苏教版 (2019)选择性必修第一册3.1 椭圆课时训练

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考点一：椭圆的简单几何性质
考点二：直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法：联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1.))
消去y得到一个关于x的一元二次方程．直线与椭圆的位置关系、对应一元二次方程解的个数及Δ的取值的关系如表所示．
重难点技巧：弦长的两种方法
(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长．
(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(或|P1P2|＝\r(1＋\f(1,k2))\r(y1＋y22－4y1y2)))，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长．
【题型归纳】
题型一：椭圆的焦点、焦距.顶点，长短轴
1．（2023秋·高二）椭圆与椭圆的关系为（ ）
A．有相同的长轴长与短轴长B．有相同的焦距
C．有相同的焦点D．有相同的离心率
【答案】B
【分析】利用椭圆的方程分别求出两个方程的a，b，c的值以及焦点所在位置，即可判断每个选项的正误.
【详解】对于椭圆，则，且焦点在x轴上，
所以长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，焦点为，离心率为，
对于椭圆，因为，则，
可得，且焦点在y轴上，
所以长轴长为，短轴长为，焦距为8，焦点为，离心率为，
所以A、C、D错误，B正确.
故选：B.
2．（2022秋·江苏南京·高二校考期末）曲线与曲线有共同的（ ）
A．长轴长B．短轴长C．离心率D．焦距
【答案】D
【分析】根据椭圆和双曲线的简单性质，分别求出曲线与曲线
的长轴长、短轴长、实轴长、虚轴长、离心率和焦距，由此能求出结果.
【详解】中：
长轴长，短轴长，
离心率，焦距.
曲线中：
实轴长，虚轴长，
离心率，
焦距.
曲线与曲线有共同的焦距.
故选：.
3．（2023秋·江苏·高二校联考阶段练习）设P为椭圆上的点，分别是椭圆C的左，右焦点，，则的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【解析】先根据椭圆的方程求得，进而求得，设出，利用余弦定理可求得的值，最后利用三角形面积公式求解．
【详解】由椭圆方程有，则.
设，由椭圆的定义有：.设，
由，得，由余弦定理得：
解得：，．
所以的面积为．
故选：D
题型二：椭圆的椭圆的范围问题
4．（2022秋·江苏淮安·高二江苏省郑梁梅高级中学校联考期中）设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求出点的坐标，设点，利用余弦定理建立关系，结合椭圆范围求解作答.
【详解】依题意，，设点，，，
，中，由余弦定理得：
，整理得，
则，化简得：，即，
于是得，即，而，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：A
5．（2023·高二课时练习）已知点是椭圆+=1上的动点（点不在坐标轴上），为椭圆的左，右焦点，为坐标原点；若是的角平分线上的一点，且丄，则丨丨的取值范围为（ ）
A．（0，）B．（0，2）
C．（l，2）D．（，2）
【答案】A
【分析】延长、相交于点，连接，利用椭圆的定义分析得出，设点，求出的取值范围，利用椭圆的方程计算得出，由此可得出结果.
【详解】如下图，延长、相交于点，连接，
因为，
因为为的角平分线，所以，，则点为的中点，
因为为的中点，所以，，
设点，由已知可得，，，
则且，且有，
，
故，
所以，.
故选：A.
6．（2023·高二课时练习）已知点是椭圆上的任意一点，过点作圆：的切线，设其中一个切点为，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，得到，利用椭圆的范围求解.
【详解】解：设，
则，
，
，
因为，
所以，即，
故选：B
题型三：椭圆的离心率问题
7．（2023秋·江苏盐城·高二江苏省射阳中学校）已知是椭圆的左焦点，若过的直线与圆相切，且的倾斜角为，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线与圆相切的位置关系可构造的齐次方程，结合椭圆关系可求得离心率.
【详解】由题意知：，则直线，即，
与圆相切，，即，
，，椭圆的离心率.
故选：A.
8．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在椭圆C上，且，过P作的垂线交x轴于点A，若，记椭圆的离心率为e，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得，从而可求得，根据勾股定理求出，根据椭圆的定义及离心率公式即可求解.
【详解】因为，,
所以,可得.
在中，.
由椭圆的定义可得，故，
所以，所以.
故选:A.

9．（2023春·江苏盐城·高二校考期中）直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由直线与坐标轴的交点，得到，，则，由，得点坐标，点A又在椭圆上，由定义求得，可求椭圆的离心率.
【详解】对直线，令，解得，令，解得，
故，， 则 ，设，则 ，
而，则 ，解得 ， 则，
点A又在椭圆上，左焦点，右焦点，
由，
则，椭圆的离心率.
故选：C
题型四：椭圆的中点弦问题
10．（2022秋·江苏南京·高二校考阶段练习）椭圆内有一点，设某条弦过点P且以P为中点，那么这条弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用点差法得到直线斜率和中点之间的关系，即可得解.
【详解】设满足题意的直线与椭圆交于两点，
则，，
两式相减得，即.
又直线过，由此可得所求的直线方程为，
所以弦所在直线的方程为，
故选：B.
11．（2023秋·高二课时练习）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】椭圆的中点弦问题，利用点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率即可.
【详解】设直线与椭圆相交于，两点，弦的中点坐标是，
则，，直线的斜率.
由，得，
，，
故椭圆的离心率.
故选：B.
12．（2022秋·江苏徐州·高二校考期中）已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于A、B陃点，若弦中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设的中点坐标为，代入椭圆方程相减，利用，，求出直线的斜率，得出等量关系，再由关系，即可求解.
【详解】设，过点的直线交椭圆于，两点，
若的中点坐标为，所以直线斜率，
代入椭圆方程得，
两式相减得
即，
也即，
所以，
又，
所以，
所求的椭圆方程为.
故选：A.
题型五：直线与椭圆的弦长问题
13．（2022秋·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）过椭圆的左焦点作斜率为1的弦，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先求出椭圆左焦点，然后写出直线方程为，再联立椭圆解出两交点坐标，最后依据两点之间距离公式得到弦长.
【详解】由,得椭圆方程,
左焦点为,
过左焦点的直线为,代入椭圆方程得
，解得或，
，
故选：D.
14．（2023秋·江苏南通·高二校考阶段练习）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】B
【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.
【详解】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.
15．（2023·江苏·高二专题练习）已知离心率为的椭圆的左、右顶点分别为、，点为该椭圆上位于轴上方一点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，则直线的斜率为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【分析】由离心率可求出，可得出，设，则，可得出、的方程，即可得到、的坐标，再根据求出.
【详解】由，得，则、，
设，则，
设，则，
直线的方程为，则的坐标为，
直线的方程为，则的坐标为，
所以，解得或．
故选：C.
题型六：椭圆中的向量问题
16．（2022·江苏·高二专题练习）已知椭圆C：的左右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与椭圆相交与A，B两点，若，则椭圆C的离心率e为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设,过点的直线方程为,联立,根据，得到，再结合韦达定理，由求解.
【详解】设,过点的直线方程为,
由,得,
由韦达定理得:,,
因为，
所以，
则，即，
解得，
因为，
所以，
故选：A
17．（2023春·江苏常州·高二华罗庚中学校考阶段练习）设椭圆的右顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若，求k的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由题意结合几何关系可求得，.则椭圆的方程为；
（2）设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意可得.
易知直线的方程为，由方程组可得.由方程组可得.结合，可得，解出，或.经检验的值为.
【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．
又，所以，，
所以，椭圆的方程为．
（2）
设点P的坐标为，点M的坐标为，由题意，，
点的坐标为．
因为，所以有，，，
所以，即．
易知直线的方程为，由方程组
消去y，可得．
由方程组消去，可得．
由，可得，两边平方，整理得，
解得，或．
当时，由可得，，不合题意，舍去；
当时，由可得，，.
所以，.
18．（2023·江苏·高二专题练习）设动点到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记动点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)点，在曲线上且，点满足且，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)答案见详解
【分析】（1）根据已知条件可得，整理化简即可得到的方程；
（2）先判断直线斜率不存在时的可能.然后设直线方程为，联立直线于椭圆的方程，由韦达定理得到坐标的关系，根据，得到.再根据，得到之间的关系，消掉，即可得到的值，从而得到直线方程.
【详解】（1）设点，由已知可得，
整理可得，即为的方程．
（2）当斜率不存在时，可设，，
∵，，，
∴，可设，
∴，
∴，∴，则，
此时点不在椭圆上，∴不符合，舍去．
当斜率存在时，设为，设、，中点，
联立，可得，
∴，
且，，
又，
∴
，
，整理可得.
，∴，
所以，∴，
设与轴交点，∴
，
又，所以.
解得，∴，∴，满足，
∴，，
所以直线的方程为或或或．
题型七：椭圆的定点、定值、最值问题
19．（2023·江苏·高二专题练习）已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据离心率以及的几何性质即可求解，
（2）联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，根据两点斜率公式，代入化简即可求解.
【详解】（1）由题意可知：，又，解得，
所以椭圆方程为
（2）证明：由题意可知直线有斜率，由于与点的连线的斜率为，且的横纵坐标恰好与相反，因此直线有斜率满足且，
直线的方程为：，
联立直线与椭圆方程：，
设，
则，
，
将代入可得故直线AP与AQ的斜率之和为1，即为定值，得证.
20．（2023秋·江苏盐城·高二盐城市伍佑中学校考期末）已知椭圆的左顶点为.椭圆的离心率为并且与直线相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率存在且不为0的直线交椭圆于，两点（异于点），且.则直线是否恒过定点，如果过定点求出该定点坐标，若不过定点请说明理由.
【答案】(1)
(2)直线恒过定点.
【分析】（1）由离心率的值可得的关系，将直线与椭圆联立，由判别式为可得的值，进而求出椭圆的方程；
（2）设直线的方程与椭圆联立，可得两根之和及两根之积，由向量模的关系，可得，即，求出数量积的表达式，将两根之和及两根之积代入，可得直线恒过的定点.
【详解】（1）由题意可得，可得，
所以椭圆的方程为：，即，
联立，整理可得：，
由题意可得，解得，，
所以椭圆的方程为：；

（2）因为，可得，即，由（1）可得，
由题意设直线的方程为：，，，，
联立，整理可得：，
，即，且，，
所以
，
整理可得：，解得或（舍），
即时，不论为何值都符合，
所以直线的方程为，则直线恒过定点.

21．（2022秋·江苏南京·高二统考期中）已知圆A：，T是圆A上一动点，BT的中垂线与AT交于点Q，记点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点（0，2）的直线l交曲线C于M，N两点，记点P（0，）.问：是否存在直线l，满足PM=PN？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，y=±x+2.
【分析】（1）由椭圆定义确定轨迹是椭圆，然后求出得椭圆方程；
（2）假设存在满足题意的直线，设出直线方程，代入椭圆方程后，由直线与椭圆相交得参数范围，设，应用韦达定理得，求出线段的垂直平分线的方程，由点在这个垂直平分线上求得参数值．
【详解】（1）由条件得，
所以的轨迹是椭圆，
且，所以，
所以的方程为.
（2）假设存在满足题意的直线，显然的斜率存在且不为0，
设，
由得，
则，得，
设，
则，又，
所以的中点坐标为，
因此，的中垂线方程为，
要使，则点应在的中垂线上，
所以，解得，故，
因此，存在满足题意的直线l，其方程为y=±x+2.
【双基达标】
一、单选题
22．（2023·全国·高二专题练习）已知直线：与椭圆：有公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】联立直线与椭圆的方程，令判别式大于0求解即可.
【详解】将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去得①，
因为直线与椭圆有公共点，所以方程①有实数根，则，得.
故选：B．
23．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）在椭圆上求一点，使点到直线的距离最大时，点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先利用判别式法，求出与椭圆相切的直线方程，然后即可求得本题答案.
【详解】设直线与椭圆相切，
联立方程，得①，
因为直线与椭圆相切，所以，得，
当时，与的距离最大，最大距离为，
把代入①得，，得，
代入，得，
所以点的坐标为，
故选：A
24．（2023·江苏·高二专题练习）设、分别是椭圆的左、右焦点，若是该椭圆上的一个动点，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】D
【分析】设点，则，且，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】在椭圆中，，，，则，，
设点，则，且，则，
所以，，，
所以，
，所以当时，取最小值，
故选：D
25．（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆方程为，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．若AB的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，利用点差法求解即可．
【详解】设，代入椭圆的方程可得，．
两式相减可得：．
由，，代入上式可得：
＝0，化为．
又，，联立解得．
∴椭圆的方程为：．
故选：C．
26．（2023秋·江苏徐州·高二统考阶段练习）已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点和
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求直线和椭圆C的公共点的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设椭圆C的方程为且，列出关于的方程求解即可；
（2）联立直线和椭圆C的方程求解即可．
【详解】（1）设椭圆C的方程为且，
椭圆C过两点和，
则且，解得，
故椭圆C的标准方程为．
（2）由消元得，解得或，
当时，；当时，，
∴直线和椭圆C的公共点的坐标为．
27．（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆C交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由焦点和离心率即可求出，从而可得椭圆方程；
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点直线的距离公式，结合韦达定理，把面积表示为的函数，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】（1）由已知得，又离心率，得到，，
所以椭圆的方程为.
（2）设，
联立，消得，
，得到，
由韦达定理得，，
又因为，
又原点到直线的距离为，
所以，
当且仅当，即，满足，
所以，面积的最大值为，此时直线的方程为.
【高分突破】
一、单选题
28．（2023秋·江苏南京·高二南京外国语学校校）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上，且，直线与交于另一点，与轴交于点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据几何性质表示焦半径，再结合余弦定理求焦半径的长度，即可求解.
【详解】如图，因为，所以点是的中点，
连接，由，得，
设，则，，．
由余弦定理得，
即，整理得，
则，故．

故选：D
29．（2023·江苏·高二专题练习）已知A，B，C是椭圆上的三个点，直线AB经过原点O，直线AC经过椭圆的右焦点F，若，且，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设椭圆左焦点为，设，根据椭圆对称性表示相关线段长，以及推出，利用勾股定理推出，在中，再利用勾股定理即可得的关系，即可求得答案.
【详解】设椭圆左焦点为，连接，

设，结合椭圆对称性得，
由椭圆定义得，则.
因为，则四边形为平行四边形，
则，而，故，
则，即，
整理得，
在中，，即，
即，故，
故选：C
30．（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上关于坐标原点对称的两点，且，若四边形的面积为8，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】A
【分析】首先判断四边形为矩形，再结合矩形的性质和椭圆的定义，联立求得四边形的面积，即可求解的值.
【详解】因为，且分别被点平分，
所以四边形为矩形，对角线长为，
即，且
所以,
即，
而四边形的面积为，得.
故选：A
31．（2023秋·吉林长春·高二长春市第二实验中学校考阶段练习）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆在第一象限内的一点，若，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆的方程可得，的值，进而求出的值，由椭圆的定义及勾股定理可得，的值，再求出的正切值．
【详解】由椭圆的方程可得，，所以，
设，则，由在第一象限可得，即，
因为，所以，
整理可得，
解得或2（舍，
即，，
所以在中，，
故选：A．

32．（2023秋·陕西西安·高二陕西师大附中校考阶段练习）已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由题意知，要使椭圆C的离心率取最大值，则a取最小值．即取最小值．利用点的对称性求出的最小值即可解答．
【详解】由题意得，，，
当a取最小值时，椭圆C的离心率有最大值．
设点关于直线的对称点为，
则，解得，，

则，
当时，椭圆有最大离心率，此时，．
故选：B．
33．（2023·全国·高二专题练习）设点、分别是椭圆的左、右焦点，点、在上（位于第一象限）且点、关于原点对称，若，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，四边形为矩形，设，则，利用椭圆定义可得出与的等量关系，利用勾股定理可得出与的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.
【详解】如下图所示：

由题意可知，为、的中点，则四边形为平行四边形，则，
又因为，则四边形为矩形，
设，则，所以，，
由 勾股定理可得，
所以，该椭圆的离心率为.
故选：B.
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a>b>0)
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±eq \r(a2－b2)，0)
(0，±eq \r(a2－b2))
焦距
|F1F2|＝2eq \r(a2－b2)
对称性
对称轴：x轴、y轴 对称中心：原点
离心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
直线与椭圆
解的个数
Δ的取值
两个不同的公共点
两解
Δ>0
一个公共点
一解
Δ＝0
没有公共点
无解
Δ<0