【培优分级练】人教版数学八年级上册 14.1《整式的乘法》培优三阶练（含解析）

14.1 整式的乘法

知识点01  同底数幂的乘法

一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==．

语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

【拓展】

（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．

（m，n，…，p都是正整数）．

（2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）．

知识点02  幂的乘方

1、幂的乘方的意义：

幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方．

2、幂的乘方法则：

一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，

．

语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．

【拓展】

（1）幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）．

（2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）．

知识点03  积的乘方

1、积的乘方的意义

积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等．

（积的乘方的意义）

=（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律）

=a3b3．

2、积的乘方法则

一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n，

．

因此，我们有．

语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

知识点04  单项式与单项式相乘

法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

（1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏．

（2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用．

（3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式．

【注意】

（1）积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值．

（2）相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算．

知识点05  单项式与多项式相乘

法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）．

【注意】

（1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．

（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号．

（3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果．

知识点06  多项式与多项式相乘

1、法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

2、多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即

（m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc．

【注意】

（1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．

（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积．

知识点07  同底数幂的除法

同底数幂的除法法则：

一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．

语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减．

【拓展】

（1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）．

（2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）．

知识点08  零指数幂的性质

零指数幂的性质：

同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如am÷am，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有am÷am=am-m=a0．

于是规定：a0=1（a≠0）．

语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于1．

【注意】

（1）底数a不等于0，若a=0，则零的零次幂没有意义．

（2）底数a可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x2+y2+1）0=1等．

（3）a0=1中，a≠0是极易忽略的问题，也易误认为a0=0．

知识点09  单项式除以单项式

单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式．

【归纳】

该法则包括三个方面：

（1）系数相除；

（2）同底数幂相除；

（3）（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．

【注意】

可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性．

知识点10  多项式除以单项式

多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

【注意】

（1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．

（2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项．

（3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．

培优第一阶——基础过关练

1．计算的结果是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：，

故选：D．

2．下列计算中，正确的是(   )

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】解：A、，原式错误；

B、，原式错误；

C、，原式错误；

D、，原式正确；

故选：D．

3．计算(a4)3÷(a2)5的结果是（     ）

A．a B．a2 C．a3 D．a4

【答案】B

【详解】解：原式=，

故选：B．

4．下列运算中，正确的有（    ）

（1） ；（2）

（3）；（4）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】A

【详解】解：（1），故错误；

（2），，故错误；

（3），故错误；

（4），故正确；

∴正确的有1个，

故选：A．

5．若，则等于（　　）

A．1 B．9 C．3 D．

【答案】D

【详解】解：∵，

∴，

∴，

故选D．

6．计算＝_____．

【答案】

【详解】解：

故答案为：．

7． = ____.

【答案】

【详解】解：原式

故答案为．

8．计算：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【详解】(1)

(2)

9．已知，是整数，解决以下问题：

(1)若，且，，求的值.

(2)若，且，求的值.

【答案】(1)6

(2)343

【详解】（1）解：，，

；

（2）解：．

10．观察下列各式

……

请根据你发现的规律完成下列各题：

(1)根据规律可得___________（其中n为正整数）；

(2)计算：；

(3)①计算：；

②计算：．

【答案】(1)

(2)

(3)①；②

【详解】（1）

（2）=

（3）①==；②== =

培优第二阶——拓展培优练

1．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】解：A、，故本选项不合题意；

B、，故本选项不合题意；

C、，故本选项符合题意；

D、，故本选项不合题意；

故选：C．

2．如果3a＝5，3b＝10，那么9a－b的值为(             )

A．  B．  C．  D．不能确定

【答案】B

【详解】

故选：B．

3．如图所示运算程序中，若开始输入的x值为48，第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，……，则第2021次输出的结果是（    ）

A．1 B．6 C．3 D．4

【答案】B

【详解】解：将48输入后会发现输出结果依次为24，12，6，3，6，3，6，…的规律依次出现，且当结果输出的次数大于2时，第奇数次结果为6，第偶数次结果为3，

2021为奇数，

∴第2021次输出的结果为6，

故答案为：B．

4．8张如图1的长为，宽为（）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示，如果左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，则满足（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】解：如图，左上角阴影部分的长为AE=AD-a，宽为AF＝4b，右下角阴影部分的长为PC=BC-4b=AD-4b，宽为CG=a，

四边形AEHF的面积为：，

四边形QPCG的面积为：，

∵左上角与右下角的阴影部分的面积始终保持相等，

∴，

∴，即，

故选：C．

5．我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．

1   1        

1   2   1        

1   3   3   1        

1   4   6   4   1        

……            ……

请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（    ）

A．2022 B． C． D．4042

【答案】B

【详解】解：由题意：，…，

…，

可知，展开式中第二项为含项，

∴展开式中含项的系数是﹣4044．

故选B．

6．计算：=______，0.252021×=______．

【答案】          4

【详解】解：；

=

=

=

=

=4

故答案为；，4

7．如果，那么我们规定（x，y）＝n．例如：因为32＝9，所以（3，9）＝2．

（1）记（4，12）＝a，（4，5）＝b，（4，60）＝c，则a，b，c三者之间的数量关系是 _____；

（2）若（m，16）+（m，5）＝（m，t），则t的值为 _____．

【答案】     a+b=c     80

【详解】解：（1）∵（4，12）=a，（4，5）=b，（4，60）=c

∴，

∵12×5=60，

∴，

∴，

∴a+b=c；

故答案为：a+b=c.

（2）设（m，16）=p，（m，5）=q，（m，t）=r

∴

∵（m，16）+（m，5）=（m，t），

∴p+q=r

∴，

∴，即16×5=t

∴t=80．

故答案为：80．

8．（1）

（2）

【答案】（1）0；（2）

【详解】（1）原式

（2）原式

9．先化简，再求值：，其中

【答案】，

【详解】解：

当时，

原式

．

10．如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示）留下一个“T”型的图形（阴影部分）

(1)用含，的代数式表示“T”型图形的面积并化简．

(2)若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．

【答案】(1)

(2)34000元

【详解】（1）解：“”型图形的面积=

，

答：“”型图形的面积为．

（2）解：由米得：米，

则“”型图形的面积=（平方米），

所以草坪的造价为（元），

答：草坪的造价为34000元．

培优第三阶——中考沙场点兵

1．计算正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】=

故选：C．

2．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；    

B. ，故该选项不正确，不符合题意；

C. ，故该选项不正确，不符合题意；    

D. ，故该选项不正确，不符合题意；

故选A

3．正整数a、b分别满足，，则（    ）

A．4 B．8 C．9 D．16

【答案】D

【详解】解：，，

，，

．

故选：D．

4．《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】∵1兆＝1万×1万×1亿，

∴1兆＝，

故选：C．

5．已知，，则的值是（  ）

A．2 B． C．3 D．

【答案】C

【详解】解: ∵，，

∴，

∴，

∴．

故选：C．

6．数学讲究记忆方法．如计算时若忘记了法则，可以借助，得到正确答案．你计算的结果是__________．

【答案】0

【详解】

=

=

=0．

故答案为：0．

7．如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽边长分别是2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片________张才能用它们拼成一个新的正方形．

【答案】4

【详解】根据构成的新正方形的面积一定是一个完全平方数，根据三张纸片的面积即可确定．

解：甲类纸片1张，乙类纸片4张，总面积是4+4=8，大于8的完全平方数依次是9，16，25…，而丙的面积是2，因而不可能是9；

当总面积是16时，取的丙纸片的总面积是8，因而是4张．

因而应至少取丙类纸片4张才能用它们拼成一个新的正方形．

故答案为4．

8．先化简，再求值：（2+a）（2﹣a）+a（a﹣5b）+3a5b3÷（﹣a2b）2，其中ab=．

【答案】5

【详解】解：原式=4﹣a2+a2﹣5ab+3ab

=4﹣2ab，

当ab=﹣时，

原式=4+1=5．

9．（1）计算：

（2）化简：．

【答案】（1）；（2）

【详解】解：（1）解：原式=

=

=

=；

（2）原式=

=．

10．某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：

原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2） （第一步）

=a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）

=2ab﹣b2 （第三步）

（1）该同学解答过程从第几步开始出错，错误原因是什么；

（2）写出此题正确的解答过程．

【答案】(1)从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；(2)2ab+b2．

【详解】解：(1)该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；

(2)原式=a2+2ab-(a2-b2)

=a2+2ab-a2+b2

=2ab+b2．

故答案为(1)第二步，去括号时没有变号；(2)2ab+b2．