2022-2023学年上海市徐汇中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市徐汇中学高二上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市徐汇中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．给定空间中的直线与平面，则“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解．【详解】由题意，若“直线与平面垂直”则“直线垂直于平面内无数条直线”成立的，所以充分性是成立的；若“直线垂直于平面内无数条直线”则直线“直线不一定平面垂直”，所以必要性不成立，所以“直线与平面垂直”是“直线垂直于平面内无数条直线”成立的充分不必要条件．故选A．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记直线与平面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．2．如图，、、、是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（    ）A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直【答案】A【分析】如图，延长GM到N,使,连接AN,DN.由和分别平行于正方体的两条相交的对角线，从而得与相交．【详解】如图，延长GM到N,使,连接AN,DN.，AN∥FM,∴A,B,N三点共线，同理D,C,N三点共线， 与相交，故选：．【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．3．长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合中元素的个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】建系，利用空间直角坐标系结合数量积的坐标运算理解分析.【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，∵，则对，均有，故集合，只有一个元素.故选：A.4．如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（    ）A．23 B．24 C．26 D．27【答案】D【分析】作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.【详解】该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，因为，所以，因为重叠后的底面为正方形，所以,在直棱柱中，平面BHC，则,由可得平面，设重叠后的EG与交点为则则该几何体的体积为.故选：D. 二、填空题5．一个球的半径为，则其体积为_________．【答案】##【分析】利用球体的体积公式可求得结果.【详解】由题意可知，该球的体积为.故答案为：.6．直线、确定一个平面，则、的位置关系为________.【答案】平行或相交##相交或平行【分析】利用平面的基本性质求解.【详解】因为直线、确定一个平面，所以、的位置关系为平行或相交，故答案为：平行或相交7．已知圆柱的高为4，底面积为，则圆柱的侧面积为___________；【答案】【分析】根据圆柱的侧面积公式计算可得.【详解】圆柱底面积为，所以底面半径r为3，且圆柱的高h为4，所以圆柱的侧面积为.故答案为：.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ .【答案】1【分析】先根据侧面展开是面积为的半圆算出圆锥的母线，再根据侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长求解.【详解】如图所示：设圆锥的半径为r，高为h，母线长为l，因为圆锥的侧面展开图是半径为l，面积为的半圆面，所以，解得，因为侧面展开半圆的弧长即底面圆的周长，所以，故圆锥的底面半径.【点睛】本题考查圆锥的表面积的相关计算.主要依据侧面展开的扇形的弧长即底面圆的半径，扇形的弧长和面积计算公式.9．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个顶点，则在正方体盒子中，大小为________.【答案】【分析】根据题意,将几何体复原,根据正方体的性质可得△的形状,从而可得结果.【详解】几何体复原如图所示:则△是正三角形,所以.故答案为 :.【点睛】本题考查了由几何体的展开图复原几何体,考查了空间想象能力,正方体的结构特征,属于基础题.10．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且直观图的面积为2，则该平面图形的面积为_________．【答案】【分析】把给定的斜二测直观图还原为原平面图形，再结合已知计算作答.【详解】依题意，在平面直角坐标系中，在x轴正半轴上取点A，使，在y轴正半轴上取点C，使，过C作轴，使，连接AB，则直角梯形是直观图等腰梯形对应的原图形，如图，等腰梯形的面积，则，则直角梯形的面积，所以该平面图形的面积为.故答案为：11．在30°二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是10，则这个点到二面角的棱的距离为___________.【答案】20【分析】画出简图，结合三角函数关系即可求解.【详解】如简图所示，两平面相交于点，，，，，则为二面角的平面角，则，即点到二面角的棱的距离为20.故答案为：2012．在菱形中，，，为菱形所在平面外一点，，，到直线距离为_________．【答案】5【分析】作，垂足为，可得就是到直线的距离.根据线面垂直的性质可得，，根据勾股定理即可求解.【详解】如图，作，垂足为，因为，即平面，且平面，所以.因为平面，所以平面.因为平面，所以.因为,,所以.因为平面，平面，所以.所以.故答案为:5.13．如图，长方体中，，，则二面角的余弦值为_________．【答案】【分析】首先取的中点，连接，根据题意得到为二面角的平面角，再计算其余弦值即可.【详解】取的中点，连接，如图所示：因为长方体中，，，所以，即.，所以，且.所以为二面角的平面角，.故答案为：14．如图，在正方体中，，中点为P，则过P､A､C三点的截面面积为___________.【答案】【分析】利用两平行直线确定一个平面的方法，作出截面图形为梯形，根据正方体棱长为1，求出梯形面积即可.【详解】取的中点，连接，则有，又，所以，梯形即为所求截面.根据正方体的棱长等于1，求出梯形各边长，，，，所以梯形的高为，面积 所以过、、三点的截面面积为 故答案为：.15．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则圆锥的母线长为______________.【答案】9【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为r，由题可得，即求.【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为r，则，∴.故答案为：9.16．如图，正方体则下列四个命题：①点在直线上运动，三棱锥的体积不变；②点在直线上运动，直线与平面所成角的大小不变；③点在直线上运动，二面角的大小不变；④点是平面上到点和距离相等的动点，则的轨迹是过点的一条直线；其中的真命题是________（请在横线上填上正确命题的序号）【答案】①③④【分析】利用锥体的体积公式可判断①的正误；利用线面角的定义可判断②的正误；利用二面角的定义可判断③的正误；利用空间中两点间的距离公式可判断④的正误.【详解】①在正方体中，且，则四边形为平行四边形，，平面，平面，所以，平面，点在直线上运动，点到平面的距离为定值，为定值，①正确；设直线与平面所成的角为，当点在直线上运动，点到平面的距离为定值，但在变，则不是定值，故直线与平面所成角的大小不是定值，②错；设二面角的大小为，点在到面的距离不变，到的距离不变，故为定值，所以二面角的大小不变，③正确；设正方体边长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、，设点，由可得，解得，因此，的轨迹是过点的一条直线，④正确.故答案为：①③④. 三、解答题17．如图，已知正方体的棱长为4，、分别是棱、的中点．(1)求四面体的体积；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题意可得平面，根据即可求解；（2）连接,,可得为异面直线与所成的角或补角，利用勾股定理求出、及，在中利用余弦定理即可求.【详解】（1）连接，因为、分别是棱、的中点，所以平面，即平面.因为正方体的棱长为4，所以.所以.（2）连接,,易知四边形为平行四边形，所以.则为异面直线与所成的角或补角.在中，,,.则.故异面直线与所成角的余弦值为.18．在四棱锥中，底面是正方形，平面，，．（1）分别取侧棱、中点、，证明：直线与平面平行；（2）求四棱锥的表面积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据线面平行判定定理即可证明；（2）先证明的形状，再根据图形面积公式计算即可．【详解】（1）连接，因为、分别为、中点，所以又因为平面，面，所以平面；（2）因为平面，平面，所以，同理又平面，所以又因为是正方形，所以，，所以平面又平面，所以，同理则四棱锥的表面积19．如图，已知在圆锥中，为底面圆O的直径，点C为弧的中点，．(1)证明：平面；(2)若点D为母线的中点，求与平面所成角的正切值．【答案】(1)证明见解析；(2) 【分析】(1)由线面垂直，得线线垂直，进而证明线面垂直.（2）∠ADO为AD与平面SOC所成角，解三角形，即可求出.【详解】（1）因为SO⊥平面ABC，AB平面ABC，所以SOAB,因为C为的中点，所以AB⊥OC，又SO平面SOC，OC平面SOC, SOOC=O,所以AB⊥平面SOC（2）连结OD.因为AB⊥平面SOC,所以∠ADO为AD与平面SOC所成角，设OA=a，则OC=a，SO=AB=2a，所以，所以,,所以AD与平面SOC所成角的正切值为.20．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.(1)求这种“笼具”的体积（，结果精确到）；(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（，结果精确到1元）【答案】(1)（）(2)（元） 【分析】（1）由题意即可求出底面半径，圆锥的高，则可计算出“笼具”的体积；（2）由底面半径，圆锥的高，则可计算出“笼具”的表面积，则可计算出50个“笼具”的造价.【详解】（1）设圆柱的底面半径为，圆锥的高为.由题意得，，所以，，所以“笼具”的体积为（）.（2）圆柱的侧面积为（），圆柱的底面积为（），圆锥的侧面积为（），所以“笼具”的表面积为（），故制作50个“笼具”共需（元）.21．如图，是底面边长为1的正三棱锥，D､E､F分别为棱长上的点，截面底面ABC，且棱台与棱锥的棱长和相等（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）(1)证明：为正四面体；(2)若，求二面角的大小（结果用反三角函数值表示）；(3)设棱台体积为V，是否存在体积为V且各棱长均相等的直平行六面体，使得它与棱台有相同的棱长和？若存在，请具体构造出这样的一个直平行六面体，并给出证明，若不存在，请说明理由（直平行六面体指侧棱垂直于底面，底面是平行四边形的四棱柱）【答案】(1)见解析；(2)；(3)存在，其他见解析 【分析】（1）由棱长和相等结合截面底面ABC，求得，即可得证；（2）取的中点，先判断出为二面角的平面角，再求出相关边长，即可求得二面角的大小；（3）构造直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，由体积相等解出即可求解.【详解】（1）由棱台与棱锥的棱长和相等，可得，又平面平面ABC，三棱锥是正三棱锥，则，，则，则为正四面体；（2）取的中点，连接，由可得，又平面，，则平面，又平面，则，为二面角的平面角，由（1）知，三棱锥的各棱长均为1，则，又，则，则，则，即二面角的大小为；（3）存在满足条件的直平行六面体.易得棱台的棱长和为定值6，体积为，设直平行六面体的棱长均为，底面相邻两边的夹角为，则该六面体棱长和为6，体积为，令，取的中点，连接，作底面，垂足为，易得在上，且，则，则的体积为，则，即，即显然有解，则，故存在棱长均为，底面相邻两边的夹角为的直平行六面体符合要求.