高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆一课一练

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆一课一练，文件包含311椭圆的标准方程原卷版docx、311椭圆的标准方程解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。

考点一：椭圆的定义
1．定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹．
2．焦点：两个定点F1，F2.
3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.
4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数)且2a>|F1F2|.
考点二：椭圆的标准方程
考点三：求轨迹方程的方法
直译法——“四步一回头”，
四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标；
（2）写出适合条件的点M的集合；
（3）将 “翻译”成代数方程；
（4）化简代数方程为最简形式.
【题型归纳】
题型一：利用椭圆的定义求方程
1．（2023秋·上海浦东新·高二校考）平面内点P到、的距离之和是10，则动点P的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出即可得出动点P的轨迹方程.
【详解】由题意，
平面内点P到、的距离之和是10，
∴动点的轨迹为椭圆,焦点在轴上,
, 解得：，
∴，
∴轨迹方程为: ，
故选: B.
2．（2022秋·江苏淮安·高二校联考期中）若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据方程可以利用几何意义得到动点P的轨迹方程是以与为
焦点的椭圆方程，从而求出轨迹方程.
【详解】由题意得：到与的距离之和为，且，
故动点P的轨迹方程是以与为焦点的椭圆方程，故，，
所以，，所以椭圆方程为.
故选：C
3．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义可求，结合三角形的面积可求，进而可得答案.
【详解】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，
所以，得.
又因为，所以四边形为矩形，设，
则，所以得或；
则，则，
椭圆的标准方程为.
故选:C.

题型二：椭圆的焦点三角形问题
4．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，若，则（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义，结合焦点三角形的周长即可求解.
【详解】由，即，可得，
根据椭圆的定义，
所以.
故选：B.

5．（2023秋·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（ ）
A．6B．12C．D．
【答案】C
【分析】设，，由椭圆定义得，由余弦定理求出，从而利用三角形面积公式求出答案.
【详解】由椭圆，得，，.

设，，
∴，在中，由余弦定理可得：，
可得，得，
故.
故选：C.
6．（2023·全国·高二专题练习）已知是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上.当最大时，求（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可得时最大，利用三角形的面积公式即得.
【详解】由椭圆的方程可得，，，则，
所以
，
当且仅当则时等号成立，即为椭圆短轴端点时最大，
此时，.
故选：C.
题型三：根据方程表示椭圆求参数问题
7．（2023·江苏·高二专题练习）已知曲线C：，则“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，列不等式求出的取值范围，结合充分必要条件的定义即可判断.
【详解】将曲线C的方程化为，
若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则，即，
而“”不能推出“”；“”可以推出“”，
故“”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的必要不充分条件.
故选：A.
8．（2021秋·江苏南通·高二统考期中）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ）
A．（－3，1）B．（－3，5）
C．（4，5）D．
【答案】A
【分析】由方程表示椭圆，结合椭圆的性质有，即可求m范围.
【详解】由题设，，可得.
故选：A
9．（2022·江苏·高二专题练习）已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】若表示焦点在轴上的椭圆，可得即可得的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解.
【详解】若方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得：．
所以成立的充要条件是：．
结合四个选项可知：成立的充分不必要条件是，
故选：B.
题型四：椭圆的标准方程的求法
10．（2022秋·江苏南通·高二校考阶段练习）阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知在平面直角坐标系中，椭圆的面积为，两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由椭圆面积公式求得关于的关系式，结合等边三角形性质可得的基本关系，联立方程即可求解.
【详解】由椭圆面积公式可得，当时，①，如图，当为等边三角形时，②，联立①②得：，故椭圆的方程为.
故选：B
11．（2022秋·江苏泰州·高二统考阶段练习）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是和，且椭圆经过点，则该椭圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的焦点可求，根据经过点，可得，进而可求解，即可得椭圆方程.
【详解】因为焦点坐标为和，所以.椭圆经过点，且焦点在x轴上，所以，所以，则椭圆的标准方程为.
故选:A.
12．（2023·江苏·高二专题练习）与椭圆有相同焦点，且过点的椭圆方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意可设椭圆的方程为，将代入可求得结果.
【详解】由题意可设椭圆的方程为.
又所求椭圆过点，所以将代入椭圆方程，
得，解得（舍去）.
故所求的椭圆方程为.
故选：B.
题型五：与椭圆有关的轨迹问题
13．（2023·江苏·高二专题练习）点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，则点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据轨迹方程的求解方法列方程求解.
【详解】设，
因为点M与定点的距离和它到定直线的距离的比为，
所以，即，
整理得，
故选:C.
14．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，,，利用为线段的中点，得到点坐标与动点坐标之间的关系，将点坐标用点坐标表示，然后代入圆的方程即可得到动点的轨迹方程；
【详解】设，,，则,．
为线段的中点，
，即，．
又点在圆上，
，即．
故点的轨迹方程为．
故选：A
15．（2023·江苏·高二专题练习）已知动圆过动点，并且在定圆：的内部与其相内切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，动圆的半径为，由圆与圆的位置关系可得，判断出的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，即可求出的轨迹方程.
【详解】设，动圆的半径为，则，
因为动圆在定圆：的内部与其相内切，
所以,
所以，即，
因为，,所以,
由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程为.
故选：A
题型六：椭圆的最值问题
16．（2023·江苏·高二专题练习）已知，是椭圆的两个焦点，点M在椭圆C上，的最大值为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义可得，结合基本不等式即可求得的最大值.
【详解】∵在椭圆上
∴
∴根据基本不等式可得，即，当且仅当时取等号.
故选：D.
17．（2023·江苏·高二专题练习）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（ ）
A．B．C．5D．6
【答案】B
【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可.
【详解】解：设圆的圆心为，则，
设，则，
所以
，当且仅当时取得最大值，
所以．
故选：B．
18．（2023·江苏·高二专题练习）已知动点在椭圆上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足且，则的最大值为（ ）
A．B．C．8D．63
【答案】B
【分析】依题意知，该椭圆的焦点，点M在以为圆心，1为半径的圆上，当PF最长时，切线长PM最大，作出图形，即可得到答案．
【详解】因为，所以点M在以为圆心，1为半径的圆上，
又因为，所以，PM为圆的切线，
，所以当PF最长时，切线长PM最大．
当点P与椭圆的左顶点重合时，最大，最大值为．
此时的最大值为．
故选：B．
题型七：椭圆方程的综合问题
19．（2023·江苏·高二专题练习）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点分别是，椭圆上的点P与两焦点的距离之和等于8；
(2)两个焦点分别是，并且椭圆经过点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆定义以及焦点坐标可计算出，，即可求得椭圆方程；
（2）由焦点坐标可知且在y轴上，设出标准方程代入计算即可.
【详解】（1）由已知得，因此．
又因为，所以，
易知椭圆的焦点在x轴上，
所以所求椭圆的标准方程为．
（2）因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为．
由已知得，又因为，所以．
因为点在椭圆上，所以，即．
从而有，
解得或（舍去）．
因此，
从而所求椭圆的标准方程为．
20．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆的焦点在轴上，且过点，焦距为，设为椭圆上的一点，、是该椭圆的两个焦点，若，求：
(1)椭圆的标准方程
(2)的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】设出椭圆的标准方程，利用待定系数法求出椭圆方程；
利用椭圆定义以及余弦定理、面积公式求得结果.
【详解】（1）设椭圆的标准方程为，
由已知得解得，，，
故椭圆的标准方程为．
（2）如图，由椭圆的定义可得，
由余弦定理可得，
整理得，
又，
所以，
故．
21．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：，左，右焦点分别为，，椭圆C经过，．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上的点P使得，求的面积．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）由题意可知 ， ，代入椭圆的标准方程进行求解即可；
（2）假设椭圆C上存在点，使得，则 ，可求出 ，根据 计算可得结果.
【详解】（1）因为椭圆C经过，．则，解得，．
所以椭圆C的方程为．
（2）由（1）知，，假设椭圆C上存在点，使得，
则，即，
联立，解得，．
∴椭圆C上存在点P使得．∴．
【双基达标】
单选题
22．（2023秋·江苏淮安·高二校考）焦点在 y轴上，且长轴长与短轴长之比为，焦距为的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的标准方程，结合题干列出方程，即可.
【详解】因为焦点在 y轴上，故设椭圆方程为，
则，且，
解得：，所以椭圆的标准方程为.
故选：D
23．（2023·江苏·高二专题练习）已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案.
【详解】由圆，则其圆心，半径为，
设动圆的圆心为，半径为，
由圆在圆的内部与其相切，则，
由圆过点，则，即，
所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，，
，所以其轨迹方程为.
故选：D.
24．（2023秋·江苏·高二校联考开学考试）已知方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据题意列出含有参数的不等式组求解即可.
【详解】根据题意,要使方程表示焦点在轴上的椭圆,
需满足,解得.
故选:C.
25．（2023·江苏·高二专题练习）已知的周长为，，，则顶点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】依题意可得，根据椭圆的定义可知顶点的轨迹是以，为焦点长轴长为8的椭圆（不含轴上的顶点），从而求出轨迹方程.
【详解】解：∵的周长为，，
∴，，
∴顶点的轨迹是以，为焦点，长轴长为8的椭圆（不含轴上的顶点），
又，，可得，
∴顶点的轨迹方程为：．
故选：D．
26．（2023秋·江苏淮安·高二校考阶段练习）分别根据下列条件求椭圆标准方程：
(1)一个焦点为
(2)与椭圆有相同的焦点，且经过点
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知可得a，c，然后由求出b，即可得椭圆方程；
（2）根据已知椭圆方程可得焦点坐标，然后设所求椭圆方程为，代入已知点坐标，结合即可求解.
【详解】（1）由题知，，椭圆焦点在x轴上，
又，所以，
所以，椭圆方程为.
（2）椭圆的焦点为，
设所求椭圆方程为，
则有，解得，
所以所求椭圆方程为.
27．（2023·江苏·高二假期作业）已知平面上两点，，动点P满足．
(1)求动点P的轨迹C的标准方程；
(2)当动点P满足时，求P点的纵坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据动点满足的几何性质和椭圆的定义可得动点的轨迹方程；
（2）设，根据和椭圆定义得关于的方程组，从而可求点P的纵坐标.
【详解】（1）因为，
由椭圆的定义可得的轨迹为椭圆，其长轴长，故，
又因为，，所以椭圆焦点在轴上，半焦距，故，
故方程为：.
（2）由（1）知，、是椭圆的两个焦点，设，
在中，因为，
所以，即，
又，所以，
在中，，
又，所以，得P点的纵坐标为．

【高分突破】
一、单选题
28．（2023·高二课时练习）已知是椭圆上的点，、分别是椭圆的左、右焦点，若，则的面积为（ ）
A．B．C．D．9
【答案】A
【分析】由已知可得，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解.
【详解】因为，
所以，
又
记，则，
②2-①整理得：，所以
故选：A
29．（2022秋·江苏南京·高二统考阶段练习）设点P为椭圆上一点，，分别为C的左、右焦点，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】结合余弦定理、椭圆的定义求得，从而求得的面积.
【详解】设，
根据椭圆的定义以及余弦定理得
，
整理得，即，
所以的面积为.
故选：C
30．（2023·高二课时练习）设P为椭圆上的点，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，则（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】先利用椭圆得到，根据椭圆的定义可得到，结合可算出，，即可算出答案
【详解】解：由椭圆可得即，
因为P为椭圆上的点，所以，
因为，所以，，故，
故选：B．
31．（2022秋·江苏南京·高二校考开学考试）已知圆C的方程为，，A为圆C上任意一点，若点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，则点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由椭圆定义确定点轨迹是椭圆，然后求出，可得其方程．
【详解】因为点P为线段AB的垂直平分线与直线AC的交点，所以，
所以，而，
所以点轨迹是以为焦点，长轴长是4的椭圆．设其方程为，
，，，则，
所以点轨迹方程是．
故选：C．
32．（2023·高二课时练习）已知分别是椭圆的左、右焦点，点，点在椭圆上，，分别是的中点，且的周长为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】因为，所以三点共线，且，根据椭圆的定义求得，
设，根据，求得，代入椭圆的方程，求得的值，即可求解.
【详解】因为，所以三点共线，且，
因为分别为和的中点，
所以，所以，
设，，，
由，可得，
求得，，所以，
因为点在椭圆上，所以，求得，，
所以椭圆的方程为.
故选：B.
33．（2023·高二课时练习）若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（ ）
A．当点P不在x轴上时，的周长是6
B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为
C．存在点P，使
D．的取值范围是
【答案】C
【分析】根据椭圆定义以及焦距即可判断选项A；当点位于上下顶点时，面积的最大即可判断选项B；当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大与比较即可判断选项C；当点为椭圆的左右顶点时取得最值，即可判断选项D.
【详解】由椭圆方程可知，，从而．
对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是 ，故选项A正确；
对于选项B：设点，因为，则．
因为，则面积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．
此时，，又，
则为正三角形，，
所以不存在点，使，故选项C错误；
对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；
当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．
故选：C.
【点睛】结论点睛：椭圆中焦点三角形的有关结论
以椭圆上一点和焦点为顶点的中，若，则
（1）焦点三角形的周长为；
（2）当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大；
（3），当时，即点为椭圆短轴的一个端点时取最大值，为；
（4）.
二、多选题
34．（2023秋·江苏淮安·高二淮阴中学校考开学考试）若方程所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．曲线C可能是圆
B．若，则C为椭圆
C．若C为椭圆，且焦点在x轴上，则
D．若C为椭圆，且焦点在y轴上，则
【答案】AD
【分析】根据方程为圆列式求解判断A，排除B，根据椭圆标准方程的特征列不等式求解范围即可判断CD.
【详解】当即时，方程为，
表示圆心为原点，半径为1的圆，故选项A正确，选项B错误；
若C为椭圆，且焦点在x轴上，则，解得，故选项C错误；
若C为椭圆，且焦点在y轴上，则，解得，故选项D正确.
故选：AD.
35．（2023·江苏·高二专题练习），是椭圆的两个焦点，A是椭圆上一点，是直角三角形，则的面积为（ ）
A．9B．
C．D．
【答案】AB
【分析】对的直角进行分类讨论，结合椭圆的定义以及标准方程求得正确答案.
【详解】由得，不妨，，则，
当时，则
①平方减去②得，
∴，
当 (或者)时，，
令，则，解得，
则，
.
故选：AB.

36．（2023秋·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（ ）
A．若点的横坐标为2，则
B．的最大值为9
C．若为直角，则的面积为9
D．若为钝角，则点的横坐标的取值范围为
【答案】BCD
【分析】对A，可直接解出点P坐标，求两点距离；
对B，最大值为
对C，设，则，列勾股定理等式，可求面积；
对D，所求点在以原点为圆心，为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.
【详解】椭圆的长半轴为，半焦距为，∴
对A，时，代入椭圆方程得，，，A错；
对B，的最大值为，B对；
对C，为直角，设，则，则有，
则的面积为，C对；
对D，以原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，则点P在圆内时，为钝角，联立，消y得，故点的横坐标的取值范围为，D对.
故选：BCD
37．（2022秋·江苏盐城·高二江苏省阜宁中学校考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆的一个动点，点，则下列结论正确的是（ ）
A．的周长为B．的面积最大值为
C．存在点，使得D．的最大值为
【答案】ABD
【分析】利用椭圆的定义及几何性质逐项判断即可.
【详解】对A，由椭圆，可得的周长为：，故A正确；
对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，故B正确；
对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误；
对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，故D正确.
故选：ABD.
38．（2023秋·江苏常州·高二常州高级中学校考阶段练习）已知P是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，
，则下列结论正确的是（ ）
A．△F1PF2的周长为16B．
C．点到x轴的距离为D．
【答案】ABC
【分析】根据椭圆的定义、椭圆内三角形的周长、面积、向量数量积运算等知识求得正确答案.
【详解】依题意，，，
所以三角形的周长为，A选项正确，
设，
所以，
整理得，
所以，B选项正确，
设到轴的距离为，则，C选项正确，
，D选项错误.
故选：ABC
39．（2022秋·江苏常州·高二校考期中）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上（异于左右顶点），记的面积为S，则（ ）
A．当时，
B．的取值范围为
C．的面积的最大值为
D．椭圆C上有且只有4个点P，使得是直角三角形
【答案】BCD
【分析】利用余弦定理和椭圆定义可求得，进而得到的面积，即可判断A；设点，利用平面向量的数量积求得，结合的范围，即可判断B；当点为椭圆的短轴顶点时，面积的最大，求出最大面积即可判断C；验证讨论的三个内角是否为直角的情况，即可判断D．
【详解】在椭圆中，，且，
对于A，在中，由余弦定理可得，
即①，焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
a，b，c的关系
b2＝a2－c2