高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义第1课时教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.1 导数的概念及其意义第1课时教案，共14页。教案主要包含了求函数的极值，由极值求参数的值或取值范围，利用函数极值解决函数零点问题等内容，欢迎下载使用。
5.3.2　函数的极值与最大(小)值
第1课时　函数的极值
学习目标　1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件．

知识点一　函数极值的定义
1．极小值点与极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，就把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
2．极大值点与极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)0，右侧f′(x)0，知
①当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.
又当x∈(0，a)时，f′(x)0，
从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a，无极大值．
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；
当a>0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值．
反思感悟　函数极值和极值点的求解步骤
(1)确定函数的定义域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．
跟踪训练1　(1)求函数f(x)＝－2的极值．
解　函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝＝－.
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
↘
极小值
↗
极大值
↘

由上表可以看出，当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；
当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.
(2)已知函数f(x)＝x＋＋1，a∈R.求此函数的极值．
解　函数的定义域为{x|x≠0}，
f′(x)＝1－＝.
当a≤0时，显然f′(x)>0，这时函数f(x)在区间(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递增，此时函数无极值．
当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝±.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，0)
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
↘
极小值
↗

由上表可知，当x＝－时，函数取得极大值f(－)＝－2＋1.
当x＝时，函数取得极小值f()＝2＋1.
综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，函数f(x)在x＝－处取得极大值－2＋1，在x＝处取得极小值2＋1.
二、由极值求参数的值或取值范围
例2　(1)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＝________，b＝________.
答案　4　－11
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依题意得即
解得或
但由于当a＝－3，b＝3时，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故f(x)在R上单调递增，不可能在x＝1处取得极值，
所以不符合题意，应舍去．
而当a＝4，b＝－11时，经检验知符合题意，
故a，b的值分别为4，－11.
(2)已知函数f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围．
解　f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点，如图所示．

所以
解得m>3.故实数m的取值范围是(3，＋∞)．
反思感悟　已知函数的极值求参数的方法
(1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．
注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．
(2)对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为f′(x)≥0或f′(x)≤0在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．
跟踪训练2　(1)若函数f(x)＝ax－ln x在x＝处取得极值，则实数a的值为(　　)
A. B. C．2 D.
答案　A
解析　因为f′(x)＝a－，所以f′＝0，
即a－＝0，解得a＝.
(2)已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1.
①若函数的极大值点是－1，求a的值；
②若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围．
解　①f′(x)＝x2－2x＋a，
由题意得，f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，
经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值，故a＝－3.
②由题意得，方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，
设为x1，x2，则x1x2＝a