【培优分级练】人教版数学八年级上册 14.3《因式分解》培优三阶练（含解析）

14.3 因式分解

知识点01  因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式的     的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．

【注意】

（1）因式分解是针对多项式而言的，一个单项式本身就是数与字母的积，不需要再分解因式；

（2）因式分解的结果是整式的积的形式，积中几个相同因式的积要写成幂的形式；

（3）因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止；

（4）因式分解与整式乘法是方向相反的变形，二者不是互为逆运算．因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算．

知识点02  用提公因式法分解因式

1、公因式的定义：一个多项式各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的     ．

2、怎样确定公因式（五看）：

一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；

二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；

三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；

四看整体：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；

五看首项符号：若多项式中首项符号是“-”，则公因式的符号一般为负．

3、提公因式法的定义：

一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做         ．

4、提公因式法分解因式的一般步骤：

①确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；

②提公因式并确定另一个因式；

③把多项式写成这两个因式的积的形式．

【注意】

（1）多项式的公因式提取要彻底，当一个多项式提取公因式后，剩下的另一个因式中不能再有公因式．

（2）提公因式后括号内的项数应与原多项式的项数一样．

（3）若多项式首项系数为负数时，通常要提出负因数．

知识点03  用平方差公式分解因式

1、平方差公式的等号两边互换位置，得

语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的     的积．

2、特点：①等号左边是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反；

②等号右边是两个数的和与这两个数的差的积．

知识点04  用完全平方公式分解因式

1、完全平方公式的等号两边互换位置，得

，

语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的     的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方．

2、特点

①等号左边是三项式，其中首末两项分别是两个数（或两个式子）的平方，且这两项的符号相同，中间一项是这两个数（或两个式子）的积的2倍，符号正负均可．

②等号右边是这两个数（或两个式子）的和（或差)的平方．当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；当中间的乘积项与首末两项的符号相反时，是差的平方．

3、公式法的定义：

如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做     ．

培优第一阶——基础过关练

1．下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ）

A． B．

C． D．

2．下列因式分解正确的是（    ）

A． B．

C． D．

4．下列多项式中，可以用平方差公式进行因式分解的是（    ）

A． B． C． D．

5．在有理数范围内，下列多项式不能因式分解的有(   )

①；②；③；④；⑤

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．分解因式：a2﹣25＝_____．

7．分解因式：______．

8．将下列各式因式分解：

(1)；

(2)．

9．在数学课外探究小组活动中，有一道这样的题目：对多项式进行因式分解．指导老师的讲解过程如下．

解：令，

则原式．

∵，∴原式．

老师解答到此就停止了，并提出了以下2个问题：

(1)上述解答的结果是否分解到最后？_______（填“是”或“否”）．如果否，直接写出最后的结果______（如果是则不用填写）．

(2)请模仿以上方法对多项式进行因式分解．

10．阅读下列解答过程，然后回答问题：

已知有一个因式，求k的值．

解：设另一个因式为，则

．即

（对任意实数x成立）

由此得：

∴

(1)已知有一个因式，则另一个因式为_______________；

(2)已知有一个因式，则m的值为________________；

(3)已知多项式有一个因式，求k的值．

培优第二阶——拓展培优练

1．已知，那么的值是（    ）

A． B．16 C． D．10

2．下列因式分解正确的是（    ）

A． B．

C． D．

3．对于多项式（1）；（2）；（3）；（4）中，能用平方差公式分解的是(    )

A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）

4．下列各式：①；②；③；④；⑤，能用公式法分解因式的有（　　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

5．对于任意的有理数,我们规定  ,如  ．求的值为（    ）

A． B． C． D．

6．计算：______．

7．分解因式：________．

8．因式分解

(1)m(5-m)+2(m-5)

(2)

(3)

(4)；

9．阅读材料：若，求的值．

解：

根据你的观察，探究下面的问题：

(1)，则a＝      ，b＝      ．

(2)已知，求xy的值．

(3)已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长．

10．数学活动：认识算两次

把同一个量用两种不同的方法计算两次，进而建立等量关系解决问题，这种方法在数学上称为算两次．例如：在学习整式乘法过程中，我们用两种不同的方法计算如图1中最大的正方形面积验证了完全平方公式：．

(1)如图2，将长为m，宽为n的四个大小、形状完全相同的小长方形按如图所示拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积可以得出等式______________．

(2)如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体．

①剩余部分按如图所示继续切割为甲、乙、丙三个长方体，它们的体积可以用含x、y的整式分别表示为______________、______________、______________；

②利用①中的结果以及算两次的方法，因式分解：

③若，求的值．

培优第三阶——中考沙场点兵

1．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（  ）

A． B．

C． D．

2．多项式因式分解为（    ）

A． B．

C． D．

3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是　　

A． B． C． D．

4．已知，则的值为（   ）

A． B． C． D．

5．对于任意实数a，b，a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）恒成立，则下列关系式正确的是(   )

A．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）

B．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab+b2）

C．a3﹣b3＝（a﹣b）（a2﹣ab+b2）

D．a3﹣b3＝（a+b）（a2+ab﹣b2）

6．分解因式：____________．

7．如图，边长为a，b的矩形的周长为14，面积为10，则a2b+ab2的值为 _____．

8．分解因式：

(1) m2＋4m＋4

(2) a2b－4ab2＋3b3

(3)(x2＋y2)2－4x2y2

9．已知x＋y＝3，x2＋y2－3xy＝4．求下列各式的值：

(1)xy

(2)x3y＋xy3

10．如果一个自然数的个位数字不为，且能分解成，其中与都是两位数，与的十位数字相同，个位数字之和为，则称数为“合和数”，并把数分解成的过程，称为“合分解”．

例如，和的十位数字相同，个位数字之和为，

是“合和数”．

又如，和的十位数相同，但个位数字之和不等于，

不是“合和数”．

（1）判断，是否是“合和数”？并说明理由；

（2）把一个四位“合和数”进行“合分解”，即．的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的和记为；的各个数位数字之和与的各个数位数字之和的差的绝对值记为．令，当能被整除时，求出所有满足条件的．