2021学年第三章 勾股定理综合与测试精练

这是一份2021学年第三章 勾股定理综合与测试精练，共18页。试卷主要包含了各组数中，是勾股数的是等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年苏科版八年级数学上册
第3章《勾股定理》期末复习训练

1．下列各组数据分别是线段a，b，c的长，能组成直角三角形的是（　　）
A．7，2，9 B．4，5，6 C．3，4，5 D．5，10，13
2．根据下列条件，分别判断以a，b，c为三边的△ABC，不是直角三角形的是（　　）
A．b2＝a2﹣c2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．a：b：c＝12：13：5
3．一等腰三角形，腰长10cm，底长16cm，则底边上的高是（　　）
A．8cm B．6cm C．10cm D．12cm
4．各组数中，是勾股数的是（　　）
A．9，16，25 B．0.3，0.4，0.5
C．1，，2 D．8，15，17
5．若直角三角形的三边长分别为6，8，m，则m的值为（　　）
A．10 B．2 C．28 D．10或2
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝9，AD＝12，AC＝20，则△ABC是（　　）

A．等腰三角形 B．任意三角形 C．直角三角形 D．无法确定
7．如图，以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形，三个正方形的面积分别为S1、S2、S3，若S1＝13，S2＝9，则S3的值为（　　）

A．1 B．4 C．22 D．不能确定
8．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作S1与S2，若S1＝16，S2＝25，则BC的长为（　　）

A．4 B．6 C．8 D．10
9．已知一个直角三角形的两条边长分别为1和2，则第三条边长的平方是 　 　．
10．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，AC的垂直平分线交AC于点E，交BC于点D．则BD的长为 　 　．

11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝40°，那么∠A＝　 　°．
12．如图是一块地的平面示意图，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝13m，BC＝12m，∠ADC＝90°，则这块地的面积为 　 　m2．

13．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，BC＝5，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为 　 　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，DE为AB的垂直平分线，AE＝，则CE的长为 　 　．

15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，则2AB2+AC2+BC2＝　 　．
16．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC，D为△ABC内一点，且∠BCD＝∠CAD，若CD＝4，则△BCD的面积为 　 　．

17．如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝14，且AH：AE＝3：4．那么AH等于 　 　．

18．如图，△ABC中，∠ACB＝135°，CD⊥AB，垂足为D，若CD＝4，BD＝20，则AD的长为 　 　．

19．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．若轮船速度为25km/h，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．

20．某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，AD＝26m，CD＝24m．
（1）求出空地ABCD的面积．
（2）若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需投入多少元？



21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝15，D是AB上一点，BD＝9，CD＝12．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC长．

22．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行100km到达B岛，再从B岛沿BM方向航行125km到达C岛，A港到航线BM的最短距离是60km．
（1）若轮船速度为25km/小时，求轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间．
（2）C岛在A港的什么方向？

23．如图，在荡秋千时，绳子最低点E离地面1m，荡到最高点D时离地面4m，此时水平位移BC是6m，求绳子长．

24．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．

25．如图1，正方形纸片ABCD的边长为4，点E、F、M、N分别是正方形纸片四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN．
（1）求证：四边形EFMN是正方形；
（2）把图1的四个直角三角形剪下来，拼成如图2所示的“赵爽弦图”（由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形）．若EN＝，求中间小正方形的面积．

26．如图，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝20．求：△ABD的面积．


参考答案
1．解：A.72+22＝49+4＝53≠92，所以7、2、9不能组成直角三角形；
B.42+52＝16+25＝41≠62，所以4、5、6不能组成直角三角形；
C.32+42＝25＝52，所以3、4、5可以组成直角三角形；
D.52+102＝125≠132，所以5、10、13不能组成直角三角形；
故选：C．
2．解：A、∵b2＝a2﹣c2，
∴c2+b2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
设∠A＝3x，∠B＝4x，∠C＝5x，即3x+4x+5x＝180°，解得：x＝15°，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，∠C＝75°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
C、∵∠C＝∠A﹣∠B，
∴∠B+∠C＝∠A，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠A＝180°，
∴∠A＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、a：b：c＝12：13：5
设a＝12k，b＝13k，c＝5k，
∵（5k）2+（12k）2＝（13k）2，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．解：如图，∵AB＝AC＝10cm，AD⊥BC，
∴BD＝BC＝8cm，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
AD＝（cm），

故选：B．
4．解：A、∵62+92≠252，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵0.32+0.42＝0.52，能组成直角三角形，但0.3，0.4，0.5不是正整数，故本选项不符合题意；
C、∵12+2＝22，能组成直角三角形，但不是正整数，故本选项不符合题意；
D、∵82+152＝172，能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：D．
5．解：8是直角边时，m2＝62+82＝100，则m＝10；
8是斜边时，m2＝82﹣62＝28，则m＝2．
故选：D．
6．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD中，AB＝＝＝15，
在Rt△ADC中，CD＝＝＝16，
∴BC＝BD+CD＝9+16＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC为直角三角形．
故选：C．
7．解：∵以Rt△ABC的三边为边长向外作正方形的面积分别为S1、S2、S3，
∴S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，
∵∠ACB＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴S2+S3＝S1，
∵S1＝13，S2＝9，
∴9+S3＝13，
∴S3＝4，
故选：B．

8．解：如图，∵△ABD和△ACE是等腰直角三角形，∠D＝∠E＝90°，
∴AD＝BD，AE＝CE，
∴S1＝AD•BD＝AD2＝16，S2＝AE•CE＝AE2＝25，
∴AD2＝32，AE2＝50，
∴AB2＝AD2+BD2＝64，AC2＝AE2+CE2＝100，
∵∠ABC＝90°，
∴BC＝＝＝6，
故选：B．

9．解：当2是直角边长时，由勾股定理得：第三边的平方为：12+22＝5；
当2为斜边长时，由勾股定理得：第三边的平方为：22﹣12＝3．
故答案为：5或3．
10．解：连接AD，

∵AC的垂直平分线交AC于点E，
∴AD＝DC，
设BD＝x，
∵∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
由勾股定理得BC＝＝＝4，
∴AD＝DC＝BC﹣BD＝4﹣x，
由勾股定理得AB2+BD2＝AD2，
即32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝，
故答案为：．
11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则∠A+∠B＝90°，
由题意得：，
解得：，
故答案为：65．
12．解：连接AC，
∵∠ADC＝90°，AD＝4m，CD＝3m，
根据勾股定理得AC＝5，
∵AC2+BC2＝169，AB2＝169，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴这块地的面积为：×AC×BC﹣×CD×AD
＝×12×5﹣×3×4＝24 （m2）；
故答案为：24．

13．解：由勾股定理得：
AB＝＝＝3，
∵S△ABC＝，
∴，
∴AD＝，
故答案为：．
14．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，即52＝42+BC2，
∴BC＝3，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE＝BC+CE＝3+CE，
∵AE＝，
∴CE＝﹣3＝．
故答案为：．
15．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，
∴AC2+BC2＝AB2＝100，
∴2AB2+AC2+BC2＝2×100+100＝300，
故答案为：300．
16．解：如图，过点B作BH⊥CD，交CD的延长线于H，

∵等腰Rt△ABC中，AC＝BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BCD＝∠CAD，
∴∠ACB＝∠BCD+∠ACD＝∠CAD+∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ADC＝∠H＝90°，
在△ACD和△CBH中，
，
∴△ACD≌△CBH（AAS），
∴BH＝CD＝4，
∴S△BCD＝CD•BH＝×4×4＝8，
故答案为：8．
17．解：∵AB＝14，AH：AE＝3：4，
设AH为3x，AE为4x，
由勾股定理得：AB2＝AH2+AE2＝（3x）2+（4x）2＝（5x）2，
∴5x＝14，
∴x＝，
∴AH＝，
故答案为：．
18．解：作BH⊥AC交AC的延长线于H，
设BH＝x，
∵∠ACB＝135°，
∴∠HCB＝45°，
∴CH＝x，
由勾股定理得，BC＝x，
在Rt△CDB中，BC＝＝x，
∴x＝4，
∴CH＝BH＝4，
∵∠ADC＝∠AHB，∠A＝∠A，
∴AH＝，
设AD＝y，则AH＝，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：
AC2＝AD2+CD2，
∴（﹣4）2＝y2+42，
解得：y1＝6，y2＝（不符题意舍去），
∴AD＝6．
故答案为：6．

19．解：由题意，得：AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC＝＝＝75（km）．
75÷25＝3（h）．
答：从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．
20．解：（1）如图，连接AC，
在直角三角形ABC中，
∵∠ABC＝90°，BC＝6m，AB＝8m，
∴AC＝＝10m，
∵AC2+CD2＝102+242＝676＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝，
答：空地ABCD的面积是144m2．
（2）144×100＝14400（元），
答：总共需投入14400元．

21．（1）证明：∵BC＝15，BD＝9，CD＝12，
∴BD2+CD2＝92+122＝152＝BC2,
∴∠CDB＝90°,
∴CD⊥AB；
(2)解：∵AB＝AC，
∴AC＝AB＝AD+BD＝AD+9,
∵∠ADC＝90°,
∴AC2＝AD2+CD2,
∴(AD+9)2＝AD2+122,
∴AD＝,
∴AC＝+9＝．
22．解：（1）由题意AD＝60km，
Rt△ABD中，AD2+BD2＝AB2，得602+BD2＝1002．
∴BD＝80（km）．
∴CD＝BC﹣BD＝125﹣80＝45（km）．
∴AC＝＝75（km）．
75÷25＝3（小时）．
答：从C岛返回A港所需的时间为3小时．
（2）∵AB2+AC2＝1002+752＝15625，BC2＝1252＝15625，
∴AB2+AC2＝BC2．
∴∠BAC＝90°．
∴∠NAC＝180°﹣90°﹣48°＝42°．
∴C岛在A港的北偏西42°．

23．解：设绳子长为x米，
过D点作DF⊥AB于F，

根据题意得：AB＝x+1（米），AF＝x+1﹣4＝x﹣3（米），
AD＝x（米），DF＝BC＝6米，
由勾股定理得：（x﹣3）2+62＝x2，
解得：x＝7.5，
答：绳子长7.5米．
24．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝＝4（cm）；
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图1所示：
点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP＝90°时，如图2所示：
则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，
∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，
即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，
解得：t＝；
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或s．

25．（1）证明：如图1∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝DM＝CF＝BE，
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF（SAS），
∴EN＝NM＝MF＝EF，∠ENA＝∠DMN，
∴四边形EFMN是菱形，
∵∠ENA＝∠DMN，∠DMN+∠DNM＝90°，
∴∠ENA+∠DNM＝90°，
∴∠ENM＝90°，
∴四边形EFMN是正方形；
（2）解：∵△AEN≌△DMN≌△CFM≌△BEF，
∴EF＝FM＝MN＝NE，EH＝FG＝MR＝NQ，EQ＝FH＝MG＝NR，
如图2，设正方形EFMN的边长EF＝FM＝MN＝NE＝c，EH＝FG＝MR＝NQ＝b，EQ＝FH＝MG＝NR＝a，
则小正方形QHGR的边长QH＝b﹣a，
∴小正方形QHGR的面积为（b﹣a）2＝a2+b2﹣2ab，
∴由勾股定理得：a2+b2＝c2＝EN2＝10，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴a+b＝4，
∴a2+b2+2ab＝16，
∴2ab＝16﹣（a2+b2）＝6，
∴中间小正方形QHGR的面积为10﹣6＝4．

26．解：在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，
AC2+DC2＝122+92＝152＝AD2，
即AC2+DC2＝AD2，
∴△ADC是直角三角形，∠C＝90°，
在Rt△ABC中，BC＝＝＝16，
∴BD＝BC﹣DC＝16﹣9＝7，
∴△ABD的面积＝×7×12＝42．