【培优分阶练】高中数学(人教A版2019)必修第一册 4.5.1《函数的零点与方程的解》培优分阶练（含解析）
展开4.5.1 函数的零点与方程的解
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1.设函数，满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是( )
答案 C
解析 函数的定义域为，函数是增函数，
满足，说明，，，有个是负数一定是两个正数或个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在，在，在，不可能在．
故选：．
2.下列函数既是偶函数又有零点的是( )
答案 D
解析 由偶函数定义再定义内满足，是偶函数的是；
且没有零点；由零点，故选：．
3.下列函数中，在内有零点且单调递增的是( )
． ．
答案
解析 根据题意，依次分析选项：
对于，x，其定义域为，在上没有定义，不符合题意；
对于，，在上有零点，且在为增函数，符合题意；
对于，，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；
对于，，在上为减函数，不符合题意；
故选：．
4. 已知函数，则函数的零点个数是( )
答案
解析 因为函数，
且时；
所以的图象如图，
由图可得：与只有两个交点；即函数的零点个数是；
故选：．
5.方程的解所在的区间为( )
答案
解析 令，由于，，
，根据函数零点的判定定理可得的零点所在的区间为，
故方程的解所在的区间为，
故选：．
二、多选题
6.下列说法正确的是( )
A．已知方程的解在内，则
B．函数的零点是
C．方程的一个实根在区间内，另一个实根大于，
则实数的取值范围是
D．若函数在区间上有零点，则一定有
答案
解析 对于，令，显然为增函数，
因为，
所以在内有唯一零点，
所以方程在内有唯一解，
因为方程的解在内，所以，故正确；
对于，令，得或，
所以函数的零点是和，故不正确；
对于，令，
依题意可得，即，解得，故正确；
对于，因为在上有两个零点，但是，故不正确；
故选：．
三、填空题
7.已知函数的零点在区间上，则的取值范围为 ．
答案
解析 因为函数的零点在区间上是单调递增，
函数的零点在区间上，，，，
可得
所以，解得．
8.函数在定义域内零点的个数是 ．
答案
解析 在同一坐标系中画出函数与的图象，
可以看到个函数的图象在第二象限有个交点，在第一象限有个交点，
所以函数在定义域内有个零点．
9.若函数在区间上有一个零点，则实数的取值范围是 ．
答案
解析 函数在区间上有一个零点，
若方程的判别式为，可得或，
当时，，有零点，不满足题意；
当时，，有零点，不满足题意；
若可得，可得或，
，
可得，解得，
综上.
四、解答题
10.已知函数，，．证明：函数恒有两个不同的零点．
证明 ，
因为，
又在上的图象是不间断的，
所以函数恒有两个不同的零点．
11.已知函数在区间上只有一个零点，求实数的取值范围．
答案
解析 若，则，与题意不符，
所以，
由题意可知，在上是单调函数，且其在区间上的图象是不间断的，
所以，解得，
故实数的取值范围为．
12.确定函数的零点所在的区间．
答案 ，．
解析 设，则的零点个数即与的交点个数，作出两函数图象，如图：
由图知，与在区间内有一个交点，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以在内两曲线又有一个交点．
故函数的两零点所在的区间为，．
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1.已知实数是函数的一个零点，若，则( )
答案
解析 函数在上递增，且，由图象可知，
当时，有，故选：．
2.若方程在内恰有一个零点，则有( )
答案
解析 方程在内恰有一个零点，
，，
，解得．故选：．
3.方程解的情况是( )
有且只有一个根 不仅有根还有其他根
有根和另一个负根 有根和另一个正根
答案
解析 方程等价为
设，
则函数在上为减函数，
方程有且只有一个根，故选.
4.设函数的两个零点为，则有( )
答案
解析 由，得，
作函数与的图象如图，
不妨设，由图可知，，则，且，
，则，即，
．故选：．
5.已知函数，，的零点依次为，则( )
答案
解析 (1)令，即，化为，
分别作出函数，的图象，
由图象可以知道函数的零点，
(2)对于函数对于函数，令，则，
；
(3)令，则，即，
分别作出函数，的图象，
则，
综上可知：，故选．
二、多选题
6.已知函数，零点分别为，给出以下结论正确的是( )
A． B．
C． D．
答案
解析 由函数得，所以的图象关于直线对称，
是函数和的图象与函数的图象的交点的横坐标，
因此已知，
又，即，，
因而均正确；
又，当且仅当即时等号成立，
但，
因而，上式等号不成立，
所以，正确；
记，
因此，
而函数在区间范围内单调递增，
所以，所以错误．
故选：．
三、填空题
7.若方程至少有一个负数解，则实数的取值范围 ．
答案
解析 由题意，，解得；
若方程至少有一个负数解，
①当时，，在上有解，
故；
②当时，则成立，
即；
；；
故实数的取值范围为.
8. 已知函数有个零点，且函数满足，则= ．
答案
解析 函数满足，
即函数的图象关于直线对称
即函数的零点关于直线对称
不妨令，则
即，
.
9. 已知函数，若函数有四个不同的零点，，则的取值范围是 .
答案
解析 作出的函数图象如图所示：
由图象知 ，，，
解不等式得：，
，
令，则，
令，则在上单调递减，
，即.
四、解答题
10.已知，方程在区间上有两个不同的实根，求的最小值．
答案
解析 设和方程 有两个相异根，由，
两个根都在区间上，
可得函数在区间上与轴有两个不同的交点，
故有，且，且，
且 ，且．
故的最小值为，故有 ．
当时，正整数不存在；当时，正整数不存在；
当时，正整数不存在；当时，存在正整数．
综上可得，的最小值为，的最小值为，的最小值为，
故的最小值为．
培优第三阶——高考沙场点兵
1.(2021•全国模拟)已知函数为偶函数，且在上有个零点，则的解析式可以为( )
A． B．
C． D．
答案
解析 根据题意，依次分析选项：
对于，，其定义域为，，是偶函数，
对于方程，设，则有，变形可得，方程有个正根，
则有两解，则函数有个零点，正确，
对于，，其定义域为，有，不是偶函数，不符合题意，
对于，，其定义域为，有，是奇函数，不符合题意，
对于，，其定义域为，有，是偶函数，
对于方程，设，则有，解可得，只有个正根，
则方程有解，即，则函数有个零点，不符合题意，
故选：．
2. (2022•重庆模拟)已知二次函数的两个零点都在区间内，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案
解析 二次函数的两个零点都在区间内，
，解得，
故选：．
3.(2021•台州二模)若函数在上有两个不同的零点，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
答案
解析 令，依题意，方程在上有两个零点，
即函数的图象与在上有两个交点，
作出函数与的图象如图，
又，由图象可知，．
故选：．
4. (2022•金凤区校级一模)已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为( )
A． B． C． D．
答案
解析 由已知，可得，，
是直线与曲线的交点的横坐标，
，则，
则是直线与曲线的交点的横坐标，如图，
与的图象关于直线对称，
联立，解得，
直线与直线交于点，
由图象知，点关于点对称，
，．
故选：．
5.(2022•赣州一模)已知函数，，若只有两个零点，则下列结论正确的是( )
A．当时，，
B．当时，，
C．当时，，
D．当时，，
答案
解析 根据题意可得，其中，
因为只有两个零点，不妨设，
所以，
因为，则且，
由题意可得，则．
由可得，
则，
当时，则，，，，均错；
当时，则，，，则，错对．
故选：．
6.(多选)(2022•江苏模拟)已知函数的零点为，的零点为，则( )
A． B．
C． D．
答案
解析 函数的零点为，的零点为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
函数与函数图象的交点的横坐标为，
作函数、函数、函数的图象如下，
故点的横坐标为，点的横坐标为，
函数与函数的图象关于直线对称，
函数的图象关于直线对称，
点关于直线对称，
又点在直线上，
点关于原点对称，
，故选项错误；
易知，故选项正确；
，
，
即选项正确；
易知，
，
即，
故选项正确；
故选：．
7.(2021•徐汇区校级三模)函数的零点为 ．
答案
解析 函数的零点即为方程的根，
方程可变形为，
令，则，
所以，即，解得或 (舍，
故，解得，
所以函数的零点为．
