苏教版 (2019)选择性必修第一册1.4 两条直线的交点精练

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A层 基础达标练
1. 直线和的交点坐标为( )
A. B. C. D.
2. （多选题）两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，下列说法正确的是( )
A. 若方程组无解，则两直线平行B. 若方程组只有一解，则两直线相交
C. 若方程组有无数多解，则两直线重合D. 方程解的个数与直线位置无关
3. [2023泰州月考]若三条直线，，交于一点，则( )
A. B. 2C. D.
4. （多选题）两条直线与的交点在轴上，那么的值为( )
A. B. 6C. D. 0
5. 若直线与直线的交点在第一象限内，则实数的取值范围是.
6. [2023宿迁检测]
（1） 求经过两直线和的交点且与直线平行的直线的方程；
（2） 求经过两直线和的交点，且与直线垂直的直线的方程.
7. [2023如皋月考]直线经过两条直线和的交点，且.
（1） 求直线的方程；
（2） 求直线与坐标轴围成的三角形面积.
试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中，完成解答.
①与直线垂直；
②直线在轴上的截距为.
B层 能力提升练
8. 曲线与的交点的情况是( )
A. 最多有两个交点B. 两个交点C. 一个交点D. 无交点
9. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点，称为整点.设为整数，当直线与直线的交点为整点时，的值可以取( )
A. 8个B. 9个C. 7个D. 6个
10. [2023南通质检]若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为( )
A. 1B. C. 1或D.
11. 若直线与直线的交点位于第二象限，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
12. [2023苏州调研]若曲线及能围成三角形，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
13. 如果三条直线，和将平面分为六个部分，那么实数的取值集合为.
14. [2023太仓调研]已知直线，相交于点，其中.
（1） 求证：，分别过定点，，并求点，的坐标.
（2） 当为何值时，的面积取得最大值？并求出最大值.
C层 拓展探究练
15. 已知与是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是( )
A. 无论 , , 如何，总是无解B. 无论 , , 如何，总有唯一解
C. 存在 , , ，使之恰有两解D. 存在 , , ，使之有无穷多解
16. 已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，求的取值范围.
1.4 两条直线的交点
分层作业
A层 基础达标练
1. C
2. ABC
3. C
4. BC
5. ,
6. （1） 解 依题意，由
解得所以交点为，.
因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
（2） 解 方法一 解方程组得.
因为直线的斜率为，且，所以直线的斜率为，由斜截式可知的方程为，即
方法二 设直线的方程为，
即.
因为，所以，解得，
所以直线的方程为.
7. （1） 解 若选条件①，
联立解得即直线与直线的交点坐标为.
设直线的方程为，将点代入直线的方程，得，解得.
所以直线的方程为.
若选条件②，
联立解得即直线与直线的交点坐标为.
因为直线在轴上的截距为，所以直线经过点，
所以直线的斜率，
所以直线的方程为，即
（2） 解 在直线的方程中，
令，得；令，得，
所以直线与轴的交点坐标为,，与轴的交点坐标为，
所以直线与坐标轴围成的三角形面积为.
B层 能力提升练
8. A
9. A
10. C
11. D
[解析]联立方程组
解得
因为两直线的交点位于第二象限，所以且，解得.
设直线的倾斜角为 ，其中，即，解得，
即直线的倾斜角的取值范围是,.故选.
12. C
[解析]曲线由两条射线构成，它们分别是射线,及射线,.
因为方程组的解为，所以射线,与直线有一个交点.
若曲线及能围成三角形，则方程组必有一个解，故，因此.故选.
13.
[解析]若三条直线两两相交，且交点不重合，则这三条直线将平面分为七个部分；
如果这三条直线将平面分为六个部分，那么包括两种情况能够成立，
①是直线过另外两条直线的交点，
由直线和的交点是，代入解得.
②是直线与另外两条直线平行，
当直线和平行时，只需，解得；当直线和平行时，只需，解得.
综上，的取值集合是.
14. （1） 证明 在直线的方程中，令可得，则直线过定点；在直线的方程中，令可得，则直线过定点.
（2） 解 联立直线，的方程解得即点,,
则，
.
因为，所以.
因为且，所以当时，取得最大值，即.
C层 拓展探究练
15. B
[解析]与是直线（为常数）上两个不同的点，的斜率存在，即，且,，
所以.
由
,得，即，所以方程组有唯一解.故选.
16. 解 由题意,得的面积为 ，直线与轴的交点为,.
由直线将分割为面积相等的两部分，可得，故，故点在射线上.
设直线和的交点为，则由可得点的坐标为,.
①若点和点重合，如图，则点为线段的中点，故，，把,两点的坐标代入直线，求得.
②若点在点和点之间，如图,此时，点在点和点之间，由题意可得的面积等于，即，即 ，可得，求得，故有.
③若点在点的左侧，如图，则，由点的横坐标，求得.
设直线和的交点为，则由求得点的坐标为,，此时，由题意可得的面积等于，即
，即，化简可得
由于此时，，
所以.
两边开方可得 ，所以，化简可得，故有.综上，的取值范围是，.