1，0） B．{（1，0）} C．{0} D．R
【分析】可看出M＝R，N＝R，从而得出M∩N＝R．
【解答】解：∵M＝R，N＝R；
∴M∩N＝R．
故选：D．
【点评】考查描述法、列举法的定义，以及交集的定义及运算．
9．（2021秋•虹口区校级期中）已知集合M＝{y|y＝x2﹣x，x∈R}，N＝{y|y＝x，x∈R，y∈R}，则M∩N＝（　　）
A．∅ B．{（0，0），（2，2）}
C．{0，2} D．[，+∞）
【分析】可求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．
【解答】解：∵，N＝R，
∴M∩N＝．
故选：D．
【点评】本题考查了集合的描述法和区间的定义，配方求二次函数值域的方法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．
10．（2021秋•虹口区校级期中）已知全集为I＝{x|1≤x≤9，x∈N}，A＝{3，6，9}，B＝{2，4，6，8}，则＝　{3，9}　．
【分析】进行交集和补集的运算即可．
【解答】解：∵I＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，B＝{2，4，6，8}，
∴，且A＝{3，6，9}，
∴．
故答案为：{3，9}．
【点评】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集和补集的定义及运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
11．（2021秋•黄浦区校级期中）设全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S＝{1，3，5}，集合T＝{3，6}，则∩＝　{2，4，7，8}　．
【分析】由已知求得与，再由交集运算得答案．
【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合S＝{1，3，5}，集合T＝{3，6}，
∴，，
则∩＝{2，4，7，8}．
故答案为：{2，4，7，8}．
【点评】本题考查交集与补集的混合运算，是基础题．
12．（2021秋•徐汇区校级期中）若集合P＝{﹣1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q＝　{0，2}　．
【分析】运用集合的交集的定义，即可得到所求集合．
【解答】解：集合P＝{﹣1，0，1，2}，
Q＝{0，2，3}，
则P∩Q＝{﹣1，0，1，2}∩{0，2，3}
＝{0，2}．
故答案为：{0，2}．
【点评】本题考查集合的交集的求法，注意运用定义法，考查运算能力，属于基础题．
13．（2021秋•长宁区校级期中）已知A＝{x|x为矩形}，B＝{x|x为菱形}，则A∩B＝　{x|x为正方形}　．
【分析】矩形的几何特征是有一个角为直角的平行四边形，菱形的几何特征是邻边相等的平行四边形，故两集合的交集中元素的几何特征是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形，由此可得．
【解答】解：∵A＝{x|x为矩形}，∴其元素的几何特征是有一个角为直角的平行四边形，
∵B＝{x|x为菱形}，∴其元素的几何特征是邻边相等的平行四边形，
由交集的性质，A∩B中元素的特征是有一个角是直角且邻边相等的平行四边形，这样的图形是正方形，
故A∩B＝{x|x为正方形}
故答案为 {x|x为正方形}
【点评】本题考点是交集及其运算，考查背景是四边形，此是一个集合的运算与平面几何相结合的题型，以集合的方式考查几何图形的性质．
五．交、并、补集的混合运算（共1小题）
14．（2020秋•嘉定区校级期中）若A＝{x||x﹣|＜1}，B＝{x|≥1}，定义A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，则A×B＝（　　）
A．∪ B．∪
C． D．（0，1]
【分析】本题要抓住A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}中x所满足的条件，然后求出A∪B、A∩B的解集，最后再求出（A∪B）∩（A∩B）解集即为所求．
【解答】解：∵A＝{x||x﹣|＜1}，B＝{x|≥1}，
∴，B＝{x|0＜x≤1}，
∴A∩B＝{x|0＜x≤1}，，
∴
故选：B．
【点评】理解题目A×B中x所满足的条件是关键，同时要会求绝对值不等式和分式不等式的解集，会求两个集合的交集、并集．
六．Venn图表达集合的关系及运算（共1小题）
15．（2020秋•黄浦区校级期中）下列表示图中的阴影部分的是（　　）

A．（A∪C）∩（B∪C） B．（A∪B）∩（A∪C）
C．（A∪B）∩（B∪C） D．（A∪B）∩C
【分析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．
【解答】解：图中阴影部分表示元素满足：
是C中的元素，或者是A与B的公共元素
故可以表示为C∪（A∩B）
也可以表示为：（A∪C）∩（B∪C）
故选：A．
【点评】韦恩图是分析集合关系时，最常借助的工具，其特点是直观，要分析韦恩图分析阴影部分表示的集合，要先分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．
七．充分条件与必要条件（共6小题）
16．（2021秋•上海期中）a、b是整数，“ab是偶数”是“a和b都是偶数”的（　　）条件．
A．充分 B．必要
C．充分必要 D．既不充分也不必要
【分析】根据两个整数相乘的奇偶性即可判断出关系．
【解答】解：“a和b都是偶数”⇒“ab是偶数”；反之不成立，举反例，取a＝2，b＝3，则ab＝6为偶数．
∴“ab是偶数”是“a和b都是偶数”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充要条件的判定方法、整数相乘的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
17．（2021秋•虹口区校级期中）“a＝0”是关于x的不等式ax﹣b≥1的解集为R的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
【分析】求出不等式ax﹣b≥1的解集为R时的充要条件，即可得出结论．
【解答】解：关于x的不等式ax﹣b≥1的解集为R时，应满足，即；
所以“a＝0”是关于x的不等式ax﹣b≥1的解集为R的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，是基础题．
18．（2021秋•普陀区校级期中）若命题α为“x＝1”，命题β为“x2＝1”，则α是β的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充分必要 D．既不充分又不必要
【分析】根据充要条件的定义，即可判断得出答案．
【解答】解：当“x＝1”时，“x2＝1”成立，
当“x2＝1”时，“x＝±1”故“x＝1”不一定成立，
即“x＝1”是“x2＝1”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，是基础题．
19．（2021秋•浦东新区期中）“x＜1”是“x﹣2＜0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】利用充要条件的定义判定即可．
【解答】解：①当x＜1时，则x﹣2＜0成立，∴充分性成立，
②当x＝1.5时，x﹣2＜0成立，但x＜1不成立，∴必要性不成立，
故x＜1是x﹣2＜0的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题考查了充要条件的判定，属于基础题．
20．（2021秋•黄浦区校级期中）设a∈R，则a＞1是＜1的　充分不必要　条件．
【分析】根据 由a＞1，一定能得到 ＜1．但当 ＜1．不能推出a＞1 （如 a＝﹣1时），从而得到结论．
【解答】解：由a＞1，一定能得到 ＜1，
但当＜1时，不能推出a＞1 （如 a＝﹣1时），
故a＞1是 ＜1 的充分不必要条件，
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
21．（2021秋•嘉定区校级期中）“x＞4”是“x＞2”的　充分不必要　条件．
【分析】x＞4⇒x＞2，反之不成立，即可判断出结论．
【解答】解：x＞4⇒x＞2，反之不成立，
∴“x＞4”是“x＞2”的充分不必要条件．
故答案为：充分不必要．
【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
八．等式与不等式的性质（共3小题）
22．（2021秋•长宁区校级期中）若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（　　）
A． B．a2＞b2
C．a|c|＞b|c| D．
【分析】本题中a，b，c∈R，a＞b，三个参数的关系不定，故可以采用排除法对四个选项依次判断，排除错误的，得出正确选项．
【解答】解：A选项不对，当a＞0＞b时不等式不成立，故排除；
B选项不对，当a＝0，b＝﹣1时不等式不成立，故排除；
C选项不对，当c＝0时，不等式不成立，故排除；
D选项正确，由于，又a＞b故
故选：D．
【点评】本题考查不等式与不等式关系，考查不等式的性质，根据不等式的性质作出正确判断得出正确选项，本题易因考虑不全面选错答案，如武断认为a＞b得出致使出错．
23．（2021秋•徐汇区校级期中）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a2＜b2 B．ab2＜a2b
C． D．
【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项
【解答】解：A选项不正确，因为a＝﹣2，b＝1时，不等式就不成立；
B选项不正确，因为a＝1，b＝2时，不等式就不成立；
C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；
D选项不正确，因为a＝1，b＝2时，不等式就不成立；
故选：C．
【点评】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．
24．（2021秋•浦东新区期中）已知﹣1≤a≤1，1≤b≤3，则3a﹣b的取值范围是 　[﹣6，2]　．
【分析】根据条件求出﹣3≤3a≤3，﹣3≤﹣b≤﹣1，求解即可．
【解答】解：∵﹣1≤a≤1，1≤b≤3，
∴﹣3≤3a≤3，﹣3≤﹣b≤﹣1，
∴﹣6≤3a﹣b≤2，
∴3a﹣b的取值范围是[﹣6，2]．
故答案为：[﹣6，2]．
【点评】本题考查了不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．
九．不等关系与不等式（共2小题）
25．（2021秋•嘉定区校级期中）已知a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则下列选项中一定成立的是（　　）
A．ab＞ac B．c（b﹣a）＜0 C．cb2＜ab2 D．ac（a﹣c）＞0
【分析】先研究a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0结构，再由不等式的运算性质结合题设中的条件对四个选项逐一验证得出正确选项即可
【解答】解：∵a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，
∴c＜0＜a
由此知A选项ab＞ac正确，
由于c（b﹣a）＞0知B选项不正确，
由于b2可能为0，故C选项不正确，
由于ac＜0，a﹣c＞0，故ac（a﹣c）＜0，所以D不正确
故选：A．
【点评】本题考查不等式与不等关系，主要考查了不等式的性质及运算，解决本题的关键就是熟练掌握不等式的性质与运算，对基本概念及运算的灵活运用是快捷解题的保证．
26．（2021秋•普陀区校级期中）设a，b为实数，则a2+b2　≥　2a﹣2b﹣2（填“＞，≥，＜或≤”）
【分析】作差，再配方，就可比较大小．
【解答】解：a2+b2﹣（2a﹣2b﹣2）＝（a﹣1）2+（b+1）2≥0，当且仅当a＝1，b＝1时取等，
∴a2+b2≥2a﹣2b﹣2，
故答案为：≥．
【点评】本题考查利用作差法比较大小，属于基础题．
一十．基本不等式及其应用（共5小题）
27．（2021秋•虹口区校级期中）若x＞0，y＞0，且x+y≤4，则下列不等式中恒成立的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】对于A、C、D举出反例即可，利用基本不等式即可证明B是正确的．
【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+y≤4，∴，∴＝＝1，当且仅当x＝y，x+y＝4，即x＝y＝2时取等号．
故选：B．
【点评】熟练掌握基本不等式的性质是解题的关键．
28．（2020秋•普陀区校级期中）小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b（a＜b），其全程的平均时速为v，则（　　）
A．a＜v＜ B．v＝ C．＜v＜ D．v＝
【分析】设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S，则v＝＝及0＜a＜b，利用基本不等式及作差法可比较大小
【解答】解：设小王从甲地到乙地按时速分别为a和b，行驶的路程S
则v＝＝
∵0＜a＜b
∴a+b＞0
∴
∵v﹣a＝＝＝
∴v＞a
综上可得，
故选：A．
【点评】本题主要考查了基本不等式在实际问题中的应用，比较法中的比差法在比较大小中的应用．
29．（2020秋•普陀区校级期中）a∈R，则的最小值是　2　，此时a＝　0　．
【分析】首先，讲所给式子化简为+，然后，换元，利用函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：
＝＝+，
令＝t，（t≥1），
∴y＝t+，在[1，+∞）上为增函数，
∴t＝1时，该函数取得最小值为2，此时a＝0．
故答案为：2，0．
【点评】本题重点考查了函数的单调性、换元法在求解函数最值中的应用等知识，属于中档题．
30．（2019秋•徐汇区校级期中）已知正实数x，y满足x+3y＝1，则xy的最大值为　　．
【分析】运用基本不等式得出x+3y＝1，化简求解xy即可．
【解答】解；∵正实数x，y满足x+3y＝1，
∴x+3y＝1，
化简得出xy（x＝3y＝等号成立）
xy的最大值为（＝，y＝等号成立）
故答案为：
【点评】本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断，变形得出不等式的条件，属于容易题．
31．（2021秋•上海期中）已知a＞1，则不等式a+的最小值为　1+2．　．
【分析】由基本不等式可得a+＝a﹣1++1≥1+2，检验取等号的条件．
【解答】解：a+＝a﹣1++1≥1+2，
当且仅当a﹣1＝，即a＝1+时等号成立．
∴不等式a+的最小值为1+2．
故答案为1+2．
【点评】本题考查基本不等式的应用，式子的变形是解题的关键．基本不等式使用的条件：一正、二定、三相等．
一十一．其他不等式的解法（共2小题）
32．（2018秋•嘉定区校级期中）不等式＜1的解集为　（1，+∞）∪（﹣∞，0）　．
【分析】首先移项通分，等价变形为整式不等式解之
【解答】解：原不等式等价于，即x（x﹣1）＞0，
所以不等式的解集为（1，+∞）∪（﹣∞，0）；
故答案为：（1，+∞）∪（﹣∞，0）
【点评】本题考查了分式不等式的解法；关键是正确转化为整式不等式解之．
33．（2021春•浦东新区校级期中）不等式＞1的解集为　{x|0＜x＜1}　．
【分析】将不等式＞1移项后通分，即可求得不等式的解集．
【解答】解：∵＞1，
∴﹣1＝＞0，
∴＞0，
∴0＜x＜1．
∴不等式的解集为{x|0＜x＜1}．
故答案为：{x|0＜x＜1}．
【点评】本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题．
一十二．一元二次不等式及其应用（共2小题）
34．（2018秋•金山区校级期中）已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（﹣2，3），则关于x的不等式cx+b+a＜0的解集为 　[0，）　．
【分析】利用一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣2，3）构造解集为（﹣2，3）和ax2+bx+c＞0是同解不等式然后可得出a，b，c，再代入求cx+b+a＜0的解集即可．
【解答】解：∵（x+2）（x﹣3）＜0的解集为（﹣2，3）
则﹣x2+x+6＞0与ax2+bx+c＞0是同解不等式，
∴a＝﹣1，b＝1，c＝6
则关于x的不等式cx+b+a＜0的解集即为6x+﹣1＜0的解集
∴6+﹣1＜0即（2+1）（3﹣1）＜0
解得0≤x＜
故关于x的不等式cx+b+a＜0的解集为[0，）
故答案为：[0，）
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法．解题的关键是要利用解集构造出同解不等式，属于基础题．
35．（2021秋•奉贤区校级期中）集合P＝{x|0＜x≤5，x∈Z}，M＝{x|x2≤25}，则P∩M＝　{1，2，3，4，5}　．
【分析】集合P＝{x|0＜x≤5，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，M＝{x|x2≤25}＝[﹣5，5]，依次可解决此题．
【解答】解：∵集合P＝{x|0＜x≤5，x∈Z}＝{1，2，3，4，5}，M＝{x|x2≤25}＝[﹣5，5]，
∴P∩M＝{1，2，3，4，5}．
故答案为：{1，2，3，4，5}．
【点评】本题考查集合运算，考查数学运算能力，属于基础题．
一十三．函数的概念及其构成要素（共2小题）
36．（2018秋•黄浦区期中）集合M＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形，其中能表示以M为定义域，N为值域的函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】本题考查的是函数的概念和图象问题．在解答时首先要对函数的概念从两个方面进行理解：一是对于定义域内的任意一个自变量在值域当中都有唯一确定的元素与之对应，二是满足一对一、多对一的标准，绝不能出现一对多的现象．
【解答】解：由题意可知：M＝{x|﹣2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，
对在集合M中（0，2]内的元素没有原像，所以不对；
对不符合一对一或多对一的原则，故不对；
对在值域当中有的元素没有原像，所以不对；
而符合函数的定义．
故选：B．
【点评】本题考查的是函数的概念和函数图象的综合类问题．在解答时充分体现了函数概念的知识、函数图象的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．
37．（2019秋•六枝特区校级期中）若函数y＝f（x）的定义域为M＝{x|﹣2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题．在解答时可以就选项逐一排查．对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可获得解答；对B满足函数定义，故可知结果；对C出现了一对多的情况，从而可以否定；对D值域当中有的元素没有原象，故可否定．
【解答】解：对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；
对B满足函数定义，故符合；
对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；
对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．
故选：B．
【点评】此题考查的是函数的定义和函数的图象问题．在解答的过程当中充分体现了函数概念的理解、一对一、多对一、定义域当中的元素必须有象等知识，同时用排除的方法解答选择题亦值得体会．
一十四．函数的定义域及其求法（共1小题）
38．（2020秋•宝山区校级期中）函数y＝的定义域是　（7，+∞）　．
【分析】由函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式，求出解集即可．
【解答】解：函数y＝中，
令＞0，
所以0＜＜1，
即，
所以，
解得，
即x＞7，
所以函数的定义域是（7，+∞）．
故答案为：（7，+∞）．
【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
一十五．函数单调性的性质与判断（共1小题）
39．（2021秋•杨浦区校级期中）判断下列选项中正确的是（　　）
A．函数的单调递减区间是（﹣∞，0）∪（0，+∞）
B．若对于区间I上的函数f（x），满足对于任意的x1，x2∈I，，则函数f（x）在I上是增函数
C．已知x≠0时，，则
D．已知f（x+1）＝x2+2x+2，则f（x）＝x2+1
【分析】A选项：反比例函数在每个象限内单调递减；B选项：利用单调性的定义即可解决；C选项：f（﹣）＝；D选项：f（x+1）＝（x+1）2+1；即f（x）＝x2+1．
【解答】解：A选项：反比例函数在每个象限内单调递减，∴反比例函数的递减区间为：（﹣∞，0），（0，+∞），故A项错误；
B选项：若对于区间I上的函数f（x），满足对于任意的x1，x2∈I，＞0，则函数f（x）在I上是增函数，故B项错误；
C选项：f（﹣）＝；故C项错误；
D选项：f（x+1）＝（x+1）2+1；即f（x）＝x2+1．
故选：D．
【点评】本题考查函数的性质以及函数解析式的求法，主要考查学生的数学运算能力，属于基础题．
一十六．复合函数的单调性（共1小题）
40．（2021秋•金山区校级期中）函数f（x）＝的单调减区间为 　（﹣∞，1]　．
【分析】首先求得f（x）的定义域，由复合函数的单调性：同增异减，结合幂函数和二次函数的单调性，可得所求区间．
【解答】解：设t＝x2﹣3x+2，由t≥0，解得x≥2或x≤1，
所以y＝在[0，+∞）递增，
由复合函数的单调性：同增异减，
可得要求f（x）的单调减区间，只需求t＝x2﹣3x+2的减区间．
而t＝x2﹣3x+2在（﹣∞，1]单调递减．
所以f（x）的单调减区间为（﹣∞，1]．
故答案为：（﹣∞，1]．
【点评】本题考查复合函数的单调性：同增异减，以及幂函数和二次函数的单调性，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．
一十七．幂函数的概念、解析式、定义域、值域（共3小题）
41．（2021秋•奉贤区校级期中）已知幂函数的图像过点（8，2），则此幂函数为f（x）＝　　．
【分析】由题意利用幂函数的定义，用待定系数法求出它的解析式．
【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，∵它的图像过点（8，2），
∴8α＝2，∴α＝，
则此幂函数为f（x）＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查幂函数的定义，属于基础题．
42．（2021秋•徐汇区校级期中）已知幂函数f（x）满足f（2）＝8，则f（﹣2）＝　﹣8　．
【分析】设出幂函数f（x）＝xα，由f（2）＝8求得α的值，写出函数解析式，再计算f（﹣2）的值．
【解答】解：设幂函数f（x）＝xα，α∈R，
由f（2）＝8，
∴2α＝8，
解得α＝3，
∴f（x）＝x3；
∴f（﹣2）＝（﹣2）3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
43．（2021秋•崇明区校级期中）已知幂函数f（x）＝k•xa的图象经过点（8，4），则k﹣a的值为　　．
【分析】根据幂函数的图象与性质，求出k与a的值，再计算k﹣a的值．
【解答】解：幂函数f（x）＝k•xa的图象经过点（8，4），
∴k＝1且8a＝4，
解得a＝；
∴k﹣a＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题目．
一十八．幂函数的图象（共1小题）
44．（2021秋•徐汇区校级期中）图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（　　）

A．、3、﹣1 B．﹣1、3、 C．、﹣1、3 D．﹣1、、3
【分析】根据幂函数y＝xα在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数α的可能取值．
【解答】解：由幂函数y＝xα在第一象限内的图象知，
图中C1对应的α＜0，C2对应的0＜α＜1，C3对应的α＞1；
结合选项知，指数α的值依次可以是﹣1，和3．
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是基础题．
一十九．幂函数的性质（共1小题）
45．（2020秋•虹口区校级期中）已知幂函数y＝x﹣1，及直线y＝x、y＝1、x＝1将直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ（如图所示），那么，幂函数y＝的图象在第一象限中经过的“卦限”是（　　）

A．Ⅵ、Ⅶ B．Ⅳ、Ⅷ C．Ⅲ、Ⅷ D．Ⅲ、Ⅶ
【分析】若＝2与x﹣1＝2，则x＝与x＝，从而判断即可．
【解答】解：∵﹣1＜﹣＜0，
若＝2与x﹣1＝2，则x＝与x＝，
∴幂函数y＝的图象在第一象限中经过的“卦限”是Ⅳ、Ⅷ，
故选：B．
【点评】本题考查了幂函数图象的判断，属于基础题．
二十．有理数指数幂及根式（共2小题）
46．（2021秋•浦东新区校级期中）当x＜0时，式子|x|++的值为 　0　．
【分析】由x＜0得|x|＝﹣x，＝|x|＝﹣x，＝x，代入即可．
【解答】解：∵x＜0，
∴|x|＝﹣x，＝|x|＝﹣x，＝x，
∴|x|++＝﹣x﹣x+2x＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了根式及绝对值的化简，属于基础题．
47．（2021秋•金山区校级期中）已知+＝4，则x+x﹣1＝　14　．
【分析】利用x+x﹣1＝﹣2即可得出．
【解答】解：∵+＝4，
∴x+x﹣1＝﹣2＝16﹣2＝14．
故答案为：14．
【点评】本题考查了指数与对数的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二十一．指数式与对数式的互化（共2小题）
48．（2021秋•金山区校级期中）若3a＝7b＝63，则＝　1　．
【分析】指数式3a＝7b＝63可化为对数式＝log633，＝log637，从而利用对数运算化简即可．
【解答】解：∵3a＝7b＝63，
∴＝log633，＝log637，
∴＝2log633+log637＝log6363＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
49．（2021秋•浦东新区校级期中）若2x＝3，则实数x的值为 　log23　．
【分析】根据指数式与对数式之间转化的方法可解决此题．
【解答】解：∵2x＝3，∴x＝log23．
故答案为：log23．
【点评】本题考查指数式与对数式之间转化，考查数学运算能力，属于基础题．
二十二．对数的运算性质（共7小题）
50．（2020秋•徐汇区校级期中）设lg2＝a，lg3＝b，则log1225的值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】由已知利用对数的运算性质及换底公式求解．
【解答】解：由lg2＝a，lg3＝b，
得log1225＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查对数的运算性质，对数的换底公式的应用，是基础题．
51．（2020秋•杨浦区校级期中）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（　　）
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10﹣10.1
【分析】把已知数据代入m2﹣m1＝lg，化简后利用对数的运算性质求解．
【解答】解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45，
由题意可得：，
∴，则．
故选：A．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题．
52．（2021秋•金山区校级期中）若，则x＝　2　．
【分析】由已知可得log2x＝1，然后求出x的值即可．
【解答】解：由，得log2x＝1，则x＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础题．
53．（2021秋•金山区校级期中）若log2[log3（log4x）]＝0，则x＝　64　．
【分析】利用对数的运算性质：loga1＝0，logaa＝1（a＞0，a≠1），对数式化为指数式即可得出．
【解答】解：∵log2[log3（log4x）]＝0，
∴log3（log4x）＝1，
∴log4x＝3，
∴x＝43＝64．
故答案为：64．
【点评】本题考查了对数的运算性质、对数式化为指数式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
54．（2020秋•浦东新区校级期中）已知正数a、b满足lg（a+4b）＝lga+lgb，则a+b的最小值为 　9　．
【分析】由已知可得，再由“1”的代换结合基本不等式求最值．
【解答】解：由lg（a+4b）＝lga+lgb，得lg（a+4b）＝lgab，
∴a+4b＝ab，即，
又a＞0，b＞0，
∴a+b＝（a+b）（）＝5+（）≥5+2＝9．
当且仅当a＝2b＝6时取等号．
故答案为：9．
【点评】本题考查对数的运算性质，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．
55．（2020秋•杨浦区校级期中）已知log37＝a，log74＝b，用a、b表示log742为 　1+　．
【分析】由已知直接利用对数的运算性质求解．
【解答】解：∵log37＝a，log74＝b，
∴log742＝1+log76＝1+log72+log73＝1+log74+＝1+．
故答案为：1+．
【点评】本题考查对数的运算性质，是基础题．
56．（2020秋•杨浦区校级期中）设a＞0，b＞0，已知log2a+log4b2＝3，则ab＝　8　．
【分析】根据题意可得出，从而得出log2a+log2b＝3，从而可求出ab的值．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴＝log2ab＝3，
∴ab＝23＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
二十三．对数函数的图象与性质（共1小题）
57．（2020秋•宝山区校级期中）已知函数f（x）＝loga（x+b）的大致图象如图，其中a，b为常数，则函数g（x）＝ax+b的大致图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由函数f（x）＝loga（x+b）的图象可求出a和b的范围，再进一步判断g（x）＝ax+b的图象即可．
【解答】解：由函数f（x）＝loga（x+b）的图象为减函数可知0＜a＜1，
f（x）＝loga（x+b）的图象由f（x）＝logax向左平移可知0＜b＜1，
故函数g（x）＝ax+b的大致图象是B
故选：B．
【点评】本题考查指对函数的图象问题，是基本题．
二十四．函数的零点与方程根的关系（共1小题）
58．（2019秋•徐汇区校级期中）记方程①：x2+a1x+1＝0，方程②：x2+a2x+2＝0，方程③：x2+a3x+4＝0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（　　）
A．方程①有实根，且②有实根
B．方程①有实根，且②无实根
C．方程①无实根，且②有实根
D．方程①无实根，且②无实根
【分析】根据方程根与判别式△之间的关系求出a12≥4，a22＜8，结合a1，a2，a3成等比数列求出方程③的判别式△的取值即可得到结论．
【解答】解：当方程①有实根，且②无实根时，△1＝a12﹣4≥0，△2＝a22﹣8＜0，
即a12≥4，a22＜8，
∵a1，a2，a3成等比数列，
∴a22＝a1a3，
即a3＝，
则a32＝（）2＝，
即方程③的判别式△3＝a32﹣16＜0，此时方程③无实根，
故选：B．
【点评】本题主要考查方程根存在性与判别式△之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式△的取值关系是解决本题的关键．
二十五．绝对值不等式的解法（共2小题）
59．（2021秋•虹口区校级期中）“关于x的不等式|ax+b|≤2的解集中x的最大值为6”是“6是关于x的方程|ax+b|＝2的解”的 　充分非必要　条件．
（选择其中之一填空：充分非必要、必要非充分、充要、非充分非必要）
【分析】由绝对值不等式的解法和充分必要条件的定义，可得结论．
【解答】解：关于x的不等式|ax+b|≤2的解集中x的最大值为6，
可得6是关于x的方程|ax+b|＝2的解；
但6是关于x的方程|ax+b|＝2的解，不能推得关于x的不等式|ax+b|≤2的解集中x的最大值为6，
比如a＝﹣1，b＝8，由|﹣x+8|≤2，解得6≤x≤10，则6不是最大值．
故“关于x的不等式|ax+b|≤2的解集中x的最大值为6”是“6是关于x的方程|ax+b|＝2的解”的充分不必要条件．
故答案为：充分非必要．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法和充分必要条件的判断，考查方程思想和推理能力，属于基础题．
60．（2021秋•普陀区校级期中）记关于x的不等式的解集为P，不等式|x﹣1|＜1的解集为Q．
（1）若a＝3，求P；
（2）若Q⊆P，求正数a的取值范围．
【分析】（1）若a＝3，关于x的不等式即 ＜0，即 （x﹣3）（x+1）＜0，由此求得原不等式的解集．
（2）先解绝对值求出Q，再解分式不等式求得P，结合Q⊆P，求得正数a的取值范围．
【解答】解：（1）若a＝3，关于x的不等式，即 ＜0，即 （x﹣3）（x+1）＜0，
求得﹣1＜x＜3，可得原不等式的解集为P＝（﹣1，3）．
（2）由不等式|x﹣1|＜1，可得﹣1＜x﹣1＜1，即 0＜x＜2，故原不等式的解集为Q＝（0，2）．
由a＞0，关于x的不等式，即（x﹣a）（x+1）＜0，求得它的解集为P＝（﹣1，a），
再根据Q⊆P，可得2≤a，故a的范围为{a|a≥2}．
【点评】本题主要考查分式不等式的解法，集合间的包含关系，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．