【最新版】新教材苏教版高中数学选择性必修一第10练 椭圆的几何性质【讲义+习题】

第10练　椭圆的几何性质

一、选择题

1．已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于4，则椭圆的标准方程是(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋y2＝1   D.＋＝1

答案　A

解析　由题意，可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，

可知2a＝4，∴a＝2，

又e＝＝，

∴c＝1，则b2＝a2－c2＝3，

∴椭圆的标准方程是＋＝1.

2．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为(　　)

A．(－3,0)   B．(－4,0)

C．(－10,0)   D．(－5,0)

答案　D

解析　∵圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，

∴圆心坐标是(3,0)，

∴c＝3.

又b＝4，∴a＝＝5.

∵椭圆的焦点在x轴上，

∴椭圆的左顶点为(－5,0)．

3．椭圆＋＝1和椭圆＋＝1(0<k<9)有(　　)

A．等长的长轴   B．相等的焦距

C．相等的离心率   D．等长的短轴

答案　B

解析　椭圆＋＝1的长轴长为2a＝10，焦距2c＝8，

离心率e＝，短轴长2b＝6，

椭圆＋＝1(0<k<9)的长轴长2a′＝2，

焦距2c′＝8，离心率e′＝，短轴长2b′＝2，

∴两椭圆有相等的焦距．

4．设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0,6)   B. (0,6)∪

C．(0,3)∪   D．(0,2)

答案　B

解析　当k>8时，c2＝k－8，焦点在y轴上，由条件知<<1，解得k>；

当0<k<8时，c2＝8－k，由条件知<<1，解得0<k<6.

5．(多选)已知椭圆E：＋＝1，则(　　)

A．若E的离心率为，则m＝8

B．若m>9，E的焦点坐标为(0，±)

C．若0<m<9，则E的长轴长为6

D．不论m取何值，直线x＝－4都与E没有公共点

答案　BCD

解析　对于A，E的离心率为，所以a＝3c，

当焦点在x轴上时，a＝3，c＝1，m＝a2－c2＝9－1＝8，

当焦点在y轴上时，a＝，b＝3，c＝，所以a2＝b2＋c2⇒m＝，A错误；

对于B，若m>9，焦点在y轴上，所以c2＝m－9，E的焦点坐标为(0，±)，B正确；

对于C，若0<m<9，则焦点在x轴上，所以a＝3，长轴长为6，C正确；

对于D，令y＝0，所以x＝±3，－3≤x≤3，所以不论m取何值，直线x＝－4都与E没有公共点，D正确．

二、填空题

6．椭圆x2＋3y2＝1的短轴长为__________．

答案　

解析　由题意知椭圆x2＋3y2＝1，

即＋＝1，

可得b＝，则短轴长是2b＝.

7．定义曲线＋＝1(a>b>0)为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的“倒椭圆”．已知焦点在x轴上的椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为，则它的“倒椭圆”的方程C2为__________________．

答案　＋＝1

解析　因为焦点在x轴上的椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的短轴长为4，离心率为，

所以解得a2＝16，b2＝4，所以椭圆C1的方程为＋＝1，

所以由“倒椭圆”的定义可得椭圆C1的“倒椭圆”的方程C2为＋＝1.

8．已知O为坐标原点，B与F分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点与右焦点，若OB＝OF，则该椭圆的离心率是__________．

答案　

解析　O为坐标原点，B与F分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的上顶点与右焦点，由OB＝OF，可得b＝c，则a＝＝c，所以椭圆的离心率e＝＝.

9．如果椭圆的一个焦点坐标为(，0)，且长轴长是短轴长的倍，则此椭圆的标准方程为__________．

答案　＋y2＝1

解析　根据题意，椭圆的一个焦点坐标为(，0)，c＝，则其焦点在x轴上，

又由长轴长是短轴长的倍，即2a＝(2b)，即a＝b，

则有a2－b2＝2b2＝c2＝2，解得a2＝3，b2＝1，

则椭圆的标准方程为＋y2＝1.

三、解答题

10．已知椭圆W：＋＝1(m>0，n>0)的离心率为e，长轴为AB，短轴为CD.

(1)若W的一个焦点为，CD＝6，求W的方程；

(2)若AB＝10，e＝，求W的方程．

解　(1)由已知可得，c＝3,2b＝6，b＝3，

∴a2＝b2＋c2＝18.

由题意可知，椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为＋＝1.

(2)由已知可得，2a＝10，则a＝5，

又e＝＝，

∴c＝3，则b2＝a2－c2＝16.

若椭圆焦点在x轴上，则椭圆方程为＋＝1.

若椭圆焦点在y轴上，

则椭圆方程为＋＝1.