2022-2023学年上海市建平中学高二上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年上海市建平中学高二上学期期中数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年上海市建平中学高二上学期期中数学试题 一、单选题1．下列各图符合立体几何作图规范要求的是（　　）A．直线在平面内  B．平面与平面相交  C．直线与平面相交  D．两直线异面【答案】D【分析】直接根据立体几何作图规范要求依次判断即可.【详解】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误；平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误；直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误；两直线异面满足作图规范.故选：D2．下列命题中，真命题是（　　）A．过三点有且只有一个平面.B．四边长度相等的四边形是菱形C．三条直线互相平行，则三条直线不一定在同一平面上.D．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线【答案】C【分析】根据点、线的位置关系，结合平面的基本性质及几何体结构等判断各项的正误.【详解】若三个点在同一条直线上，经过这三点的平面由无数个，A错误；四边长度相等的四边形可以是正四面体，B错误；三棱柱的三条侧棱互相平行，但不在同一平面内，三条平行线也可在同一平面内，C正确.过平面外一点与平面内一点的直线也能与平面内直线相交，D错误：故选：C3．已知双曲线的渐近线为，则其对应的双曲线方程（　　）①；②；③；④.A．①错③对  B．①对②错  C．①对③错  D．③对④错【答案】C【分析】根据双曲线的方程，分别求出渐近线方程即可得出.【详解】双曲线的渐近线为，所以①的渐近线方程为，正确；②的渐近线方程为，正确；④的渐近线方程为，错误；双曲线的渐近线为，所以③的渐近线方程为，错误.故选：C.4．曲线C是平面内与两个定点和距离之积等于4的点的轨迹，已知O为坐标原点，点P为曲线C上的动点，关于曲线C有以下3个结论；①曲线C是封闭曲线且不过原点；②曲线C关于x轴对称，且关于y轴对称；③曲线C上的动点P（x，y）的坐标满足，.则所有正确的结论为（　　）A．①②  B．①③  C．②③  D．①②③【答案】D【分析】首先求曲线的轨迹方程，根据曲线方程的特点，依次判断选项.【详解】点到平面两个定点和距离之积等于4，所以，则，所以 ，，所以，令，则，，，则，所以③正确；把方程中用代换，用代换，方程不变，曲线关于轴对称，且关于 轴对称，②正确；将原点代入验证，等式不成立，该曲线不过原点，且该曲线在直线和围成的矩形内部，所以是封闭曲线，①正确.故选：D. 二、填空题5．双曲线的实轴长为_____.【答案】【分析】根据双曲线方程可得，由此可得实轴长.【详解】由双曲线方程得：，双曲线的实轴长为.故答案为：.6．抛物线的焦点到准线的距离为______.【答案】1.【解析】利用抛物线的标准方程可得，由焦点到准线的距离为p，从而得到结果.【详解】抛物线的焦点到准线的距离为p，由标准方程可得.故答案为：1【点睛】本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，属于基础题.7．椭圆的焦点坐标为_________．【答案】【分析】根据椭圆方程可得，，，，根据焦点在轴上，即可得解.【详解】根据椭圆方程，可得，，所以，所以，所以焦点坐标为，故答案为：.8．已知圆，则过点的圆的切线方程为______.【答案】【分析】根据切线与过切点的半径垂直即可求解.【详解】点在圆上,圆心为，，所以切线的斜率，则过点的圆的切线方程为,即.故答案为：.9．若圆和圆外切，则______.【答案】4【分析】根据两圆外切则圆心距等于半径之和即可求解.【详解】圆圆心为，半径为1，圆圆心为，所以圆心距，因为两圆外切，所以,所以.故答案为：4.10．已知抛物线的焦点是F，点A，若抛物线上存在一点M使得最小，则M点的横坐标为______.【答案】##0.5【分析】求出抛物线的焦点及准线，利用抛物线定义结合几何图形推理作答.【详解】抛物线的焦点，准线，显然点在抛物线内，过点A作于点N，交抛物线于M，连MF，如图，在抛物线上取点，过作于，连接，有，则有，当且仅当点与M重合时取等号，因此，此时点M的纵坐标为2，则其横坐标，所以M点的横坐标为.故答案为：11．在正方体中，为面的中心，则平面与平面的交线为______.【答案】##【分析】依题意平面即平面，由正方体的性质可知，且为两平面的公共点，即可得解.【详解】解：平面即平面，因为平面，平面，又，平面，平面，所以平面平面.故答案为：12．若直线，直线，则直线b、c的位置关系为______.（用文字表述）【答案】相交或异面【分析】利用反证法得到直线b、c不平行，进而得到答案.【详解】假设，因为，由平行线的传递性可知，与条件相矛盾，所以直线b、c的位置关系可以是相交或者异面，如图1，直线b、c相交，如图2，直线b、c异面，故答案为：相交或异面.13．设椭圆上一点M到左焦点的距离为3，记N为的中点，O为坐标原点，则______.【答案】【分析】由题意可推出，，进而利用椭圆的定义求出即可.【详解】由已知可得，，.因为N为的中点，是的中点，所以是的中位线，所以，，根据椭圆的定义，可得，故答案为：.14．已知双曲线的焦距为6，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的标准方程为______.【答案】或【分析】根据双曲线的性质和点到直线距离公式即可求解.【详解】若双曲线的焦点在轴上，设方程为，双曲线的焦距为6，所以，焦点到渐近线的距离为2，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.若双曲线的焦点在轴上，设方程为，双曲线的焦距为6，所以，焦点到渐近线的距离为2，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.15．一条封闭的曲线由与组成，其中：，：，若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为________【答案】【分析】根据方程化简得到图像，根据图像得到相切和不相切两种情况，分别计算得到答案.【详解】：，则或：，则或画出图像，如图所示：直线与曲线恰有两个公共点，两种情况当直线与图形在第一象限相切时：，根据对称性也满足；当直线与图像非相切情况时，根据图像知： 综上所述：故答案为【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，根据方程画出图像是解题的关键. 三、解答题16．已知点和曲线上的点、、…、．若、、… 、成等差数列且公差，求的最大值．【答案】14【详解】题设的曲线是如下双曲线的一段，即（，）．是它的右焦点，如图（其中直线为右准线，点，离心率）．易知，．依题意，可设等差数列的第1项，第项，则．得．由题意，，即．得．而．且．则．故最大可取14.17．如图，已知正方体的棱长为1.(1) 正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？(2)若分别是，的中点，求异面直线与所成角的大小.【答案】(1)棱；(2) 【分析】（1）直接根据异面直线的定义得到答案.（2）连结，，确定异面直线与所成角为（或其补角），计算得到答案.【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱所在的直线与直线是异面直线（2）连结，，，分别是，的中点，所以，因为，所以异面直线与所成角为（或其补角），由于，于是，所以异面直线与所成角大小为.18．圆内有一点，过的直线交圆于A、B两点.(1)当弦AB被平分时，求直线AB的方程；(2) 若为直角三角形，求直线AB的方程.【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）利用圆的性质求出直线AB斜率即可作答.（2）根据给定条件，确定的直角顶点，设出直线AB方程，借助点到直线距离计算作答.【详解】（1）因在圆内，过的弦AB被平分，则，而直线的斜率为，因此直线AB斜率为，方程为，即，所以直线AB的方程为.（2）因直线AB过圆内的点，则为等腰三角形，又为直角三角形，必有，而圆半径为3，因此圆心O到直线AB的距离，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，即，由解得或，于是得直线AB：或，所以直线AB的方程为或.19．已知曲线C的方程为，其中m为实数且）(1)试讨论曲线C的形状；(2)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，离心率是，求椭圆的焦距.【答案】(1)答案见解析(2)2 【分析】（1）分圆，双曲线和椭圆分别列出对应的限制条件讨论即可；（2），通过化简得到，解出即可.【详解】（1）当时,,方程为,曲线为圆;当或时,曲线为双曲线，当或时,曲线为椭圆，（2），此时，所以，，此时焦距为.20．某市轨道交通s号线的线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多10km，线路BC段上的任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多10km，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系.(1)求轨道交通s号线的线路示意图所在曲线的方程：(2)规划部门在设计s号线线路的一个站点G时，考虑到景点Q为客流量巨大的热门景点，为了最大程度便于轨道交通s号线的乘客到达景点Q，应该如何设置站点G的位置？【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用双曲线、圆的定义求解方程作答.（2）设出点G的坐标，利用（1）的结论，两点间距离公式建立函数关系，分段求解作答.【详解】（1）依题意，点，设曲线上任意一点，当时，，因此线路AB段所在曲线是以点M，N为左、右焦点，实轴长为10，虚轴长为10的双曲线的左支在x轴及上方部分，则线路AB段所在曲线的方程为；当时，显然点，，因此线路BC段所在曲线是以O为圆心、以OB长为半径的圆，则线路BC段所在曲线的方程为；当时，，因此线路CD段所在曲线是以点Q、P为上、下焦点，实轴长为10，虚轴长为10的双曲线下支在y轴及右侧部分，则线路CD段所在曲线的方程为，所以线路示意图所在曲线的方程为.（2）设，而，则，由（1）知，当时，，，当且仅当，时取等号，此时点G的坐标为；当时，，，当且仅当时取等号，当时，，，当且仅当时取等号，显然，因此，即当时，使G到景点Q的距离最近，最大程度便于轨道交通s号线的乘客到达景点Q，所以站点G应设置在点处.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的动点到定点距离最值问题，可以设出动点的坐标，建立函数关系，求解函数最值作答.21．已知抛物线，直线l与抛物线相交于不同的两点.(1)若直线经过抛物线的焦点，且弦长，求的值；(2) 若直线经过点，求的面积的最小值（为坐标原点）；(3)是否存在定圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)4(2)(3)存在， 【分析】（1）根据抛物线的定义直接求焦点弦长；（2）利用韦达定理和面积公式表示出面积即可求解；（3）根据直线与圆相切列出等式，利用韦达定理列出等式，再根据所列方程与无关即可确定的值..【详解】（1）,所以.（2）设直线的方程为，当且仅当，即轴时，等号成立，所以的面积的最小值为（3）设直线的方程为，即,整理得，则直线与圆相切得，即，同理可得，易知，否则直线与抛物线只有一个交点，所以，是方程的两个根，所以由直线与圆相切可得，平方得，即，化简得，上式对任意的恒成立，所以，当时，，舍去当时，综上，存在定圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切.