专题01空间直线与平面（7个考点）【知识梳理+解题方法+专题过关】-2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）

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专题01空间直线与平面（7个考点）【知识梳理+解题方法】一．平面的基本性质及推论【知识点的认识】平面的基本性质及推论：1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．【解题方法点拨】1．公理1是判定直线在平面内的依据．2．公理2及推论是确定平面的依据．3．公理3是判定两个平面相交的依据．二．异面直线及其所成的角【知识点的知识】1、异面直线所成的角： 直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：三．异面直线的判定【知识点的知识】（1）判定空间直线是异面直线方法：①根据异面直线的定义；②异面直线的判定定理．四．空间中直线与直线之间的位置关系【知识点的认识】空间两条直线的位置关系：位置关系共面情况公共点个数图示相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内无异面直线不同时在任何一个平面内无五．空间中直线与平面之间的位置关系【知识点的认识】空间中直线与平面之间的位置关系：位置关系公共点个数符号表示图示直线在平面内有无数个公共点a⊂α直线和平面相交有且只有一个公共点a∩α＝A直线和平面平行无a∥α六．直线与平面平行【知识点的知识】1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若a⊄α，b⊂α，a∥b，则a∥α．2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．1、直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．用符号表示为：若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则a∥b．2、直线和平面平行的性质定理的实质是： 已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平行．由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．正确的结论是：a∥α，若b⊂α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．七．直线与平面垂直【知识点的认识】直线与平面垂直：如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直的判定：（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线．（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．直线与平面垂直的性质：①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b．八．平面与平面垂直【知识点的认识】平面与平面垂直的判定：判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．平面与平面垂直的性质：性质定理1：如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．性质定理2：如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．性质定理3：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面．性质定理4：三个两两垂直的平面的交线两两垂直．九．点、线、面间的距离计算【知识点的知识】 【专题过关】一．平面的基本性质及推论（共4小题）1．（2022•静安区校级开学）两个平面最多可以将空间分成　   　部分．2．（2022秋•奉贤区校级月考）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱中点，则A、B、C、D四点共面的图形 　   　（填上所有正确答案的序号）． 3．（2022春•闵行区校级期末）圆锥的高为1，底面半径为，则过圆锥顶点的截面面积的最大值为　   　．（多选）4．（2022•浦东新区校级开学）如图，在正方体中，A、B、C、D分别是顶点或所在棱中点，则A、B、C、D四点共面的图形（　　）A． B． C． D．二．异面直线的判定（共4小题）5．（2021秋•金山区校级期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与棱BB1所在直线异面的棱有 　   　条．6．（2022•徐汇区校级开学）在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．已知α，β是两个相交平面，空间两条直线l1，l2在α上的射影是直线S1，S2，l1，l2在β上的射影是直线t1，t2．用S1与S2，t1与t2的位置关系，写出一个总能确定l1与l2是异面直线的充分条件：　   　．  7．（2021秋•闵行区期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是A1B1、B1C1的中点．求证：（1）AM和CN共面；（2）D1B和CC1是异面直线．    8．（2021秋•徐汇区校级期中）如图，质点M从正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发，沿正方体的棱运动，每经过一条棱称之为一次运动，第一次运动经过AB，第二次运动经过BC，第三次运动经过CC1，且对于任意的正整数n，第n+2次运动所经过的棱与第n次运动所经过的棱所在的直线是异面直线，则经过2021次运动后，点M到达的顶点为 　   　点．三．空间中直线与直线之间的位置关系（共5小题）9．（2022•徐汇区校级开学）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（　　）A．不存在 B．有且只有两条 C．有且只有三条 D．有无数条10．（2022•上海）如图正方体ABCD﹣AB1C1D1中，P、Q、R、S分别为棱AB、BC、BB1、CD的中点，联结A1S，B1D．空间任意两点M、N，若线段MN上不存在点在线段A1S、B1D上，则称MN两点可视，则下列选项中与点D1可视的为（　　）A．点P B．点B C．点R D．点Q11．（2022•闵行区校级开学）已知直二面角α﹣l﹣β，直线a在平面α上，直线b在平面β上，且直线a与直线l不垂直，直线b与直线l不垂直，则以下判断正确的是（　　）A．a与b可能垂直，但不可能平行 B．a与b可能垂直，也可能平行 C．a与b不可能垂直，但可能平行 D．a与b不可能垂直，也不可能平行12．（2022•静安区校级开学）已知平面α、β，直线l⊂α，直线m不在平面α上，下列说法正确的是（　　）A．若α∥β，m∥β，则l∥m B．若α∥β，m⊥β，则l⊥m C．若l∥m，α∥β，则m∥β D．若l⊥m，m∥β，则α⊥β13．（2022•静安区校级开学）设矩形P1P2P3P4的两边长分别为P1P2＝2，P2P3＝4sinθ（＜θ＜），若将△P1P2P4沿矩形对角线P2P4所在的直线翻折，则在翻折过程中（　　）A．对任意θ∈（），都不存在某个位置，使得P1P2⊥P3P4 B．对任意θ∈（），都存在某个位置，使得P1P2⊥P3P4 C．对任意θ∈（），都不存在某个位置，使得P1P2⊥P3P4 D．对任意θ∈（，），都存在某个位置，使得P1P2⊥P3P4  四．直线与平面平行（共3小题）14．（2022•静安区校级开学）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，SD⊥面ABCD，点M、N分别是AD、CD的中点，P为SD上一点，且SD＝3PD＝3，H为正方形ABCD内一点，若SH∥面PMN，则SH的最小值为　   　．15．（2022•闵行区校级开学）已知四棱锥T﹣ABCD的底面是平行四边形，平面α与直线AD，TA，TC分别交于点P，Q，R且＝＝＝x，点M在直线TB上，N为CD的中点，且直线MN∥平面α．（Ⅰ）设＝，＝，＝，试用基底{，，}表示向量；（Ⅱ）证明：四面体TABC中至少存在一个顶点，从其出发的三条棱能够组成一个三角形；（Ⅲ）证明：对所有满足条件的平面α，点M都落在某一条长为TB的线段上．   16．（2022•静安区校级开学）如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1是底面为正方形的长方体，∠AD1A1＝60°，AD1＝4，P为AD1的中点，（1）求证：直线C1P∥平面AB1C；（2）求异面直线AA1与B1P所成角的余弦值．    五．直线与平面垂直（共3小题）17．（2021秋•闵行区校级月考）已知AH⊥Rt△HEF所在的平面，且HE⊥EF，连接AE，AF，则图中直角三角形的个数是　   　．18．（2021秋•金山区期末）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）试判断直线BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由；（2）求证：直线BD1⊥平面AB1C．             19．（2021秋•闵行区校级月考）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，每个侧面均为正方形，D为底边AB的中点，E为侧棱CC1的中点，AB1与A1B的交点为O．（1）求证：CD∥平面A1EB；（2）求证：AB1⊥平面A1EB．   六．平面与平面垂直（共3小题）20．（2022春•奉贤区校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，已知PD⊥平面ABCD，且PD＝AD，E为PC中点．（1）证明：PA∥平面BDE；（2）证明：平面PCD⊥平面PBC．        21．（2021秋•杨浦区校级期末）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA＝PB＝PC，且M，N分别为线段AB，PC的中点．（1）若点K是线段PM的中点，求证：直线NK∥平面ABC；（2）求证：平面PCM⊥平面ABC．         22．（2021秋•普陀区校级期末）如图一，矩形ABCD中，BC＝2AB，AM⊥BD交对角线BD于点O，交BC于点M，现将△ABD沿BD翻折至△A′BD的位置，如图二，点N为棱A′D的中点，则下列判断一定成立的是（　　）A．BD⊥CN B．AO⊥平面BCD C．CN∥平面A′OM D．平面A′OM⊥平面BCD七．点、线、面间的距离计算（共8小题）23．（2021秋•普陀区校级期末）用一个平面去截半径为5cm的球，截面面积是9πcm2.则球心到截面的距离为　   　cm．24．（2022•静安区校级开学）已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为　   　．25．（2022•闵行区校级开学）如图，平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是边长为1的正方形，且∠A1AD＝∠A1AB＝60°，AA1＝2，则线段AC1的长为 　   　．26．（2022•静安区校级开学）如图，在几何体P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝，AD＝2，AB＝BC＝1．（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；（2）若PC与平面ABCD所成的角为，求点A到平面PCD的距离．        27．（2022•浦东新区校级开学）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E、F、G分别是AA1、A1B1、A1D1的中点．（1）求证：EF∥平面BC1D；（2）在线段BD上是否存在点H，使得EH⊥平面BC1D？若存在，求线段BH的长；若不存在，请说明理由；（3）求EF到平面BC1D的距离．  28．（2022•闵行区校级开学）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝2，M为AB的中点．（1）证明：BC1∥平面A1CM；（2）求点B1到平面A1CM的距离．      29．（2021秋•普陀区校级期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1D1，C1D1的中点，若点P，M，N分别为线段BD1，EF，BC1上的动点，则PM+PN的最小值为 　   　．30．（2022秋•奉贤区校级月考）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是AA1、A1B1的中点．（1）求证：EF∥平面BC1D；（2）在线段BD上是否存在点H，使得EH⊥平面BC1D？若存在，求点H的位置；若不存在，说明理由；（3）求EF到平面BC1D的距离．