人教A版 (2019)选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列第2课时教案

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   等差数列的性质及应用教学设计 课题   等差数列的性质及应用单元第一单元学科数学年级高二教材分析本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册，第四章《数列》第二节课4.2.1等差数列的概念。等差数列是一种最基本的数列，研究它的性质，需要通过观察、分析、归纳、猜想等方法，是在学习了等差数列的概念、通项公式的基础上进行的。在探究等差数列性质的过程中使学生学会研究数列的方法，提高数学学习的能力，掌握研究数列的基本方法对于学好《数列》整章内容起着重要的作用教学目标与核心素养1数学抽象： 等差数列的性质2逻辑推理： 等差数列性质的推导3数学运算： 等差数列性质的运用4数学建模： 应用等差数列解决实际问题5直观想象： 等差数列的性质及其与一次函数的关系6数据分析： 等差数列的性质及其推导、运用，提高学生参与数学活动的能力重点等差数列的性质及应用难点等差数列性质的推导 教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图导入新课复习1 等差数列的概念文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.符号语言提示：         2等差中项提示：（1）条件：如果a，A，b成等差数列（2）结论：A叫做a与b的等差中项（3）满足的关系式是 2A=a+b 3等差数列的通项公式和递推公式已知等差数列{}的首项为，公差为d递推公式通项公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N*)   复习导入 通过回顾等差数列的概念、等差中项、通项公式，发展学生数学抽象、数学建模的核心素养讲授新课 例3  某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废. 请确定d的取值范围. 分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{}.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于（2205%=）11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元. 可以利用{}的通项公式列不等式求解. 解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列{}.  由已知条件，得.由于d是与n无关的常数，所以数列{}是一个公差为-d的等差数列. 因为购进设备的价值为220万元，所以，于是 .根据题意，得即解这个不等式组，得  .所以，d的取值范围为 . 例4  已知等差数列{}的首项 ，公差d=8，在{}中每组相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{} .（1）求数列{}的通项公式.（2）是不是数列{}的项？若是，它是{}的第几项？若不是，说明理由.分析：（1）{}是一个确定的数列，只要把，表示为{}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{}的通项公式；（2）设{}中的第n项是{}中的第 项，根据条件可以求出n与 的关系式，由此即可判断 是否为 {}的项.解：（1）设数列{}的公差为 .由题意可知，，，于是 .因为，所以，所以.所以 .所以，数列{}的通项公式是 .（2）数列{}的各项依次是数列{}的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{}，则 .令 ，解得所以， 是数列 {}的第8项. 思考：如果插入的是个数，那么的公差是多少？提示：设数列{}的公差为 .由题意可知，，，于是 .因为，所以，所以  例 5 已知数列{}是等差数列，,且 . 求证 .分析：只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证.证明：设数列{}的公差为d ，则，，，.所以因为 ，所以 . 拓展等差数列的常用性质(1)通项公式的推广： （ ）(2) 若{}是等差数列，,且 . 则   ①特别地，当 时，    ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即  .  (3)若是公差为d的等差数列，则 ① (c为任意常数) 是公差为d的等差数列 ②(c为任意常数) 是公差为cd的等差数列 ③ 是公差为md的等差数列． (4)若分别是公差为的等差数列，则数列是公差为 的等差数列.  课堂练习：1已知数列{}是等差数列，且 ，求的值.解：∵等差数列中，若 . 则 ∴，由条件等式得∴ 2  (多选题)下列命题正确的是（）    A 给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式B 若等差数列的过程，则是递增数列C 若 a，b，c成等差数列，则，可能成等差数列D 若数列是等差数列，则数列不一定是等差数列答案: BC   3灵活设元求解等差数列(1)三个数成等差数列，首末两数之积比中间数的平方小16，则公差是多少？(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，又“首末两数之积比中间数的平方小16”     解得
      故公差是 (2)法一：设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，即a＝1， ，∴ ，∴d＝1或d＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，∴ d＝1，故所求的四个数为－2, 0, 2, 4. 法二：若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，把 代入a(a＋3d)＝－8，得 即，化简得，所以d＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，a＝－2.故所求的四个数为－2, 0, 2, 4. 常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.　 4 在等差数列{}中，若 ，   ，求.   解：   法一由等差数列的性质得，，…，.∴ . 法二∵数列{}是等差数列∴ ，， 也成等差数列，即 30,  80， 成等差数列.∴  ∴   . 5 在等差数列中，是方程的根，则________.解：由已知得. 又数列为等差数列，∴. 答案：3    学生独立思考、互相讨论                                                                             根据前面的例题，学生讨论、合作、探讨推导等差数列的常用性质   通过实际问题，让学生体会等差数列的应用                                                                                   课堂小结等差数列的常用性质1若{}是等差数列，,且 . 则 2通项公式的推广： （ ）3若分别是公差为的等差数列，则数列是公差为 的等差数列. 常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.　   板书例3例4例5等差数列的常用性质常见设元技巧   教学反思