数学选择性必修 第二册5.3 导数在研究函数中的应用第1课时教学设计

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问题：

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？

问题引入

 创设问题情景，为引出函数的极值做铺垫

讲授新课

1函数的极值

观察图5.3-9，我们发现，当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数h(t)在此点的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？

放大t=a附近的函数 h(t)的图象，如图5.3-10.可以看出，；在t=a的附近，

当t<a时，函数 h(t)单调递增，；

当t>a时，函数 h(t)单调递减，.

这就是说，在t=a附近，函数值先增（当t<a时，）后减（当t >a时，）.这样当t在a的附近从小到大经过a时，先正后负，且连续变化，于是有.

对于一般的函数y=f(x),是否也有同样的性质呢？

探究

如图5.3-11，

函数y=f(x)在x=a, b, c, d, e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律？

以 x=a, b两点为例，可以发现，函数 y=f(x)在点 x=a的函数值 f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，；而且在点x=a附近的左侧，右侧.

类似地，

函数 y=f(x)在点 x=b的函数值 f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，；而且在点x=b附近的左侧，右侧.

我们把a叫做函数 y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值；b叫做函数 y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

 极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.

例5 求函数的极值.

解：因为 ，所以

.

令，解得 x=-2，或x=2.

当x变化时，， f(x)的变化情况如下表所示.

因此，

当x=-2时， f(x)有极大值，并且极大值为

当x=2时， f(x)有极小值，并且极小值为

函数的图象如图5.3-12所示.

思考

导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

导数值为0的点不一定是函数的极值点.例如，对于函数，我们有.虽然，但由于无论x>0，还是x<0，恒有，即函数 是增函数，所以0不是函数 的极值点.一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为0是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.

一般地，可按如下方法求函数 y=f(x)的极值：

解方程，当 时：

（1）如果在附近的左侧 ，右侧，那么是极大值；

（2）如果在附近的左侧 ，右侧 ，那么是极小值.  

课堂练习：

1判断正误．

(1)函数的极大值一定比极小值大．(　　)

(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0 是x0为极值点的充要条件．(　　)

(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．(　　)

(4)单调函数不存在极值．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4) √

2已知定义在R上的函数f(x)恰有3个极值点，则 f(x)的导函数的图象可能为（）

  答案：D

  解：对于处处可导的函数，函数的极值点要满足两个条件，一个是该点的导数为0，另一个是该点左、右两边的导数值异号.

  故A与C对应的函数 f(x)只有2个极值点；

  B对应的函数 f(x)有4个极值点；

  D对应的函数 f(x)有3个极值点.

3 已知函数的图象如图所示，则有（）

    A．b>0, c>0   B.  b<0, c>0 

C.  b>0, c<0   D.   b<0, c<0

  答案：A

  解： 由函数 f(x)的图象知 f(x)先递减，再递增，再递减， f(0)=0，可知d=0，

 ∴ f′(x)先为负，再变为正，再变为负，

 ∵

 ∴  a<0

 ∵ 0在增区间内，

  ∴ ,即c>0, ,可知b>0,

  故选A.

4 求函数的极值.

解：∵

令，即

解得

当x变化时， 的变化情况如下表

∴ 当x=-1时，函数y=f(x)有极大值，且 f(-1)=10；

当x=3时，函数y=f(x)有极小值，且 f(3)=-22.

极大值一定大于极小值吗？

引导学生探究运用导数研究函数的极值。发展学生数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养。

通过特例，让学生体会导数与函数极值之间的关系。

例题巩固

求极值的一般步骤

练习巩固

课堂小结

函数的极值与导数的关系

(1)函数的极小值与极小值点

若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．

(2)函数的极大值与极大值点

若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值．

板书

1函数的极值

2例题

3课堂练习

教学反思